高中数学 专题1.3.3 函数的最大(小)值与导数测试(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二

函数的最大（小）值与导数
（时间：25分，满分50分）
班级 姓名 得分 1.（5分）函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( ) A ．极大值一定比极小值大 B ．极大值一定是最大值 C ．最大值一定是极大值 D ．最大值一定大于极小值 【答案】 D
【解析】 由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值． 2．（5分）函数f (x )＝x 3
－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 【答案】 D
3．（5分）已知f x x x m ()=-+2632（m 为常数）在区间[]-22，上有最大值3，那么此函数在[]-22，上的最小值为
（ ）
A ．-5
B ．-11
C ．-29
D ．-37
【答案】D
【解析】令()2()612620f x x x x x '=-=-=，得02x x ==或，当20x -≤<时，()0f x '>，当02
x <<时，()0f x '<，所以最大值在0x =处取得，即()03f m ==，又()()237,25f f -=-=-，所以最小值为37-.
4．（5分）函数y ＝x e －x
，x ∈[0,4]的最大值是( ) A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2
【答案】 B
【解析】 y ′＝e －x
－x ·e －x
＝e －x
(1－x )，
令y ′＝0，∴x ＝1，
∴f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1
＝1e
，∴f (1)为最大值，故选B.
5.（5分）函数32231(0),
()e (0)
ax x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩在[2,2]-上的最大值为2，则a 的取值范围是（ ）
A ．1
[ln 2,)2+∞ B.1[0,ln 2]2 C.(,0)-∞ D.1
(,ln 2]2
-∞ 【答案】D
【解析】当0x ≤时，()()61f x x x '=+，令()0,f x '>得1x <-，令()0f x '<，得10x -<<，则在[]2,0-上的最大值为()12f -=.欲使得函数()f x 在[2,2]-上的最大值为2，则当2x =时，2e a
的值必须小于或
等于2，即2e
2a
≤，解得1
(,ln 2]2
a ∈-∞，故选D.
6．（5分）函数()3
31f x x x =--，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )
A ．20
B ．18
C ．3
D ．0 【答案】A
7．（5分）已知函数f (x )＝e x
－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 【答案】 (－∞，2ln 2－2]
【解析】 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x
，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x
在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x
，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．
8．（5分）已知f (x )＝－x 2
＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________． 【答案】 [－4，－2]
【解析】 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m 2，由题设得m
2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．
9.（5分）已知函数f (x )＝2x 3
－6x 2
＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值． 【解析】 f ′(x )＝6x 2
－12x ＝6x (x －2)，
令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 f ′(x )
＋ 0 － 0 f (x )
－40＋a
单调递增
极大值a
单调递减
－8＋a
∴当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，得a ＝3. 当x ＝0时，f (x )的最大值为3.
10．（5分）已知函数()()ln ,0f x x ax a x =-∈>R ， (1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间； (2)当0a >时，求函数()f x 在[]1,2上的最小值.
(2)由()ln f x x ax =-得11()ax f x a x x
-+'=
-=， 令()0f x '>得10x a <<，令()0f x '<得1
x a
>，
()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.
①当
1
1a
≤，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1,2]上是减函数, ∴()f x 的最小值是()2ln22f a =-. ②当
12a ≥，即1
02
a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]上是增函数， ∴()f x 的最小值是()1f a =-. ③当112a <
<，即112a <<时，函数()f x 在11,a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上是增函数，在1,2a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
是减函数．又()()21ln2f f a -=-，∴当1
ln 22
a <<时,ln 20,a ->最小值是()1f a =-；当ln 21a ≤<时,最小值
为()2ln22f a =-.
综上，当0ln 2a <<时, ()min f x a =-；当ln 2a ≥时，()min ln 22f x a =-.。