最新人教A版数学必修二同步练习2.3.3直线与平面垂直的性质(含答案解析)

直线与平面垂直的性质
一、选择题 ( 每题 6 分, 共 30 分)
1.直线 l 垂直于梯形ABCD 的两腰 AB 和 CD, 直线 m 垂直于 AD 和 BC,则 l 与 m 的地点关系
是()
A. 订交
B. 平行
C.异面
D.不确立
2.已知平面α与平面β订交 ,直线 m⊥ α ,则()
A. β内必存在直线与m 平行 ,且存在直线与m 垂直
B. β内不必定存在直线与m 平行 ,不必定存在直线与m 垂直
C.β内不必定存在直线与m 平行 ,但必存在直线与m 垂直
D. β内必存在直线与m 平行 ,不必定存在直线与m 垂直
3.设 m,n 是两条不一样的直线 ,α ,β是两个不一样的平面. ()
A. 若 m∥α ,n∥ α ,则 m∥ n
B. 若 m∥ α,m∥ β ,则α∥ β
C.若 m∥ n,m⊥α ,则 n⊥α
D. 若 m∥α ,α ⊥ β,则 m⊥β
4.如图 ,已知△ ABC 为直角三角形,此中∠ ACB=90 ° ,M 为 AB 的中点 ,PM 垂直于△ ABC 所在平面,那么()
A.PA=PB>PC
B.PA=PB<PC
C.PA=PB=PC
D.PA≠ PB≠ PC
5., ABC, ACB=90,l A ABC,P l,P
点 A 时,∠PCB的大小()
A. 变大
B. 变小
C.不变
D.有时变大有时变小
二、填空题 (每题 8 分 ,共 24 分 )
6.已知直线m平面α,直线n平面α ,m∩ n=M,直线a⊥m,a⊥ n,直线b⊥ m,b⊥ n,则直线a,b 的地点关系是.
7.AB 是☉ O 的直径 ,点 C 是☉ O 上的动点线 VC 垂直于☉ O 所在的平面 ,D,E 分别是是(填写正确结论的序号 ).(点 C 不与 A,B 重合 ),过动点 C 的直VA,VC 的中点 ,则以下结论中正确的
(1)直线 DE ∥平面 ABC.
(2)直线 DE ⊥平面 VBC.
(3)DE ⊥VB.
(4)DE ⊥AB.
8.阅读相关球的基天性质回答以下问题
球的性质 :
(1)假如用平面截球面 ,那么截得的是圆 .
(2)球心与截面圆心的连线垂直于截面.
(3) 设球心到截面的距离为d,截面圆的半径为r,球的半径为R,则 r=.
(4)球的表面积公式 :S=4π R2. 问题 :
已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点 ,PA⊥平面形 .若 PA=2,则球 O 的表面积是
三、解答题 (9 题 ,10 题 14 分 ,11 题 18 分)
9.如下图 ,四边形ABCD是平行四边形,直线BDE ⊥平面 ABCD.
ABCD, 四边形 ABCD
.
SC⊥平面ABCD,E是
是边长为2
SA 的中点
的正方
,求证 :平面
10.如图 ,已知平面α∩平面β =AB,PQ ⊥ α于 Q,PC⊥ β于 C,CD⊥ α于 D.
(1)求证 :P,C,D,Q 四点共面 .
(2)求证 :QD ⊥ AB.
11.(能力挑战题 )如图 ,四边形 ABCD 为矩形 ,AD ⊥平面 ABE,F 为 CE 上的点 ,且 BF⊥平面 ACE.
(1)求证 :AE ⊥平面 BCE.
(2)设 M 在线段 AB 上 ,且知足 AM=2MB, 试在线段 CE 上确立一点 N,使得 MN ∥平面 DAE.
答案分析
1.【分析】选 D.由于 l⊥ AB,l ⊥ CD 且 AB 与 CD 订交 ,因此 l ⊥平面 ABCD, 固
然 m⊥ AD,m ⊥ BC,可是 AD ∥BC,
因此 m 与平面 ABCD 不必定垂直 ,
因此 l 与 m 订交、平行、异面都有可能.
2.【分析】选 C.若β内存在直线l 与 m 平行 ,则由 m⊥ α可知 l⊥ α ,于是α ⊥β .由此可知当
平面α与平面β订交但不垂直 ,直线 m⊥ α时 ,β内不必定存在直线与 m 平行 .由于 m⊥ α,因此
m 和平面α与平面β的交线垂直 ,因此β内必存在直线与 m 垂直 .
3.【分析】选 C.A 选项中 m 与 n 还有可能订交、异面;B 选项中α与β 还有可能订交;D 选项
中 m 与β还有可能平行或mβ .
4.【分析】选 C.
由于△ ABC 为直角三角形,M 为斜边 AB 的中点 ,
因此 MA=MB=MC,
由于 PM 垂直于△ ABC 所在平面 ,
因此 Rt△PMA ≌Rt△ PMB ≌ Rt△ PMC,
因此 PA=PB=PC.
【变式备选】已知直线PG⊥平面α于 G,直线 EFα,且PF⊥ EF于F,那么线段PE,PF,PG 的关系是()
A.PE>PG>PF
B.PG>PF>PE
C.PE>PF>PG
D.PF>PE>PG
【分析】选 C.Rt△ PFE 中 ,PE>PF;Rt △ PFG 中,PF>PG,因此 PE>PF>PG.
5.【分析】选 C.由于 l⊥平面 ABC, 因此 BC ⊥ l.
由于∠ ACB=90 ° ,因此 BC⊥ AC.
又 l∩ AC=A, 因此 BC ⊥平面 PAC,
因此 BC⊥ PC,因此∠ PCB=90 ° .
6.【分析】由于直线a⊥ m,a⊥ n,
直线 m平面α,直线n平面α ,m∩ n=M,
因此 a⊥ α ,
同理可证直线b⊥ α,因此 a∥b.
答案 : a∥ b
7.【分析】由于AB 是☉ O 的直径 ,点 C 是☉ O 上的动点 (点 C 不与 A,B 重合 ),
因此 AC ⊥ BC,
由于 VC 垂直于☉ O 所在的平面 ,
因此 AC ⊥ VC, 又 BC∩ VC=C,
因此 AC ⊥平面 VBC.
由于 D,E 分别是 VA,VC 的中点 ,
因此 DE∥ AC,又 DE?平面 ABC,AC平面ABC,
因此 DE∥平面 ABC,
DE ⊥平面 VBC,DE ⊥ VB,
DE 与 AB 所成的角为∠ BAC 是锐角 ,故 DE ⊥AB 不建立 .
由以上剖析可知(1)(2)(3) 正确 .
答案 :(1)(2)(3)
8.【解题指南】确立球心的地点是解题的重点,由球的性质可知球心在过正方形ABCD的中心与正方形ABCD 所在平面垂直的直线上.
【分析】如下图,取正方形ABCD 的中心 O1,
连结 OO 1,则 OO1⊥平面 ABCD,
又由于 PA⊥平面 ABCD,
因此 PA∥OO 1,因此 P,A,O,O1四点共面 .
过 O 作 OE⊥ PA,由 OP=OA 知 E 是 PA 的中点 ,
因此 PE= PA=,
由于 O1A ⊥ PA,因此 OE∥O1A,
因此四边形EAO 1O 是平行四边形,
因此 OE=O1A=×AB=× 2=,
PO==2,即球的半径为2,
因此球的表面积S=4π (2)2=48 π .
答案 :48π
9.【解题指南】要证面面垂直,需证线面垂直.这里需要找寻已知条件“SC⊥平面ABCD ”与
.
需证结论“平面BDE ⊥平面 ABCD ”之间的桥梁
【证明】连结AC,BD, 交点为 F,连结 EF,
因此 EF 是△ SAC 的中位线 ,因此 EF∥ SC.
由于 SC⊥平面 ABCD, 因此 EF⊥平面 ABCD.
又 EF 平面 BDE,
因此平面BDE ⊥平面 ABCD.
【拓展提高】解决立体几何问题的基来源则
空间问题转变成平面问题是解决立体几何问题的一个基来源则,解题时要抓住几何图形自己的特色,如等腰三角形三线合一、中位线定理、菱形对角线相互垂直、勾股定理及其逆定理
等 .
10.【证明】 (1) 由于 PQ⊥ α ,CD⊥ α ,因此 PQ∥ CD,
于是 P,C,D,Q 四点共面 .
(2) 由于 ABα ,因此PQ⊥ AB,
又由于 PC⊥ β,ABβ ,
因此 PC⊥ AB,
又由于 PQ∩ PC=P,
设 P,C,D,Q 四点共面于γ ,
则 AB ⊥ γ ,
又由于 QDγ ,因此QD⊥ AB.
11.【分析】 (1) 由于 AD ⊥平面 ABE,AD ∥BC,
因此 BC⊥平面 ABE, 则 AE ⊥ BC,
又由于 BF⊥平面 ACE, 则 AE ⊥ BF,BC ∩ BF=B,
因此 AE ⊥平面 BCE.
(2)在三角形 ABE 中过 M 点作 MG∥ AE 交 BE 于 G 点,在三角形 BEC 中,过 G 点作 GN∥BC 交 EC 于 N 点,连结 MN,
由比率关系易得CN= CE,
由于 MG ∥ AE,MG ?平面 ADE,AE平面ADE,
因此 MG ∥平面 ADE, 同理 ,GN ∥平面 ADE, 又 MG ∩GN=G,
因此平面 MGN ∥平面 ADE,
又 MN 平面 MGN,
因此 MN ∥平面 ADE,
因此 N 点为线段CE 上凑近 C 点的一个三平分点.。