高三数学大一轮复习 2.3 函数的奇偶性与周期性课时检测 理 苏教版

2.4 函数的奇偶性与周期性
一、填空题
1．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＝________. 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.
答案 －1
2
2.设函数2
()(1)()f x x x a =++为奇函数,则a = .
解析 由函数2
()(1)()f x x x a =++为奇函数得到f (0)=0,即2
(01)(0)a ++=0. 所以a =0. 答案 0
3．设函数f (x )是奇函数且周期为3，f (－1)＝－1，则f (2 011)＝________
解析 因为f (－x )＝－f (x )，f (x ＋3)＝f (x )，f (－1)＝－1，所以f (1)＝1，f (2 011)＝
f (3×670＋1)＝f (1)＝1.
答案 1
4．已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x ，则f (－9)＝________.
解析 由题意，得f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (－4－x )， 所以f (－9)＝f (－4＋9)＝f (5)＝－f (－5)＝－f (1)＝－2. 答案 －2
5.若y =f (x )是奇函数,且在(0),+∞内是增函数,又f (3)=0,则xf (x )<0的解集是 _______. 解析 因为f(x)在(0),+∞内是增函数,f(3)=0, 所以当0<x<3时,f(x)<0; 当x>3时,f(x)>0.
又因为f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以当-3<x<0时,f(x)>0; 当x<-3时,f(x)<0.
可见xf(x)<0的解集是{x|-3<x<0或0<x<3}. 答案 {x|-3<x<0或0<x<3}
6．函数f(x)是奇函数，且在[－1,1]上是单调增函数，又f(－1)＝－1，则满足f (x )≤t 2
＋2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]及a ∈[－1,1]都成立的t 的取值范围是________． 解析 由题意，f (x )max ＝f (1)＝－f (－1)＝1，所以t 2
＋2at ＋1≥1，即t 2
＋2at ≥0对a ∈[－1,1]恒成立，t ＝0时，显然成立；t ≥0时，由t ≥－2a 恒成立，得t ≥2；t ＜0时，由t ≤－2a 恒成立，得t ≤－2.
综上，得t ≤－2或t ＝0或t ≥2. 答案 (－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)
7．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x ，则f(7.5)＝________.
解析 由题意得f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2]＝－f(x ＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(7.5)＝f(7.5－8)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5. 答案 －0.5
8．已知函数f (x )＝log 4(4x
＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数，则k 的值为________．
解析 由f (－x )＝f (x )，得log 4(4－x
＋1)－kx ＝log 4(4x
＋1)＋kx ，即2kx ＝log 4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋4x
4x －
log 4(4x
＋1)＝log 414x ＝－x ，所以k ＝－12.
答案 －1
2
9．若偶函数f (x )在(－∞，0)内单调递减，则不等式f (－1)＜f (lg x )的解集是________． 解析 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，于是由f (－1)＜f (lg x )，得f (1)＜f (|lg
x |)，又由f (x )在(－∞，0)内单调递减得f (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以有|lg x |＞1，
即lg x ＜－1或lg x ＞1，解得x ＜1
10或x ＞10.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，110
∪(10，＋∞) 10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x
，则不等式f (x )＜－1
2
的解集是________． 解析 若x ＞0，则由f (x )＝1－2－x
＜－12，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞32，这与x ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜1矛盾．若x ＜
0，则由f (x )为奇函数，得f (x )＝－f (－x )＝－1＋2x ＜－12，得2x ＜12＝2－1
，解得x ＜－1.
答案 (－∞，－1)
11．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断： ①f (x )是周期函数； ②f (x )关于直线x ＝1对称； ③f (x )在[0,1]上是增函数； ④f (x )在[1,2]上是减函数； ⑤f (2)＝f (0)．
其中正确的序号是________． 解析 ∵f (x ＋1)＝－f (x )，
∴f (x )＝－f (x ＋1)＝f (x ＋1＋1)＝f (x ＋2)， ∴f (x )是周期为2的函数，①正确．
又∵f (x ＋2)＝f (x )＝f (－x )，∴f (x )＝f (2－x )， ∴y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，②正确． 又∵f (x )为偶函数且在[－1,0]上是增函数， ∴f (x )在[0,1]上是减函数．又∵对称轴为x ＝1，
∴f (x )在[1,2]上为增函数，f (2)＝f (0)，故③④错误，⑤正确． 答案 ①②⑤
12．函数y ＝f (x )与y ＝g (x )有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何x ，有f (x )＋f (－x )＝0，g (x )g (－x )＝1，且当x ≠0时，g (x )≠1，则F (x )＝2f
x
g x －1
＋f (x )
的奇偶性为________．
解析 因为f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝1
g x
，
所以F (－x )＝
2f
－x g
－x －1＋f (－x )＝－2f x
1
g x
－1
－f (x )
＝2f x g x
g x －1
－f (x )
＝
2f x g x －2f x ＋2f x
g x －1
－f (x )
＝2f (x )＋
2f x g x －1－f (x )＝2f x
g x －1
＋f (x )＝F (x )．
所以F (x )是偶函数． 答案 偶函数
13．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函
数，给出以下四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34，0对称；
③函数f (x )为R 上的偶函数；④函数f (x )为R 上的单调函数，其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
解析 ①由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，得f (x ＋3) ＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋32＝f (x )，所以①正确．
②由y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，得f (x )图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0对称，所以②不正确．③由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，得f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －32，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所
以f (x )是偶函数，③正确．由③正确知④不正确． 答案 ①③ 二、解答题
14．设f (x )＝e x ＋a e －x
(a ∈R ，x ∈R )． (1)讨论函数g (x )＝xf (x )的奇偶性；
(2)若g (x )是个偶函数，解不等式f (x 2
－2)≤f (x )．
解析 (1)a ＝1时，f (x )＝e x
＋e －x
是偶函数，所以g (x )＝xf (x )是奇函数；
a ＝－1时，f (x )＝e x －e －x 是奇函数，所以g (x )＝xf (x )是偶函数．
a ≠±1，由f (x )既不是奇函数又不是偶函数，得g (x )＝xf (x )是非奇非偶函数．
(2)当g (x )是偶函数时，a ＝－1，f (x )＝e x －e －x 是R 上的单调增函数，于是由f (x 2
－2)≤f (x )得x 2
－2≤x ，即x 2
－x －2≤0，解得－1≤x ≤2.
15.已知函数f (x )=2220000x x x x x mx x ⎧-+,>,
⎪
,=,⎨⎪+,<⎩
是奇函数. (1)求实数m 的值;
(2)若函数f (x )在区间[12]a -,-上单调递增，求实数a 的取值范围. 解析 (1)设x <0, 则-x >0,
所以f (-x )=2
2
()2()2x x x x --+-=--. 又f (x )为奇函数, 所以f (-x )=-f (x ).
于是x <0时2
2
()2f x x x x mx ,=+=+,所以m =2.
(2)要使f (x )在[12]a -,-上单调递增，结合()f x 的图象（略）知2121a a ->-,
⎧⎨-≤,⎩
所以13a <≤,故实数a 的取值范围是(1,3].
16. 已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求证：f (x )是奇函数；
(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－1
2
，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．
解析 (1)证明：∵函数f (x )的定义域为R ， ∴其定义域关于原点对称．
∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，
∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．
令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0. ∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．
(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )． ∵x ∈R ＋，f (x )<0，
∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．
∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，
∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数． ∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．
∵f (1)＝－1
2
，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，
f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.
∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3. 法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R .
则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)． ∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0. 即f (x )在R 上单调递减．
∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－1
2
，
∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3. ∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.
17．已知函数f (x )＝1＋ax
2
x ＋b (a ≠0)是奇函数，并且函数f (x )的图象经过点(1,3)．
(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的值域．
解析 (1)因为函数f (x )＝1＋ax
2
x ＋b 是奇函数，
所以f (－x )＝－f (x )． 所以
1＋a －x 2
－x ＋b ＝－1＋ax 2
x ＋b
.
因为a ≠0，
所以－x ＋b ＝－x －b . 所以b ＝0.
又函数f (x )的图象经过点(1,3)， 所以f (1)＝3. 所以1＋a 1＋b ＝3.
因为b ＝0， 故a ＝2.
(2)由(1)知f (x )＝1＋2x 2
x ＝2x ＋1
x
(x ≠0)．
当x ＞0时，2x ＋1x
≥2
2x ·1x ＝22，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝2
2
时取等号．
当x ＜0时，(－2x )＋1
－x ≥2
－2x ·1
－x
＝2 2.
所以2x ＋1
x
≤－2 2.
当且仅当－2x ＝
1－x ，即x ＝－2
2
时取等号． 综上可知，函数f (x )的值域为(－∞，－22]∪[22，＋∞)． 18．设f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－mx x －1为奇函数，g (x )＝f (x )＋log a
[(x －1)(ax ＋1)](a ＞1，且m ≠1)．
(1)求m 的值； (2)求g (x )的定义域；
(3)若g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5
2，－32上恒正，求a 的取值范围．
解析 (1)f (x )是奇函数，f (x )＝－f (－x )， log a ⎝
⎛⎭⎪⎫1－mx x －1＝－log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋mx －x －1＝log a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x －11＋mx ，
∴1－mx x －1＝－x －11＋mx ，x 2－1＝(mx )2
－1， ∴(m 2
－1)x 2
＝0，又m ≠1，∴m ＝－1. (2)由(1)f (x )＝log a
x ＋1x －1，g (x )＝log a x ＋1
x －1
＋log a [(x －1)·(ax ＋1)]，x 必须满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x －1ax ＋1＞0，x ＋1
x －1＞0.
又a ＞1，∴x ＜－1或x ＞1，
∴g (x )的定义域为{x |x ＜－1或x ＞1}． (3)a ＞1，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5
2，－32上恒正，
即(x ＋1)(ax ＋1)＞1⇒ax ＋1＜
1x ＋1⇒ax ＜－x x ＋1⇒a ＞－1
x ＋1
， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32，∴－1x ＋1≤－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝2， ∴a ＞2，
∴a的取值范围是(2，＋∞)．。