2020年江西师大附中高考数学三模试卷(文科)

2020年江西师大附中高考数学三模试卷（文科）
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A ={x|(x +3)(x −2)≥0}，B ={x|y =√log 2x}，则A ∩B =( )
A. [1,4]
B. [1,2]
C. [2,+∞)
D. [1,+∞) 2. 设复数z =1−i
1+i ，则z 的共轭复数z 为( )
A. 1
B. −1
C. −i
D. i
3. tan
2π3
+cos(3π
2−π
3)的值为( )
A. −3√32
B. −√3
2
C. √3+1
2
D. √3−1
2
4. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1)，AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,2)，则|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. √2 B. √10 C. √26 D. √34 5. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：
①若m ⊥α，n//α，则m ⊥n ；②若m//n ，n ⊂α，则m//α；
③若m//α，n//β，α//β，则m//n ；④若m ⊥β，m//α，则α⊥β． 其中所有正确命题的序号是( )
A. ①②
B. ②③
C. ②④
D. ①④
6. 若将函数y =sin(2x −π
3)+1的图象向右平移π
6个单位长度后，所得图象的一个对称中心为( )
A. (π
4,0)
B. (π
4,1)
C. (π
3,0)
D. (π
3,1)
7. 已知数列{a n }的前n 项和S n =(1
2)n −m ，则“m =1”是“{a n }是等比数列”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 函数y =2sinx
2x +2−x 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
9. 在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称
为方圆图．圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用．山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示．以该木塔底层的边AB 作方形，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等．以塔底座的边作方形，作方圆图，会发现方圆的切点D 正好位于塔身和塔顶的分界．经测量发现，木塔底层的边AB 不少于47.5米，塔顶C 到点D 的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是( )(参考数据：√2≈1.414) A. 66.1米 B. 67.3米 C. 68.5米 D. 69.0米 10. 已知圆C 1：x 2+(y −a 2)2=a 4的圆心到直线x −y −2=0的距离为2√2，则圆
C 1与圆C 2：x 2+y 2−2x −4y +4=0的位置关系是( )
A. 相交
B. 内切
C. 外切
D. 相离
11. 设m ∈R ，已知直线2x −y −m =0(m ≠0)与双曲线
x 2a 2
−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点M ，
N ，若点Q(2m,0)满足|QM|=|QN|，则该双曲线的离心率为( )
A. √2
B. √52
C. 2
D. √102
12. 如图，在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱A 1D 1的中点，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，
若过点A ，E ，F 的平面分别交棱CC 1、BC 于点G ，H ，则线段GH 的长度为( )
A. √343
B. 4√53
C. √973
D. 10
3
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若数列{a n }的前n 项和S n =2n +n ，则a 5=______．
14. 已知过抛物线C ：x 2=8y 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若点A 的横坐标为2，则点B 到C 的准线的
距离为______．
15. 已知变量x ，y 满足{2x −y +3≥0,
x +y −3≥0,x −2y +m ≤0．若z =x +2y 的最小值为5，则实数m 等于______．
16. 已知函数f(x)={(x −1)e x ,x ≤1,
lnx x , x >1.其中e 为自然对数的底数．若函数g(x)=f(x)−kx 有3个不同的零点，
则实数k 的取值范围是______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin2B =2bsinAcos(π
3−B)．
(1)求cos B 的值；
(2)若△ABC 的面积为1，求b 的最小值．
18. 2019年起，全国地级及以上城市全面启动生活垃圾分类工作，垃圾分类投放逐步成为居民的新时尚．为了
促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾300703080
可回收垃圾302103030
有害垃圾20206020
其他垃圾10201060
(2)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别
为a，b，c，d，其中a>0，a+b+c+d=800.当数据a，b，c，d的方差s2最大时，写出a，b，c，d的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．
19.如图，在四棱台ABCD−EFGH中，底面ABCD是菱形，平面CDHG⊥平面ABCD，CG=GH=HD=1，BD=
CD=2．
(1)求证：CD⊥BF；
(2)求四棱台ABCD−EFGH的体积．
20.已知椭圆C： x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为√6
3
，其上顶点为B，左焦点为F，原点O到直线BF的距离
等于2√3
3
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点A(1,1)的直线x与椭圆C相交于M，N两点，且|AM|⋅|AN|=1，求直线l的方程．
21. 已知函数f(x)=(x +1)⋅2x ．
(1)求曲线y =f(x)在x =0处的切线方程； (2)若关于x 的不等式
f(x)x
≥(x +1x +2)ln2+a
x +2在区间(0,+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =t +
2
t
y =t −
2t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π
3)=√3．
(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
(2)设M(0,2)，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|MA|+|MB|的值．
23. 已知函数f(x)=|2x −1|．
(1)解关于x 的不等式f(2x)≤f(x +1)+1；
(2)若实数a ，b 满足a +b =2，求f(a 2)+f(b 2)的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵集合A ={x|(x +3)(x −2)≥0}={x|x ≤−3或x ≥2}， B ={x|y =√log 2x}={x|x ≥1}， ∴A ∩B ={x|x ≥2}=[2,+∞)． 故选：C ．
求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】D
【解析】解：∵z =1−i
1+i =(1−i)2
(1+i)(1−i)=
−2i 2
=−i ，
∴z =i ． 故选：D ．
直接利用复数代数形式的除法运算化简z ，则z 可求．
本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】A
【解析】解：tan
2π3
+cos(
3π2
−π
3
)
=−√3+(−
√32
) =−
3√3
2
． 故选：A ．
由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．
本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 4.【答案】D
【解析】解：向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1)，AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,2)， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,−3)．
所以，|CB
⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52+(−3)2=√34． 故选：D ．
利用向量的加减运算，求出CB
⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后求解向量的模． 本题考查向量的坐标运算，向量的模的求法，是基本知识的考查． 5.【答案】D
【解析】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
对于①，若m ⊥α，n//α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得m ⊥n ，故①正确； 对于②，若m//n ，n ⊂α，则m//α或m ⊂α，故②错误；
对于③，若m//α，n//β，α//β，则m 与n 相交、平行或异面，故③错误； 对于④，若m ⊥β，m//α，则由面面垂直的性质定理得α⊥β，故④正确． 故选：D ．
对于①，由线面垂直的性质和线面平行的性质得m ⊥n ； 对于②，m//α或m ⊂α；
对于③，m与n相交、平行或异面；
对于④，由面面垂直的性质定理得α⊥β．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
6.【答案】D
【解析】解：将函数y=sin(2x−π
3)+1的图象向右平移π
6
个单位长度后，
可得y=sin(2x−2π
3)+1的图象，令2x−2π
3
=kπ，k∈Z，求得x=kπ
2
+π
3
，
可得所得图象的对称中心为(kπ
2+π
3
,1)，
故所得图象的一个对称中心为(π
3
,1)，
故选：D．
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．7.【答案】C
【解析】解：当n=1时，a1=S1=1
2
−m，
当n>1时，a n=S n−S n−1=1
2n −1
2n−1
=−1
2n
，
若m=1，则a1=1
2−m=−1
2
，a2=−1
22
=−1
4
，
a2
a1
=1
2
，
当n>1时，a n+1
a n =−1
2n+1
×(−2n
1
)=1
2
，数列{a n}是等比数列；
若数列{a n}是等比数列，a1=−1
2=1
2
−m，a n=−1
2n
，m=1．
所以是充分必要条件．
故选：C．
先令n=1，求出a1，再由n>1时，根据a n=S n−S n−1，求出a n，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果．
本题主要考查充分必要条件的判定，熟记概念，以及数列的递推公式即可求解，属于常考题型．
8.【答案】A
【解析】解：函数的定义域为R，f(−x)=2sin(−x)
2−x+2x =−2sinx
2x+2−x
=−f(x)，则函数为奇函数，其图象关于原点对称，
故可排除选项C；
又当x∈(0,π)时，sinx>0，2x+2−x>0，故2sinx
2x+2−x
>0，可排除选项B；
又2x+2−x≥2，2sinx≤2，不能同时取等，故2sinx
2x+2−x
<1，可排除选项D．
故选：A．
利用函数的奇偶性可排除选项C，利用函数的取值可排除选项B，利用不等式的性质可排除选项D，进而得出正确选项．
本题考查利用函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想及推理能力，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：设该木塔的高度为h ，则由图可知，ℎ=√2AB ≥47.5×1.414=67.165(米)． 同时
CD ℎ
=
√2−1
√2
， ∴ℎ=
√2CD √2−1
=
1−
√22
≤
19.91−
1.4142
≈67.9(米)．
即木塔的高度h 约在67.165米至67.9米之间， 结合选项，可得B ． 故选：B ．
由题意利用平面几何的性质求解木塔高度h 的范围，结合选项得答案．
本题考查函数模型的选择与应用，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题． 10.【答案】B
【解析】解：圆C 1：x 2+(y −a 2)2=a 4的圆心为C 1(0,a 2)，半径r 1=a 2，a ≠0， 由圆C 1：x 2+(y −a 2)2=a 4的圆心到直线x −y −2=0的距离为2√2， 可得
2√2
=2√2，解得a =±√2，
可得圆C 1的圆心为(0,2)，半径为2，
而圆C 2：x 2+y 2−2x −4y +4=0的圆心为(1,2)，半径为r 2=1， 由|C 1C 2|=1=r 1−r 2=2−1， 可得两圆的位置关系为内切． 故选：B ．
求得圆C 1的圆心和半径，由直线和圆的距离公式，可得a ，求得圆C 2的圆心和半径，计算|C 1C 2|，与两圆的半径之差比较可得结论．
本题考查圆的方程和运用，以及两圆的位置关系的判断，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题． 11.【答案】A
【解析】解：由{y =2x −m y =b a
x
，解得M(ma 2a−b ,mb
2a−b )， 由{y =2x −m y =−b a
x
，解得N(ma 2a+b ,−mb
2a+b ). ∴MN 的中点坐标为P(2ma 2(2a−b)(2a+b),2mb 2
(2a−b)(2a+b))， ∵点Q(2m,0)满足|QM|=|QN|， ∴k PQ ⋅k MN =−1，即
2mb 2
(2a−b)(2a+b)2ma 2
(2a−b)(2a+b)
−2m
×2=−1，
整理得：a 2=b 2，即a =b ，
∴该双曲线为等轴双曲线，其离心率为√2． 故选：A ．
分别联立已知直线方程与双曲线的两条渐近线方程，求得M 与N 的坐标，利用中点坐标公式求出MN 的中点P 坐标，再由|QM|=|QN|，可得PQ ⊥MN ，由斜率之积等于−1列式求得a =b ，可得双曲线为等轴双曲线，即可求其离心率．
本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题． 12.【答案】B
【解析】解：如图，连接AE ，延长EF 、B 1C 1，相交于M ，
∵点E 是棱A 1D 1的中点，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为4， ∴D 1E =2，D 1F =3，C 1F =1，则C 1M =2
3．
在平面AEM 中过A 作AH//EM ，交BC 于H ，则BH =2+2
3=8
3． 可得CH =4
3，∴CG =2C 1G ，即CG =8
3． ∴HG =√(4
3)2+(8
3)2=√16
9+
649
=√80
9=
4√5
3
． 故选：B ．
由题意画出图形，找出平面AEF 与正方体的棱CC 1 与BC 的交点，利用三角形相似求得CG 与CH 的长度，再由勾股定理得答案．
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题． 13.【答案】17
【解析】解：数列{a n }的前n 项和S n =2n +n ，则a 5=S 5−S 4=(25+5)−(24+4)=17， 故答案为：17．
由题意利用数列的前n 项和与第n 项的关系，由a 5=S 5−S 4，计算求得结果． 本题主要考查数列的前n 项和与第n 项的关系，属于基础题． 14.【答案】10
【解析】解：过抛物线C ：x 2=8y 的焦点F(0,2)的直线l 交C 于A ，B 两点，若点A 的横坐标为2，所以A(2,1
2)， 所以直线l ：y −2=−3
4x ，即y =−3
4x +2，代入抛物线方程可得：x 2+6x −16=0，x A +x B =−6所以x B =−8，所以y B =8．
点B 到C 的准线的距离为：10． 故答案为：10．
求出A 的坐标，得到直线l 的方程，然后求解B 的纵坐标，推出结果即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 15.【答案】3
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z =x +2y 得y =−1
2x +1
2z ，
平移直线y =−1
2x +1
2z ，由图象可知当直线y =−1
2x +1
2z 经过点A 时，
直线y =−1
2x +12z 的截距最小，此时z =x +2y 的最小值为5， 由{x +2y =5x +y =3
，解得A(1,2)同时A 在直线x −2y +m =0上， ∴m =3． 故答案为：3．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z =x +2y 的最小值为5，利用数形结合即可得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
16.【答案】(0,1
2e
)
【解析】解：令g(x)=(x−1)e x(x≤1)，则g′(x)=xe x，
所以当x∈(−∞,0)时，g′(x)<0；当x∈(0,1)时，g′(x)>0，
于是函数g(x)在区间(−∞,0)上单调递减，在区间(0,1)上单调递增，当x→−∞时，g(x)→0，g(0)=−1，g(1)=0．
令ℎ(x)=lnx
x (x≥1)，则ℎ′(x)=1−lnx
x2
，
所以当x∈(1,e)时，ℎ′(x)>0；当x∈(e,+∞)时，ℎ′(x)<0，
于是函数ℎ(x)在区间(1,e)上单调递增，在区间(e,+∞)上单调递减，
ℎ(1)=0，ℎ(e)=1
e
，当x→+∞时，ℎ(x)→0．
函数g(x)=f(x)−kx有3个不同的零点，
等价于方程f(x)=kx有3个解，
即函数f(x)的图象与直线y=kx有3个交点，作出函数f(x)与直线y=kx的图象，如下图所示
当直线y=kx与函数ℎ(x)相切时，设切点坐标为(x0,lnx0
x0
)，
根据导数的几何意义可得：k=lnx0
x0
−0
x0−0
=1−lnx0
x02
，
解得：k=1
2e
,x0=√e，
要使得函数f(x)的图象与直线y=kx有3个交点，
数形结合可知k的取值范围为(0,1
2e
)．
故答案为：(0,1
2e
)．
先把函数g(x)=f(x)−kx有3个不同的零点转化为函数f(x)的图象与直线y=kx有3个交点，利用导数求函数g(x)，ℎ(x)的单调性，再作出函数f(x)的图象与直线y=kx的图象，再数形结合分析临界位置即可得到答案．本题考查了数形结合的思想解决函数零点的问题，把函数零点转化为方程的根，再转化为两函数图象的交点是解题的关键，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵asin2B=2bsinAcos(π
3
−B)，
∴2sinAsinBcosB=2sinBsinAcos(π
3
−B)，
∵sinAsinB≠0，
∴cosB =cos(π
3−B)， ∴B =π
3−B ，
∴B =π
6， ∴cosB =
√3
2
； (2)∵△ABC 的面积为1， ∴1
2acsinB =1，
∴ac =4，
由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB ≥2ac −√3ac =8−4√3， 当且仅当a =c =2时取等号， 则b =√6−√2，
故b 的最小值为√6−√2．
【解析】(1)根据二倍角公式和正弦定理可得cosB =cos(π
3−B)，即可求出cos B ，
(2)根据三角形的面积公式可得ac =4，再根据余弦定理和基本不等式即可求出． 本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，注意正余弦定理以及三角形边角关系的应用，是基础题． 18.【答案】解：(1)根据题意，厨余垃圾共300+70+30+80=480吨， 其中投放正确的有300吨，则厨余垃圾投放正确的概率P 1=300
480=5
8， 有害垃圾共20+20+60+20=120吨，其中投放正确的有60吨， 则害垃圾投放正确的概率P 2=60
120=1
2；
(2)根据题意，厨余垃圾在四种垃圾箱的投放量分别为a ，b ，c ，d ，其中a >0，a +b +c +d =800， 则其平均数x −
=
8004
=200，
则其方差S 2=14[(a −200)2+(b −200)2+(c −200)2+(d −200)2]， 当a =600，b =c =d =0时，s 2最大， 而x −
=
a+b+c+d
4=200，
此时s 2=1
4[(600−200)2+(0−200)2+(0−200)2+(0−200)2]=120000
【解析】(1)结合题意，利用等可能事件的概率公式，即可分别求解； (2)结合已知数据及方差公式，即可判断求解．
本题考查概率的估算，涉及方差的性质以及计算，属于中档题．
19.【答案】
解：(1)证明：取C 中点M ，GH 中点N ，连结BM ，MN ，FN ，
∵底面ABCD 是菱形，平面CDHG ⊥平面ABCD ，CG =GH =HD =1，BD =CD =2． ∴△BDC 是等边三角形，∴BM ⊥CD ，MN ⊥CD ，四边形BMNF 是直角梯形，
∵BM ∩MN =M ，∴CD ⊥平面BMNF ，
∵BF ⊂平面BMNF ，∴CD ⊥BF ．
(2)解：如图，把四棱台ABCD −EFGH 还原成四棱锥P −ABCD ， ∵在四棱台ABCD −EFGH 中，底面ABCD 是菱形，
平面CDHG ⊥平面ABCD ，CG =GH =HD =1，BD =CD =2． ∴S 四边形ABCD =2S △BCD =2×1
2×2×2×sin60°=2√3，
S 四边形EFGH =14S 四边形EFGH =1
4×2√3=
√3
2
，PN =MN =
√3
2
， ∴四棱台ABCD −EFGH 的体积：
V ABCD−EFGH =V P−ABCD −V P−EFGH
=13×S 四边形ABCD ×PM −1
3×S 四边形EFGH ×PN =
13×2√3×√3−13×√32×√32
=7
4
．
【解析】(1)取C 中点M ，GH 中点N ，连结BM ，MN ，FN ，推导出BM ⊥CD ，MN ⊥CD ，从而CD ⊥平面BMNF ，
由此能证明CD ⊥BF ．
(2)把四棱台ABCD −EFGH 还原成四棱锥P −ABCD ，四棱台ABCD −EFGH 的体积V ABCD−EFGH =V P−ABCD −V P−EFGH ，由此能求出结果．
本题考查线线垂直的证明，考查四棱台的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)由题意可得{ c
a =√6
3
bc =2√33
a a 2=
b 2+
c 2，解得a 2=6，b 2=2，c 2=4，
∴椭圆C 的方程
x 26
+
y 22
=1；
(2)将x =1是代入x 26
+y 22
=1，可得y =±
√15
3
， 此时|AM|⋅|AN|=(√15
3−1)(1+√15
3)=2
3
≠1，
因此直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为y −1=k(x −1)，即y =kx +1−k ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 联立{y =kx +1−k x 2
6
+
y 22
=1
，消y 整理可得(1+3k 2)x 2+6k(1−k)x +3(1−k)2−6=0，
∴x 1+x 2=
6k(k−1)1+3k 2
，x 1x 2=
3(1−k)2−61+3k 2
，
∴|AM|⋅|AN|=√1+k 2|x 1−1||⋅√1+k 2|x 1−1|=(1+k 2)|x 1x 2−(x 1+x 2)+1|=(1+k 2)⋅|
3(1−k)2−6−6k(k−1)+3k 2+1
1+3k 2
|=
2(1+k 2)1+3k 2
=1，
解得k =±1，
∴直线l 的方程为y =x 或y =−x +2．
【解析】(1)由题意可得{ c a =√6
3
bc =2√33a a 2=b 2+c 2，解得a 2=6，b 2=2，即可求出椭圆方程， (2)设直线l 的方程为y −1=k(x −1)，用韦达定理，可得|AM|⋅|AN|=2(1+k 2)1+3k 2
=1，即可求出直线的斜率，可
得直线方程．
本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题． 21.【答案】解：(1)由已知f(x)=(x +1)2x ，
从而f′(x)=2x +(x +1)2x ln2=2x [(x +1)ln2+1]， ∴f(0)=1，f′(0)=ln2+1，
∴曲线y =f(x)在x =0处的切线方程为y −1=(ln2+1)x ， 即y =(ln2+1)x +1； (2)当x >0时，
f(x)x
≥(x +1x
+2)ln2+a
x
+2可化为：
(x +1)2x ≥(x 2+2x +1)ln2+a +2x ， 即a ≤(x +1)2x −(x 2+2x +1)ln2−2x ，
令g(x)=(x +1)2x −(x 2+2x +1)ln2−2x ，(x >0)， 则由题意只需a ≤g(x)min ，
g′(x)=(2x −2)[(x +1)ln2+1]， ∵(x +1)ln2+1>0，
∴当0<x <1时，g′(x)<0， 当x >1时，g′(x)>0，
从而g(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增， 故g(x)min =g(1)=2−4ln2， 故a ≤2−4ln2，
即实数a 的范围是(−∞,2−4ln2]．
【解析】(1)求出函数的导数，计算f(0)，f′(0)，求出切线方程即可；
(2)问题转化为a ≤(x +1)2x −(x 2+2x +1)ln2−2x ，令g(x)=(x +1)2x −(x 2+2x +1)ln2−2x ，(x >0)，则由题意只需a ≤g(x)min ，根据函数的单调性求出g(x)的最小值，求出a 的范围即可． 本题考查了切线方程问题，考查函数恒成立，导数的应用以及转化思想，是一道常规题． 22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =t +2
t
①
y =t −2
t ②(t 为参数)， 故①2−②2，整理得x 2−y 2=8，转换为直角坐标方程为
x 28
−
y 28
=1．
直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π
3)=√3.整理得：12
ρcosθ+√3
2
ρsinθ=√3，
根据{
x =ρcosθy =ρsinθ
转换为直角坐标法方程为x +√3y −2√3=0．
(2)直线x +√3y −2√3=0转换为参数方程为{x =−√3
2t
y =2+1
2t (t 为参数)，代入
x 28
−
y 28
=1，
得到t 2−4t −24=0，(t 1和t 2为A 、B 对应的参数)， 所以t 1+t 2=4，t 1t 2=−24，
所以：|MA|+|MB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=4√7
【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 23.【答案】解：(1)|4x −1|≤|2x +1|+1
⇔{
4x −1≤2x +1+1,x ≥
1
41−4x ≤2x +1+1,−12<x <1
41−4x ≤−2x −1+1,x ≤−12
解得x ∈[−16,3
2]，故原不等式的解集为[−16,3
2].
(2)f(a 2)+f(b 2)=|2a 2−1|+|2b 2−1|≥|2(a 2+b 2)−2|，
由柯西不等式2(a 2+b 2)=(12+12)(a 2+b 2)≥(a +b)2=4．
从而2(a 2+b 2)−2≥2，即f(a 2)+f(b 2)≥2，取等条件为a =b =1． 故f(a 2)+f(b 2)的最小值为2．
【解析】(1)去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．
(2)利用已知条件化简所求的表达式，通过柯西不等式求解即可．
本题考查不等式的解法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。