柔性平行导向机构的静刚度分析
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于靖军, 毕树生, 宗光华
( 北京航空航天大学, 北京 100083)
于靖军
摘 要: 柔性机构是一种新型机构。 作为一类最简单的柔性机构, 柔性平行导向机构被广泛应用在精密定位场合。 由 于在精密操作中要求机构具有很高的定位精度, 而机构的静刚度在很大程度上决定着这一指标。 针对静刚度分析的 重要作用以及目前对机构静刚度分析中存在的不足, 采用结构分析中的柔度矩阵法建立了一种新的用来分析机构 静刚度的理论模型。 其结果相对原有模型更接近有限元仿真的结果。 关 键 词: 柔性机构; 柔度矩阵; 静刚度; 柔性铰链 中图分类号: TH 112. 5 文献标识码: A
5 E bt 2 3 2 5
+
1
Gb
(-
2+ Π + Π 2
R ) t
( 3) ( 4)
c15 =
2E bt 2 12Π R2
E b3
∆≈ lΥ
式 ( 3) , ( 4) 中: ∃U flexure 为单个柔性铰链的变性能; l 为铰链 间的距离; Υ为变形前后变形单元的转角。 由此可得
K eql = F
图 1 柔性平行导向机构 图 2 平行四杆机构
为使机构产生更大的运动, 要求铰链处的壁厚尽可能 小。 实际上柔性平行导向机构理想的加工是采用电火花线 切割 (W ire2EDM ) 的方法, 在一整快板料上进行一次线切 割而成。 其优点如下: ( 1) 电火花线切割方法可加工出厚度小于 50 Λ m 的截 面, 而几何公差可保证在 1 Λ 范围内 , 表面粗糙度也较低 ; m
( 16)
图 6 网格划分 图 7 静变形结果
因此
C CD = C 单元
4 理论值与有限元解比较 0
C 单元
0
( 17)
根据假设, 可视 CD O 为刚体, 首先建立起O 与 CD 之间 的位移协调方程和力平衡方程, 由此推导出 C o 与 C CD 之间 的关系式。位移协调方程
K = C1
如采用机构的伪刚体模型, 即将柔性铰链视为理想转 动副, 其转轴中心处在薄壁的中心, 这时只需考虑柔性铰链 的弯曲变形。 Pa ro s 给出了柔性铰链的转动刚度公式 [3 ]
K Α=
( 8) ( 9)
T
2
5 E bt 2 1 2
T d = [ ∆x , ∆y , ∆z , Η x, Η y, Η z ]
收稿日期: 2001 09 28 基金项目: 国家自然科学基金项目 (50075010) 资助 作者简介: 于靖军 (1974- ) , 男 ( 汉) , 河北, 博士研究生
1 最简单的柔性机构
广义的柔性平行导向机构共有 28 种位形[2 ]。 一种最简 单但应用也最广的柔性机构是如图 1 所示的平行导向机 构。 它包含有四个柔性转动副, 与其对应的刚性平行四杆机 构 ( 如图 2) 的功能一样, 可实现平动的功能, 在柔性机构中 还可单独作为柔性铰链作等效的移动副应用。
可根据柔性转动副的柔度矩阵来计算柔性平行导向机 构的变形刚度矩阵。 为便于表示, 定义了若干表示符号: C flexure 表示柔性转 动副的柔度矩阵, C CD 表示 CD 的柔度矩阵, uCD 表示D 相对
C 的坐标转换矩阵。 另外, 本文还定义了 T C = T CT T
( 15)
可将柔性移动副视为由两个相同的变形单元组成, 结 构参数如图 4 和图 5 所示。 忽略直杆的变形, 来讨论柔性移 动副的柔度矩阵。 这时, 变形单元的柔度矩阵 C 单元 = C flexure (R , t, b) + u ( 0, 0, l + 2R ) C flexure (R , t, b)
W = ∃U
0 0
c330c24c150 0 0 0 0
c66
0
C =
0 0 0
c55
0 0
c15
0
c24
0
c44
0 0 0
( 11)
0 0
0 0
0
图 3 参数设定
0
所对应的柔度矩阵的各个系数为
( 2)
c11 =
9Π R 2 9Π R
5 2
式中: W =
1 F∆ ; ∃U = 4∃U flexu re 。 2 1 2 ∃U flexure = K ΑΥ 2
实际上, 柔性铰链并非是理想的铰链, 而是一变截面的 梁, 而且柔性铰链的转轴中心并不是固定的。 因此, 不能仅考 虑纯粹的弯曲变形, 应先从分析柔性转动副的刚度矩阵开始。
12
E b3
-
2+ Π ] 2
9Π R 3Π R
2E bt 2 8Κ Gbt 2
c66 =
式中: E 为材料的弹性模量; G 为材料的弹性剪切模量所对 应的刚度矩阵
uOC uOD dO = dC dD FC FD
Ana lysis for the Sta tic Stiffness of a Para llel Gu id ing Com pl ian tM echan ism YU J ing 2jun, B I Shu 2sheng, ZON G Guang 2hua (B eijing U n iversity of A eronau tics and A stronau tics, B eijing 100083 ) Abstract: Pa ra llel gu id ing com p lian t m echan ism is a new typ e of m echan ism. B ecau se of its sp ecia l app lica tion s, the p a ra llel gu id ing com p lian t m echan ism requ ires very h igh po sition ing accu racy, w h ich m a in ly dep end s on its sta tic . To overcom e the sho rtcom ing s in ex isting ana lysis fo r sta tic stiffness of com p lian t m echan ism , com p li2 stiffness . Com p a red to ance m a trix m ethod in structu ra l ana lysis is app lied fo r the estab lishm en t of a new theo retic m odel the resu lt from the fin ite elem en t ana lysis, the resu lt by u sing th is m ethod is p roved to be va lid. Key words: Com p lian t m echan ism ; Com p liance m a trix; Sta tic stiffness; F lexu re h inge
k 11
0
k 22
0 0
k 33
0
k 24
k 15
0 0 0 0 0 ( 12)
0
K =
0 0 0
k 55
0 0
k 15
0
k 24
0
k 44
0 0
图 4 变形单元 图 5 柔性转动副
0
0
( 1) 柔性转动副的柔度矩阵
图 4 和图 5 分别给出了机构变形单元与其更小变形单 元柔性转动副的结构参数及受力情况。 可建立以下形式的方程
c22 = c24 = c33 = c44 = c55 =
(-
1 + 4
R 1 ) + (t Gb R ) t R ) t
2+ Π + Π 2
R ) t
12R
E b3
(-
∆
=
4K Α
l2
( 5)
2+ Π + Π 2 2+ Π + Π 2
R ) t
1 2
1
Eb
2. 2 模型 2
([ Π(
1 2 5 1 2 5
243
矩阵和刚度矩阵。 结构力学中给出了参考坐标系与局部坐标系之间刚度 矩阵的坐标变换关系 ( 13) KT = TKTT 式中: 与 T 等效的转动变换矩阵 t = 阵u =
I R
0
R py
0 0
, 移动变换矩
0
I
0 ,P =
pz
- pz
- py px 0 由柔度矩阵与刚度矩阵的互逆关系可求参考坐标系下
0 0 0 0 0 k 66 矩阵中各元素的值是通过求解所对应的柔度矩阵的逆阵来 确定。 ( 2) 不同坐标系下柔度矩阵的变换关系
已知局部坐标系下的柔性元素柔度矩阵和刚度矩阵, 通过坐标转换很容易求出柔性元素在参考坐标系下的柔度
第2期
于靖军等: 柔性平行导向机构的静刚度分析 等效刚度。
3 静刚度计算的有限元模型
9Π R
( 1)
F = [ F x , F y , F z ,M x ,M y ,M z ] c11
( 10)
利用结构力学的分析原理, 可确定柔性转动副的柔度矩阵
0
c22
由于两对边彼此平行, 上下杆件只作相对平移, 具 体参数如图 3 所示。 将结构视为线弹性体处 理, 结构受外力 F 产生变形 ∆, 由功能原理可知, 外力所 作的功 W 完全转化为结构体 的变形能 ∃U 。 即
242
机械科学与技术
Kd = F CF = d
第 22 卷
( 6) ( 7)
( 2) 加工工件不会产生改变其几何形状的应力; ( 3) 即使材料具有很高的弹性极限也很容易加工, 而用
其他传统的加工方法很难实现。
2 静刚度计算的理论模型 2. 1 伪刚体模型 [3 ]
式中: K 为柔性元素单元的刚度矩阵; C 为柔性元素单元的 柔度矩阵; d 为柔性元素单元的节点变形; F 为柔性元素单 元的节点力 。 刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵。 故可由柔度矩阵推 出刚度矩阵的表达式。
目前, 精密定位技术在微电子加工、 光电子元器件制造 以及生物工程等众多领域中正发挥着越来越重要的作用。 所有这些应用中共同之处在于对执行机构——微定位平台 精度的要求很高, 一般要达到亚微米级的定位精度以及纳 米级的运动分辨率。 在很多情况下, 不合适的机械结构对其精度的限制是 无法克服的。 其中铰链的间隙和摩擦是影响机构精度的两 个主要因素。 间隙和摩擦几乎无法同时消除, 而因为间隙和 摩擦所造成的误差又很难通过传感器或控制器消除。 这样 的设计很可能会导致高精度微定位平台无法满足高精度的 要求, 因此亟待一种具有高分辨率、 免于摩擦和回差的新型 机械结构。 柔性机构便是其中一个理想的选择。 如 H er 所定义 [1 ] , 柔性机构是一种依靠柔性元素的变 形来传输运动或力的装置。 其中典型的一种结构是将机构 中的所有铰链都设计成与其等效的柔性运动副型式以期产 生与之相对应的刚性机构所具有的运动。 在加工条件允许 的前提下, 最好将这类机构设计成一体化的结构以完全避 免回差和摩擦。 这样在大幅度提高机构精度的同时, 还降低 了加工和装配的成本, 很适合精密机械的设计。
第 22 卷 第 2 期 2003 年 3月
机械科学与技术 M ECHAN ICAL SC IEN CE AND T ECHNOLO GY 文章编号: 100328728 ( 2003) 0220241204
Vol . 22 N o. 2 M a rch 2003
柔性平行导向机构的静刚度分析
- P
- px 。
柔性元素的柔度矩阵。
C ′= T C T T
( 14)
R
式中: 与 T 等效的转动变换矩阵 t = 阵u = 。 0 I ( 3) 柔性机构的等效柔度矩阵
I PT
0
R
0
, 移动变换矩
为验证上述理论模型的有效性, 对柔性平行导向机构 进行有限元分析是必要的。 因为在所建模型接近真实模型 的前提上, 有限元计算的结果可被认为是一种相对准确的 结果。本文利用商用软件 U G16. 0, 实现了对机构的有限元 建模与分析。 首先对柔性平行导向机构进行实体建模, 再利用其结 构分析的功能建立起有限元模型, 模型均采用高精度的四 面体单元进行网格划分 ( 如图 6) 。 约束情况均按前面模型 而定。材料选为铍青铜 (CuB e2 ) , 其弹性模量 E = 126 GPa, 泊松比 Λ = 0. 3。 随后是求解过程。 在对柔性机构进行静变形分析时所 加载荷为静载荷 ( 驱动器所施加的力载荷) , 完成以上设置 后, 即可进行求解计算。 求解过程中, 程序可自动地对节点 和单元重新排序, 以期获得最大地计算效率。 对柔性平行导向机构进行静变形分析后, 所得结果用 图形显示, 如图 7 所示。
( 北京航空航天大学, 北京 100083)
于靖军
摘 要: 柔性机构是一种新型机构。 作为一类最简单的柔性机构, 柔性平行导向机构被广泛应用在精密定位场合。 由 于在精密操作中要求机构具有很高的定位精度, 而机构的静刚度在很大程度上决定着这一指标。 针对静刚度分析的 重要作用以及目前对机构静刚度分析中存在的不足, 采用结构分析中的柔度矩阵法建立了一种新的用来分析机构 静刚度的理论模型。 其结果相对原有模型更接近有限元仿真的结果。 关 键 词: 柔性机构; 柔度矩阵; 静刚度; 柔性铰链 中图分类号: TH 112. 5 文献标识码: A
5 E bt 2 3 2 5
+
1
Gb
(-
2+ Π + Π 2
R ) t
( 3) ( 4)
c15 =
2E bt 2 12Π R2
E b3
∆≈ lΥ
式 ( 3) , ( 4) 中: ∃U flexure 为单个柔性铰链的变性能; l 为铰链 间的距离; Υ为变形前后变形单元的转角。 由此可得
K eql = F
图 1 柔性平行导向机构 图 2 平行四杆机构
为使机构产生更大的运动, 要求铰链处的壁厚尽可能 小。 实际上柔性平行导向机构理想的加工是采用电火花线 切割 (W ire2EDM ) 的方法, 在一整快板料上进行一次线切 割而成。 其优点如下: ( 1) 电火花线切割方法可加工出厚度小于 50 Λ m 的截 面, 而几何公差可保证在 1 Λ 范围内 , 表面粗糙度也较低 ; m
( 16)
图 6 网格划分 图 7 静变形结果
因此
C CD = C 单元
4 理论值与有限元解比较 0
C 单元
0
( 17)
根据假设, 可视 CD O 为刚体, 首先建立起O 与 CD 之间 的位移协调方程和力平衡方程, 由此推导出 C o 与 C CD 之间 的关系式。位移协调方程
K = C1
如采用机构的伪刚体模型, 即将柔性铰链视为理想转 动副, 其转轴中心处在薄壁的中心, 这时只需考虑柔性铰链 的弯曲变形。 Pa ro s 给出了柔性铰链的转动刚度公式 [3 ]
K Α=
( 8) ( 9)
T
2
5 E bt 2 1 2
T d = [ ∆x , ∆y , ∆z , Η x, Η y, Η z ]
收稿日期: 2001 09 28 基金项目: 国家自然科学基金项目 (50075010) 资助 作者简介: 于靖军 (1974- ) , 男 ( 汉) , 河北, 博士研究生
1 最简单的柔性机构
广义的柔性平行导向机构共有 28 种位形[2 ]。 一种最简 单但应用也最广的柔性机构是如图 1 所示的平行导向机 构。 它包含有四个柔性转动副, 与其对应的刚性平行四杆机 构 ( 如图 2) 的功能一样, 可实现平动的功能, 在柔性机构中 还可单独作为柔性铰链作等效的移动副应用。
可根据柔性转动副的柔度矩阵来计算柔性平行导向机 构的变形刚度矩阵。 为便于表示, 定义了若干表示符号: C flexure 表示柔性转 动副的柔度矩阵, C CD 表示 CD 的柔度矩阵, uCD 表示D 相对
C 的坐标转换矩阵。 另外, 本文还定义了 T C = T CT T
( 15)
可将柔性移动副视为由两个相同的变形单元组成, 结 构参数如图 4 和图 5 所示。 忽略直杆的变形, 来讨论柔性移 动副的柔度矩阵。 这时, 变形单元的柔度矩阵 C 单元 = C flexure (R , t, b) + u ( 0, 0, l + 2R ) C flexure (R , t, b)
W = ∃U
0 0
c330c24c150 0 0 0 0
c66
0
C =
0 0 0
c55
0 0
c15
0
c24
0
c44
0 0 0
( 11)
0 0
0 0
0
图 3 参数设定
0
所对应的柔度矩阵的各个系数为
( 2)
c11 =
9Π R 2 9Π R
5 2
式中: W =
1 F∆ ; ∃U = 4∃U flexu re 。 2 1 2 ∃U flexure = K ΑΥ 2
实际上, 柔性铰链并非是理想的铰链, 而是一变截面的 梁, 而且柔性铰链的转轴中心并不是固定的。 因此, 不能仅考 虑纯粹的弯曲变形, 应先从分析柔性转动副的刚度矩阵开始。
12
E b3
-
2+ Π ] 2
9Π R 3Π R
2E bt 2 8Κ Gbt 2
c66 =
式中: E 为材料的弹性模量; G 为材料的弹性剪切模量所对 应的刚度矩阵
uOC uOD dO = dC dD FC FD
Ana lysis for the Sta tic Stiffness of a Para llel Gu id ing Com pl ian tM echan ism YU J ing 2jun, B I Shu 2sheng, ZON G Guang 2hua (B eijing U n iversity of A eronau tics and A stronau tics, B eijing 100083 ) Abstract: Pa ra llel gu id ing com p lian t m echan ism is a new typ e of m echan ism. B ecau se of its sp ecia l app lica tion s, the p a ra llel gu id ing com p lian t m echan ism requ ires very h igh po sition ing accu racy, w h ich m a in ly dep end s on its sta tic . To overcom e the sho rtcom ing s in ex isting ana lysis fo r sta tic stiffness of com p lian t m echan ism , com p li2 stiffness . Com p a red to ance m a trix m ethod in structu ra l ana lysis is app lied fo r the estab lishm en t of a new theo retic m odel the resu lt from the fin ite elem en t ana lysis, the resu lt by u sing th is m ethod is p roved to be va lid. Key words: Com p lian t m echan ism ; Com p liance m a trix; Sta tic stiffness; F lexu re h inge
k 11
0
k 22
0 0
k 33
0
k 24
k 15
0 0 0 0 0 ( 12)
0
K =
0 0 0
k 55
0 0
k 15
0
k 24
0
k 44
0 0
图 4 变形单元 图 5 柔性转动副
0
0
( 1) 柔性转动副的柔度矩阵
图 4 和图 5 分别给出了机构变形单元与其更小变形单 元柔性转动副的结构参数及受力情况。 可建立以下形式的方程
c22 = c24 = c33 = c44 = c55 =
(-
1 + 4
R 1 ) + (t Gb R ) t R ) t
2+ Π + Π 2
R ) t
12R
E b3
(-
∆
=
4K Α
l2
( 5)
2+ Π + Π 2 2+ Π + Π 2
R ) t
1 2
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Eb
2. 2 模型 2
([ Π(
1 2 5 1 2 5
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矩阵和刚度矩阵。 结构力学中给出了参考坐标系与局部坐标系之间刚度 矩阵的坐标变换关系 ( 13) KT = TKTT 式中: 与 T 等效的转动变换矩阵 t = 阵u =
I R
0
R py
0 0
, 移动变换矩
0
I
0 ,P =
pz
- pz
- py px 0 由柔度矩阵与刚度矩阵的互逆关系可求参考坐标系下
0 0 0 0 0 k 66 矩阵中各元素的值是通过求解所对应的柔度矩阵的逆阵来 确定。 ( 2) 不同坐标系下柔度矩阵的变换关系
已知局部坐标系下的柔性元素柔度矩阵和刚度矩阵, 通过坐标转换很容易求出柔性元素在参考坐标系下的柔度
第2期
于靖军等: 柔性平行导向机构的静刚度分析 等效刚度。
3 静刚度计算的有限元模型
9Π R
( 1)
F = [ F x , F y , F z ,M x ,M y ,M z ] c11
( 10)
利用结构力学的分析原理, 可确定柔性转动副的柔度矩阵
0
c22
由于两对边彼此平行, 上下杆件只作相对平移, 具 体参数如图 3 所示。 将结构视为线弹性体处 理, 结构受外力 F 产生变形 ∆, 由功能原理可知, 外力所 作的功 W 完全转化为结构体 的变形能 ∃U 。 即
242
机械科学与技术
Kd = F CF = d
第 22 卷
( 6) ( 7)
( 2) 加工工件不会产生改变其几何形状的应力; ( 3) 即使材料具有很高的弹性极限也很容易加工, 而用
其他传统的加工方法很难实现。
2 静刚度计算的理论模型 2. 1 伪刚体模型 [3 ]
式中: K 为柔性元素单元的刚度矩阵; C 为柔性元素单元的 柔度矩阵; d 为柔性元素单元的节点变形; F 为柔性元素单 元的节点力 。 刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵。 故可由柔度矩阵推 出刚度矩阵的表达式。
目前, 精密定位技术在微电子加工、 光电子元器件制造 以及生物工程等众多领域中正发挥着越来越重要的作用。 所有这些应用中共同之处在于对执行机构——微定位平台 精度的要求很高, 一般要达到亚微米级的定位精度以及纳 米级的运动分辨率。 在很多情况下, 不合适的机械结构对其精度的限制是 无法克服的。 其中铰链的间隙和摩擦是影响机构精度的两 个主要因素。 间隙和摩擦几乎无法同时消除, 而因为间隙和 摩擦所造成的误差又很难通过传感器或控制器消除。 这样 的设计很可能会导致高精度微定位平台无法满足高精度的 要求, 因此亟待一种具有高分辨率、 免于摩擦和回差的新型 机械结构。 柔性机构便是其中一个理想的选择。 如 H er 所定义 [1 ] , 柔性机构是一种依靠柔性元素的变 形来传输运动或力的装置。 其中典型的一种结构是将机构 中的所有铰链都设计成与其等效的柔性运动副型式以期产 生与之相对应的刚性机构所具有的运动。 在加工条件允许 的前提下, 最好将这类机构设计成一体化的结构以完全避 免回差和摩擦。 这样在大幅度提高机构精度的同时, 还降低 了加工和装配的成本, 很适合精密机械的设计。
第 22 卷 第 2 期 2003 年 3月
机械科学与技术 M ECHAN ICAL SC IEN CE AND T ECHNOLO GY 文章编号: 100328728 ( 2003) 0220241204
Vol . 22 N o. 2 M a rch 2003
柔性平行导向机构的静刚度分析
- P
- px 。
柔性元素的柔度矩阵。
C ′= T C T T
( 14)
R
式中: 与 T 等效的转动变换矩阵 t = 阵u = 。 0 I ( 3) 柔性机构的等效柔度矩阵
I PT
0
R
0
, 移动变换矩
为验证上述理论模型的有效性, 对柔性平行导向机构 进行有限元分析是必要的。 因为在所建模型接近真实模型 的前提上, 有限元计算的结果可被认为是一种相对准确的 结果。本文利用商用软件 U G16. 0, 实现了对机构的有限元 建模与分析。 首先对柔性平行导向机构进行实体建模, 再利用其结 构分析的功能建立起有限元模型, 模型均采用高精度的四 面体单元进行网格划分 ( 如图 6) 。 约束情况均按前面模型 而定。材料选为铍青铜 (CuB e2 ) , 其弹性模量 E = 126 GPa, 泊松比 Λ = 0. 3。 随后是求解过程。 在对柔性机构进行静变形分析时所 加载荷为静载荷 ( 驱动器所施加的力载荷) , 完成以上设置 后, 即可进行求解计算。 求解过程中, 程序可自动地对节点 和单元重新排序, 以期获得最大地计算效率。 对柔性平行导向机构进行静变形分析后, 所得结果用 图形显示, 如图 7 所示。