高三数学二轮复习高考大题标准练四理新人教版

高考大题标准练(四)
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1.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x(x∈R).
(1)求函数f(x)的周期和递增区间.
(2)若函数g(x)=f(x)-m在[0,]上有两个不同的零点x1,x2,
求tan(x1+x2)的值.
【解析】(1)因为f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x
=sin2x-cos2x=sin(x∈R).
由2kπ-≤2x-≤2kπ+
⇒kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以函数f(x)的周期为T=π,递增区间为(k∈Z).
(2)因为g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m;
在直角坐标系中画出函数f(x)=sin在上的图象,
由图象可知,当且仅当m∈[1,)时,
方程f(x)=m在上的区间和有两个不同的解x1,x2,
且x1与x2关于直线x=对称,即=,
所以x1+x2=;故tan(x1+x2)=-1.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一点.已知PD=,CD=4,AD=.
(1)若∠ADE=,求证:CE⊥平面PDE.
(2)当点A到平面PDE的距离为时,求三棱锥A-PDE的侧面积.
【解析】(1)在Rt△DAE中,AD=,∠ADE=,
所以AE=AD·tan∠ADE=·=1.
又AB=CD=4,所以BE=3.
在Rt△EBC中,BC=AD=,
所以tan∠CEB==,
所以∠CEB=.
又∠AED=,所以∠DEC=,即CE⊥DE.
因为PD⊥底面ABCD,CE⊂底面ABCD,
所以PD⊥CE.又PD∩DE=D,
所以CE⊥平面PDE.
(2)因为PD⊥底面ABCD,PD⊂平面PDE,
所以平面PDE⊥平面ABCD.
过A作AF⊥DE于F,所以AF⊥平面PDE,
所以AF就是点A到平面PDE的距离,即AF=.
在Rt△DAE中,由AD·AE=AF·DE,
得AE=·,解得AE=2.
所以S△APD=PD·AD=××=,
S△ADE=AD·AE=××2=,
因为BA⊥AD,BA⊥PD,AD∩PD=D,
所以BA⊥平面PAD,
因为PA⊂平面PAD,所以BA⊥PA.
在Rt△PAE中,AE=2,PA===,
所以S△APE=PA·AE=××2=.
所以三棱锥A-PDE的侧面积S侧=++.
3.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+=0相切.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若斜率为k(k≠0)的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于A，M，N(A点在椭圆右顶点的右
侧)，且∠NF2F1=∠MF2A.求证直线l恒过定点，并求出斜率k的取值范围. 【解析】(1)由题意知e==，
所以e2===，
即a2=2b2.又因为b==1，所以a2=2，b2=1，
所以椭圆方程为+y2=1.
(2)由题意，设直线l的方程为y=kx+m(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).
由得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.
由Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)>0，得m2<2k2+1，
则有x1+x2=，x1x2=.
因为∠NF2F1=∠MF2A，
且∠MF2A≠90°，+=0.
又F2(1，0)，则+=0，即+=0，
化简得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0.
将x1+x2=，x1x2=代入上式得m=-2k，
所以直线l的方程为y=kx-2k，即直线过定点(2，0).
将m=-2k代入m2<2k2+1，
得4k2<2k2+1，即k2<，又因为k≠0，
所以直线l的斜率k的取值范围是∪.
4.设函数f(x)=lnx+，m∈R.
(1)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值.
(2)讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数.
【解析】(1)由题设，m=e时，f(x)=lnx+，则f′(x)=，所以当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；
当x∈(e，+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，+∞)上单调递增.
所以x=e时，f(x)取得极小值f(e)=lne+=2，
所以f(x)的极小值为2.
(2)由题设g(x)=f′(x)-=--(x>0)，
令g(x)=0，m=-x3+x(x>0)，设φ(x)=-x3+x(x>0)，
则φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，+∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，+∞)上单调递减.
所以x=1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是φ(x)的最大值点，
所以φ(x)的最大值为φ(1)=.
又φ(0)=0，结合y=φ(x)的图象(如图所示)，可知
①当m>时，函数g(x)无零点；
②当m=时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0<m<时，函数g(x)有两个零点；
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点.
综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；当m=或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0<m<时，函数g(x)有两个零点.
5.椭圆E:+=1(a>b>0)的焦点到直线x-3y=0的距离为,离心率为,抛物线G:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点重合;斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A,B,与G 交于C,D.
(1)求椭圆E及抛物线G的方程.
(2)是否存在常数λ,使+为常数,若存在,求λ的值,若不存在,说明理由.
【解析】(1)设E,G的公共焦点为F(c,0),由题意是=,=.
联立解得c=2,a=,b=1.
所以椭圆E:+y2=1,抛物线G:y2=8x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).
直线l的方程为y=k(x-2),与椭圆E的方程联立得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.
Δ=400k4-20(5k2+1)(4k2-1)=20(k2+1)>0.
x1+x2=,x1x2=
|AB|=|x1-x2|
=
=.
直线l的方程为y=k(x-2),
与抛物线G的方程联立
得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.
x3+x4=.
|CD|=x3+x4+4=.
+=+
=.
要使+为常数,则20+λ=4,得λ=-. 故存在λ=-,使+为常数.。