上海各区高三二模数学试卷带答案.doc

静安、杨浦.青浦、宝山
2013—2014学年数学试卷(理科)
2014.4
一、填空题(本大题共有14题，满分56分)
1-/ 0
L二阶行列式的値是.(苴中?•为虚数单位)
1+Z 1+/
2.已知亍J是方向分别与兀轴和尹轴正方向相同的两个基本单位向量，贝U平面向量7 + 7的模等于—.
3.二项式(x + 1)7的展开式中含*项的系数值为_______________ •
4.已知圆锥的母线长为5，侧而积为15”，则此圆锥的体积为______ .(结果中保留兀)
5.已知集合/ = ｛y y = sinx,xw7?｝, B = ｛兀x = 2n + l,n wZ｝,则A^\B= ___________ .
6.在平面直角处标系兀0中，若鬪F +(y-厅=4上存在/ , B两点，月弦AB的中点为P(l,2),
则直线AB的方程为 ________________ .
7.已知1002 X +1002 7 = 1，则X +尹的最小值为__________ •
8.已知首项q=3的无穷等比数列｛~｝(/7wNj的各项和等于4,则这个数列｛〜｝的公比
是_________ •
[x = 2cos/
9.在平面直角坐标系Illi线G的参数方程为彳. (Q为参数)，O为坐标原点，
[y = 2sina,
M为G上的动点，P点满足0P = 20M，点P的轨迹为曲线C?.则C2的参数方程为.
10.阅读右而的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为_______ •
11.从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机
变量g表示所选3人中女志愿者的人数，则g的数学期望是________ ・
12.设各项均不为零的数列｛c”｝中，所有满足q • c/+1 < 0的正整数i的个数称
为这个数列｛c”｝的变号数.已知数列｛a n｝的前〃项和
S“ = n2 - 4/7 + 4 , b n=l-— 5 w N * ),则数列｛b n｝的变号数为__ .
%
13.已知定义在[0,+oo)上的函数/(兀)满足/(x) = 3/(x + 2).当兀G [0,2)时
/(x) = -，+ 2x .设f(x)在\2n - 2,2/7)上的最人值为碍，且数列
｛%｝的第10题前斤项和为S”，贝ij lim S tJ = _______ .(其中〃wN*)
"T8
14.正方形5和S?内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设ZA = a,若S】=441,
S? =440,
结束否
输出上
X
二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编 号上，
将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. .............................................................................................................. 在实数集R 上定义运算
*： x^y = x\\-y).若关于x 的不等式x*(x —°)> 0的解集是 集合｛x|-l<x<l ｝的子集，则实数a 的取值范围是 ..................................................... (
).
(A)
[0,2]
(B) [-2,-l)U(-l,0] (C) [0,l)U(l,2]
Q)[-2,0]
16. “0 = 1”是“函/(x) = sin 2 air - cos 2 cox 的最小正周期为龙”的 ......... ( ).
(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分又必要条件
17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分別记为$、52，则$ ： S?=...
( ). (A) 1：1 3)2:1 (C) 3:2 (D) 4:1
兀 0 < x < 1,
1
对于任意的xeR 都有 (―广―1, -l<x<0.
I 27
/(x + 1) = /(x-1).若在区间［-1,3］上函数g(x) = f (x) -mx-m 恰有四个不同的零点，
)•
三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的
步骤.
19.(本题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD 小，底面ABCD 是平行四边形，ZCAD = 90° , PA 丄平面ABCD, PA = BC = \, AB
=近,F 是 的中点. (1) 求证：D4 丄平[fri/UC ；
(2) 若以M 为坐标原点，射线AC. AD 、MP 分别是轴、轴、轴的
正半轴，建立空间直角处标系，已经计算得n = (1,1,1)是平面PCQ 的
18.函数/(兀)的定义域为实数集R , /(x) = \ 则 sin 2a =________
B
法向量，求平面与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环血花坛是山以点O 为圆心的两个同心圆弧 AD>
弧BC 以及两条线段和CQ 围成的封闭图形.花坛设计周长为30米，其中人圆弧/D 所在 圆的 半径为10米.设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（0 VXV10），圆心角为&弧度. （1） 求0关于x 的函数关系式； （2） 在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条 弧
线部分的装饰费用为9元咪.设花坛的面积与装饰总费用的比为y , 当x 为何值时，尹取得授大值？
& （第20题图）
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分
Y 2 v 2
已知椭PIC: —+ ^ = 1（6/>^>0）的右焦点为F （1,0）,短轴的端点分别为BE ，且 cT b" FB 、• FB 2 - -a.
（1） 求椭圆C 的方程；
（2） 过点F 且斜率为k （kHO ）的直线/交椭圆于两点，弦的垂直平分线与x 轴相 交于点D.
设眩的中点为戶，试求四的取值范围.
MN
22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分6分
设函数 g(x) = 3v
, h(x) = 9X .
(1) 解方程:x + log 3(2g(x) -8) = log 3(/z(x) + 9):
实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.
23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分8分
设各项都是正整数的无穷数列｛。

”｝满足：对任意有•记b ft = a iln .
(1) 若数列&”｝是首项4=1，公比q = 2的等比数列，求数列0”｝的通项公式： (2) 若b n =3n ,证明:a ｛ = 2 ； (3) 若数列仏｝的首项q=l,
｛-｝是公差为1的等差数列•记心=一2〃・色，
S”二％+/+•••+ /」+/，问：使S”+e2w 〉50成立的最小正整数刃是否存在？
并说明理由
g(x) + h
一.填空题(本大题满分56分) 15. D ； 16. B ； 17. C ； 18. D ；
三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内
写岀必要的步骤・
19. /(0,0,0),C(l,0,0),B(l,—1,0)0(0,1,0),F(l,—*,()),P(0,0,1).
(1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q 丄平而A BCD :. P4丄, 乂 AC 丄DA , AC1 PA = A, /. DA 丄平面 PAC .
ULIU 方法二 证得D4是平面E4C 的一个法向量，••• D4丄平血F/C.
U
(2) 通过平而儿何图形性质或者解线性方程组，计算得平而PAF-个法向量为加= (1,2,0),
丄 IT I* | "7 • 77 I yj\ 5
又平面PCQ 法向虽为〃二(1,1,1),所以cos<m,/?>=V-4 = ^ 所求二面角的余弦值
| m || /71 5
20. (1)设扇环的圆心角为&，则30 = &(10 + x) + 2(10 — x),所以“
(2)花坛的面积为丄0(102 _ H )=(5 + 兀)(10 _ x)=—兀2 + 5兀 + 50, (0 < x v 10).
装饰总费用为9〃(10 +兀)+ 8(10 — x) = 170 +10兀,
令f = 17 + x ，则y = — ~丄(/ +竺)W 丄，当且仅当Q18时取等号，此Wx = l,^ = —.
10 10 / 10 11 答：当x = l 时，花坛的面积与装饰总费用的哎大.
21. (1)依题意不妨设 5,(0,-/?), B 2(0,6),则两= (_l,-b), 亟=(—l,b).
试卷解答
1.厶 8.-
4
2. V2
3. 35；
4. 12龙
10.
c 10 30 小 15 c 1 9 11. 二
=Ox —+ 1 x — + 2x — + 3x —= •
56 56 56 56 8
12. 3.
13.- 14. sin 2(7
1
2
10
5. {-1,1} ； 6- x + y-3 = 0 13
7
7. 2V2；
每题有且只有一个正确答案，考生应在答案
所以花坛的面积与装饰总费川的比尹=
—+ 5x + 50
170 + 10x
x* — 5x — 50 10(17 + x)
[x = 4cos«, t ■ if
9. \ ( a 为参数)； [y = Asma,
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题, 纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
5
由两• ~FB 2=-a,得 1一庆=一6/.又因为 a 2-h 2 = \f 解得 a = 2,b =品. x 1 V 2
所以椭圆C 的方程为—+ 2
- = 1.
4 3
(2 )依题意直线/的方程为y = k(x-\). 由 (3 + 4F)/ — 8疋 x + 4/ -12 = 0.
设 A/(X]，M ), N(x 2,y.),贝ijx + x 2 = ---------- , = --------- r 1 Z1 2 Z2 1 2
3 + 4/
1 2 3 + 4疋
必2
所以弦MN 的中点为P (二•
3 + 4/ 3 + 僦"
所以\MN\ = J (X] -兀2)2 +(H -力)'=J 伙2 +1)[(X] +兀2)= —4兀“2]
是(0,2).
4
22. (1) 3v -(2-3v -8) = 9v +9, 3” =9, x = 2
心、J007、_ z l._ V3 _ 1
)007、 ,1、_3 1 2014
2
2^3 2 7
2014 ” 2
6 2
y = k(x-\\ x 1 y 2
得
—+ —= 1 4 3
4k 2
-12 Y
(3 + 4疋)2 3 + 4 疋 4/+3
2k 直线PD 的方程为y + —— 4k+3 k 2
由 y = Of 3 + 4/ 1 ( 4k 2
—(x ------- ；~ k 4,+3 k 2
), 所以
得"E 则。

(灯)'
DP MN
3*(/+1)
4宀3 二1 12(疋+1) ~4 4/+3
又因为宀1>1,所以0<丙
<1.所以0
DP
7fN\
的取值范困 4
1
r+ 1
3” 3宀3" V3
+ g(二一)+ …+ 讥岂丄)= 1006 + -・
2014 2014 2014 2
/ 1 、, 2 、/2013、_ / 1 、, 2 、,2013.
p( ---- ) + p( --- ) + …+ p( ----- ) = q( ------- ) + q( --- ) H ---- H q( --- ) •2014 2014 2014 2014 2014 2014
(3)因为广⑴ /(X +1)+ Q是实数集上的奇函数，所以6/= -3,6 = 1.
(p(x) + b
2
f(x) = 3(1 ---------- ), /(x)在实数集上单调递增.
3" +1
由f(h(x)-1) + /(2 - k• g(x)) > 0 得f(h(x) - 1) >-f(2 - k・ g(兀)),又因为f(x)是实数集上的奇函数，
所以,/(/?(%) -1) > f(k - g(x) - 2),
乂因为f(x)在实数集上单调递增，所以加切-1 > & • g(x) - 2
即3"—1>丘・3"—2对任意的xeR都成立，即k<V + —对任意的xeR都成立，k<2.
V
4"“
23. (1) h} = a Ux = 6?! = 1 , b n = a iln = = 2-
(2)根据反证法排除q = 1和q A 3 (a} G M) 证明：假设QH2,又,所以q=l或6/七3(同丘“)
①当a】=1时，h} = a山=a x = 1与b、=3矛盾，所以q H 1 ；
②当<7, > 3 (q G N*)吋，即 e ' 3 =勺=a5 ,即a} > % , 又a” v%i，所以4 G与矛盾；
由①②可知4=2・
(3)首先血}是公差为1的等差数列，
证明如下:a 卄1 >a n n n》2,nwN*时a n > a n_x,
所以0“»勺.[+ 1 => a n > a m + (w - m), (m<n. n w N*)
=> %屮 n %】+ S”+1 +1— a +1)]即> 勺+| - a”
由题设1 >% -勺又a n+i-a n>l =>cr n+l-a n=l
即血}是等差数列.又血}的首项q=l,所以a…=n, 5W =-(2 + 2-22 +3-23+…+ 〃・2"), 对此式两边乘以2,得2S” =-22 -2-23 -3«24 ----------------------------------- 〃・2用
两式相减得S” = 2 + 22 +23 +・・・ + 2"—介2曲=2?,+1-A?-2W+1 -2
因为用)+叫⑴1'
y 91 一x g x 3
<7(x) + g(l -x) = ---------- F — ----- = --------- + -------- = 1
『+3 9宀+3 『+3 9X +3
1 2 2013 1
所以，p( ------- ) + p( ------- ) + ・・・ + p( ) = 1006 + -,
2014 2014 2014 2
S w+w2n+1 =2w+1-2, S”+〃・2W+1 > 50 BP 2W+1 > 52 ,当n>5时,2n+, = 64 > 52 , 即存在最小正整数5使得S” +w-2,,+1 >50成立.
注：也可以归纳猜想后川数学归纳法证明a n=n.
2013学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科（理科）2014.4 一.填空题：（本题满分56分，每小题4分）
1.己知集合A = < B=[X\X2-2X-3>0,XE R],则A^B= _________________________
< x + 5 J
2.直线x + Q + l二0的倾斜角的大小是____________ .
（兀、
3.函数y = cos 2x + —的单调递减区间是•
1 4 丿 ----------
2
4.函数尹=X4- —（% > 2）的值域是________ .
5.设复数z满足Z（z + 1） = —3 + 2Z,则？ = ________ ・
6. ________________ 某学校高一、高二、高三共有2400名学主，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样 的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学牛:，高二有780名学纶，则在该学校的 高三应抽取 名学生.
/、 sin x + cosx cos (龙一x)
7. 函数/(x)= '
)的最小正周期.
2sinx cos x-sin x
8. 已知函数 /(x) = arcsin(2x + l),贝ij /_1(-) =______________ .
6
9. 如图，在直三棱柱 ABC-A X B X C X 中，ZACB = 90°, AA r = 2, AC = BC = 1 ,则
异面直线£B 与/C 所成角的余弦值是 _____________ .
( 1 丫
10 •若1一一-
(neN\n>\)的展开式中f 4的系数为勺，则
TT
11. 在极坐标系中，定点A （2,y ）,点B 在直线QCOS & +psinO = 0上运动，则点A 和点B 间
的最短距离为 __________ .
12. 如图，三行三列的方阵中有9个数^..（7 = 1,2,3； y = 1,2,3）,从中任取三个数，。

21。

22 。

23
\a 3\ a 32。

33 丿
则至少有两个数位于同行或同列的概率是 __________ •（结果用分数表示）
13. 如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆0的半径为1,圆心 在线段CQ （含端点）上运动，P 是圆0上及内部的动点，设向量
AP = mAB + nAF （tn,rj 为实数），则m + n 的最大值为 _________ .
14. 对于集合 A = {a^a 2^-,a n } ( neN\n>3)9 定义集合 S = {x x = a j ^a j ,l<i < j <n},
记集合S 中的元素个数为S （A ）.若3*2,…4〃是公差大于零的等差数列，则SG4）
二・选择题：（本题满分20分，每小题5分） ① a //0=> /丄加
15. 已知胃线/丄平而& , 总线刃匸平而0，给出下列命题，其中正确的是 ）
③IH m a丄0
A.②④
B.②③④
④/丄mn aH卩
C.①③
D.①②③
C. D.
16-在泌中‘角"、°的对边分别是。

、皿，—纱则鶉等于一（）
17.函数y = J-（x + 2）2图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可锤成
为公比的数是----------------------------------------------------- ()
A. -
B. -
C. —
D. V3
2 2 3
18.设圆0］和圆6是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹对能是①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆.以上命题正确的是-
（）
A.①③
B.②③
C.①②
D.①②③
三.解答题：（本大题共5题，满分74分）
19.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图，AAEC中，ZACB =90° f ZABC = 30°, 5C = V3，在三角形内挖去一个半圆（圆
心O在边BC上，半圆与AC.力3分别相切于点C、M,与交于点N）,将△ ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.
（1）求该儿何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图屮阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.
20.（本题满分14分）
如图所示，某旅游景点冇一座风景秀丽的山峰，山上冇一条笔直的山路BC和一条索道AC,小王和小李打算不坐索道,而是花2个小时的时间进行徒步攀登.已知ZABC = 120° f ZADC = 150° f BD = \（千米），AC = 3（千米）.假设小王和小李徒步
攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小吋
C
内徙步登上山峰.
（即从B点出发到达C点）
21・（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）
已知椭圆x2+2y2= a2（a > 0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的而积为4.
（1）求椭圆C 的方程；
(2)已知总线尹=饥兀—1)与椭圆C 交于力、B 两点，试问，是否存在x 轴上的点M (加,0),
顾•祈为定值，若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.
22.(本题满分16分；第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题7分)
定义：对于函数/(x),若存在非零常数MJ ,使函数/(兀)对于定义域内的任意实数X,都 有/(x + T)-/(x)
= M,则称函数/(x)是广义周期函数,其中称T 为函数/(x)的广义周期, M 称为周距.
(1) 证明函数/(x) = x + (-l)x (xeZ)是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周 距M 的
值；
(2) 试求一个函数p = g(x),使/(x) = g(x) + /sin (血
x + 0)(xw7?) (/、3、©为常数, A>0,co>0)为广
义周期函数，并求出它的一个广义周期厂和周距M ；
(3) 设函数y = g(x)是周期T = 2的周期函数,当函数/(x) = -2x + g(x)在［1,3］上的值域 为
［-3,3］时，求/ (x)在［-9,9］上的最人值和最小值.
23.(本题满分18分，第(1)小题3分，第(2)小题9分，第(3)小题6分)
一个三用形数表按如下方式构成(如图：其中项数心):第一行是以4为首项，4为公差的等 差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：/(2,1) = /(1,1) + /(1,2)； /(/,；) 为数表屮第j 行的第丿个数.
(1) 求第2行和第3行的通项公式/(2,；)和/(3,y)；
(2)
证明：数表屮除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求/(z ；l)关于7
(d = l,2,・・・y)的表达式；
(3)若/(/,l) = (z + l)(^-l), 丄-，试求一个等比数列g (7)(心1,2,…时，使得 S 〃 f g(l) + 0g ⑵+ ・・・ + b”g(〃)v*, 时，都有S”〉〃・
几1,1) /(1,2)…1) /(1时 /(2,1)
/(2,2)…/(2/-1) /(3,1)…/(3,一2)
/(仏1)
使得对任意的kwR,
且对于任意的吧詢
2013学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科（理科）参考答案及评分标准2014.4
4D ，+ DC 2
—2 AD • DC cos 150°,
在\ADC 中，rtl 余弦定理得：AC
一.填空题： （本题满分56
分, 每小题4分）
1 • (-5,-1]
2 .
5/r
6
3・
kS4
_ 8 8 _ ("Z ) 4. [3,+oo) 5. 1 — 3/ 6. 40
7-71 8
- 4
9卫
6
10. 2
11. V2
12. 13
14
13. 5
14. 2?7-3
（本题满分20分，每小题5分） 选择题: 15. 16. D 17. B 18.
三. 19. （本大题共5题，满分74分） 解答题：
（本题满分12分，第（1）小题6分，第 解：（1）连接OM,则OM 丄AB, 设二厂，则= V3-r ,
OM r 在 A5M9 中，sin ZABC =——二一=
OB V3-r
（2）小题6分） （4
分）
所以r =—, ------------ 3 4
所以S = 4^r 2 -—71.
3
(2) v AABC 中，ZACB = 90\ ZABC = 30, BC =观,
.\AC = l f ------------------------------- (8 分)
7 =沧1 锥-& =^7TX AC 2
xBC-^=^xl 2 x 馆-討(彳0,
20.(本题满分14分)
解：由 ZADC = 150° 知 Z/DB = 30°,
由正弦定理得一 =AD
(,,所以，AD = *・ -------------------------
sin 30° sin 120°
（6分） 朋（12分）
27 71 •
（4分）
(V3)'+Z )C 2-2-V3 Z)C COS 150°,即比+3・ DC-6 = 0 ,
解得+ Q = 1.372 (千米)， --------------------------------------
2
BP32
（10 分） BC « 2.372 (千米), （12 分）
由2.372 <2.4,所以两位登山爱好者能够在2个小时内徙步登上山峰.…（14分）
21.（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）设椭圆
的短半轴为b,半焦距为c,
门2 门2 2 贝ij b 2 ——,由 c 2 = / — b?得 c? = a 2
- =—,
2 2 2 1 V 2 V 2 山一xbx2c = 4解得o' =&Z ）2 =4,则椭圆方程为—— +」一=1. 2 8 4
使得祐•祈为定值（14分）.
22.（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第 解：(1) v /(x) = x + (-l)A (XG Z),
・•. /(x + 2)—/(*) = ［(兀+ 2) + (-1 严］-卜 + (-1八=2,(非零常数)
所以函数/(x) = x + (-l)v (xeZ )是广义周期函数，它的周距为2. ■—(4分) (2)设g(x) = Ax +
/)(Zr^0),则/(x) = fcr + b + /sin (0x + 0) -/(x) + b + /sin ［彳
所以/(X )是广义周期函数，且T = 2,M = -4 . ----------------------------- (10分) 设X .,X 2G ［1,3］满足/(西)=-3,/(兀2) = 3 ,
(2) |+1
二得（2宀）宀处+ 2—,
4沪 Ik 2
-S
设/（禹,必）,〃（兀2丿2），由韦达定理得：州+花二 ~，兀“2二 一，
+ 1 + 1
MA - MB = （x, _加』］）・（兀2 _ w
^2）= x
\x
i _ w （x i +x 2） + m 2
+k 2
（x } -l ）（x 2
-1） = （k 2
+1）兀“2 一 （加+ £2）（西 +x 2） + Zr 2 +m 2 = &+i ）容十+鬥羊+宀宀
_（5 + 4少？+8
2F+1
2k 2
+1 2疋+1 11 ----------------- 7
一时，MA MB=——为定值，所以， 4 16
当5 + 4m = 16 ,即加
（10
分）
存在点M （一,0）
4
（6分）
（3）小题7分） ••• / x + —— I 69丿 A 2小 =k x +
一 ［Ax + b + /sin(“x + 0)］=
(非零常数)所以广(X )是广义周期函数，^T = —,M = ^. ----------------
(D CO
(3)・・・/(x + 2)-/(x) = -2(x + 2)+ g(x + 2)+ 2x-g(x) = -4‘
（9分）
由/(x + 2)= /⑴-4 得：
/(x1+6)= /(x1+4)-4 = /(x1+2)-4-4 = /(x1)-4-4-4 = -3-12 = -15,
又v/(x + 2)= /(x)-4</(x)a道/(兀)在区间［-9,9］上的最小值是兀在［7,9］上获得的,
而旺+6可7,9],所以/(x)在[—9,9]上的最小值为—15. ----------------------------- ( 13分)
由/(x + 2)= /(x)-4 W/(x-2)= /(x) + 4 得:
/(X2-10)=/(X2-8)+4=/(X2-6)+4+4=...=/(X2)+20=23,
又v/(x-2)= f(x) + 4> f(x)^n道/(x)在区间[-9,9] ±的最大值是兀在[-9,-7] ±获得的，
而兀2-10丘[-9,-7],所以/(兀)在[一9,9]上的最大值为23. -------------------------- (16分) 23.（本题满分18分；第（1）小题3分，第（2）小题9分，第（3）小题6分.）解：（1） /（2,丿）=/（1,丿）+ /（1,丿+ 1） = 2/（1,丿）+ 4二刃+ 4（丿= 1,2,…1） /（3,丿）=/（2,丿）+ /（2,丿 + 1） = 2/（2,丿）+ 8 = 2（8丿 + 4） + 8 = 16 丿+ 16（八1,2,…2）.-■一（3 分）（2） III已知，笫一•行是等差数列，假设笫/（l<z<77-3）ff是以4•为公差的等差数列，则
由.4 + 1,丿+ 1）-/0 + 1,丿）=[/亿丿+ 1） + /亿丿+ 2）]-[/亿丿）+ /（7,丿+ 1）] = f（i,j + 2）-f（i,j） = 24（常数）知第Z + l（19S — 3）行的数也依次成等差数列,且其公差为2Q.综上可得，数表屮除最后2行以外每一行都成等差数列； ---------------- （7分）
由于久=4,久二 24-（4 2）,所以6/. = 4 - 2/-1 = 2/+1,所以
/（/,1） = /（/-l,l） + /（z-1,2） = 2/（/-1,1） + £ ,由如=2’, 得=2/（/-1,1） + 2/ ,
（9分）
于是竺L4+1,即如一“切
一. 一.
2’
2Z
^^ = 2 + (Z — l) = Z + l,所以/(z,l) = (z + l)-2/ (7 = 1,2,•••/). ⑶= (i+i)(q_i)ne = [[])+ ]
= 丫 +1，
（14 分）..+1 , 2; 2/_,
乂因为耳卫二彳=2,所以，数列£
2
是以2为首项，1为公差的等差数列，所以, 21
（12 分）
•••适合题设的一个等比数列为g （z ） = 2Z . ------------------------------ ------------
2013学年第二学期普陀区高三质量调研
数学理科试卷
考生注意:
1 •答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码. 2•本试卷共有23道题，满分150分•考试时间120分钟.
3•本试卷另附答题纸，每道题的解答老级写在管題级够楫摩俚罩,.本举上任何解管郡否作
评令你竭・・ ...........................................
一、°填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空 格中•每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
（7是虚数单位），则z= ______
2.若集合 A = {y\y = x,0 <x <—}, 5 = {x | x 2 - x - 2 < 0},则 A^\B =
~ 4
3. 方程 log 2 (x +1) - log 4(X + 4) = 1 的解兀=
TT
5. 若o>0,在极坐标系屮，直线0COS （& +丝）=2与Illi 线p = a 相切，贝|J 实数.
6. 若偶函数y = /（x ） （xeR ）满足条件：/（-x ） = /（l + x ）,则函数/（X ）的一个周期
1 1 1 = ----- : -- V — • 3 2曲+1 3 c 1 1
1 1 1一3加
" 3 2曲+1 2^+1 3
3
=> 0 < 1 - 3m < —,
4 3 . => 77 > 10g 2
、 -1 ,
（15 分）
(\ \} N3 => 2 川 +1 > 1-3/77 < k 1 -3m y
丄-1
1 -3m ) （18 分）
2014.4
4. 若向量a = (l,x), b = (2,1),且C 贝ij|a +曙
为 ________ .
[x = seccr
7.若P为Illi线4 （Q为参数）上的动点，O为处标原点，M为线段OP的小点，则
\y = tan <7
点M的轨迹方程是______________ .
8.某质最监测屮心在一届学生中随机抽取39人，对本届学生成绩进行抽样分析.统计分析的一
部分结果，见下表:
统计组 人数
平均分 标准差
/组
20 90 6 B 组
19
80
4
根据上述表中的数据，可得木届学生方差的估计值为 ___________ （结果精确到0」）・
9. 等比数列｛勺｝的前〃项和为S,若对于任意的正整数4 均有a k = hm （S n -S k ）成立，则
“TOO
公比g= ______
在一个质地均匀的小正方体六个而中，三个而标0，两个而标1, 一个而标2，将这个小正 方
体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数歹，则Eg= ________ . 如图所示，在一个（2/7- 1）x （2〃一 1）（〃 w N 且/? > 2）的正方形网格内涂色，
要求两条对角线的网格涂黑色，其余网格涂口色.若用/⑺）表示涂口色网格的个数 网格的个数的比值，则/⑷的最小值为 _________ •
12.若三棱锥S-ABC 的底面是边长为2的正三角形，且4S 丄平M SBC ,则三棱锥S 第口题图 的体
积的最大值为 ______________ .
<1 2 4
7
…、
3 5 8 12 …
13・若勺•表示nxn 阶矩阵
6 9 13 18 …
中第，行、第丿列的元素（7、
10 14 19 25 …
■ ■ • • • ■
• : 叽
j = 1,2,3,…，斤），
则= ______________ （结果用含有〃的代数式表示）.
十 + 2 Y x v 0 '-，若不等式|/G ）|'Q-1怛成立，则实数Q 的取值范围 In
兀，x > 0
是 ______ .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正 确结论的代号写在答题纸相应的空格中.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不 论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.
15.下列命题中,是假命题的为
• • •
10. 11. （A ）平行于同一肓线的两个平面平行. （B ）平行于同一平而的两个平而平行. （C ）垂点于同一平而的两条点线平行.
（D ）垂点于同一点线的两个平而平行.
v-2
16.已知曲线G：—+ y2 =1 5 > 1 )和C2 m—=1 0）有相同的焦点，分别为片、
n
F 2 ,点 M 是
G 和 c 2的一个交点，则 △ MF ,F 2的形状 是
( )
(/)锐角三角形. (B)直和三如形. (C)钝角三角形. (D)随加、巾的值的变
化而变化.
17. 若函数f(x) = x 2
-^x-a ，则使得“两数y = /(兀)在区间(-1,1)内有零点”成立的一个必
要 非 充 分 条 件 是 ............................................................................... ( )
(A)-~<a<2.
(B)-~<a<2.
(C) 0 v Q <2.
(D)--<a<0.
4 4
4
18. 对于向量两(i = 1,2，…〃),把能够使得|两| + |亦|+…+|或|取到最小值的点
P 称 为A ：(心
1,2,)的“平衡点”.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点0,延长BC 至E, 使得BC = CE ,联结AE ,
分别交BQ 、CD 于F 、G 两点.下列结论中，正确的 是 ........................... (
)
(A) A . C 的“平衡点”必为0.
(C) A. F 、G 、E 的“平衡点”存在且唯一. (D) A . B 、E 、Q 的“平衡点”必为F.
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必傷Z 第18题图 嫦方框内写丫 出
必要的步骤.
19、(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，在xo 尹
平血上，点力(1,0)，点B 在单位圆上，ZAOB = 0 (0<0<71) (1) 若点 5(--,-),求 tan(y +
的值;
5 5 2
4
(2) 若0A + 0B = 0C,四边形的面积用S 。

表示, 求S e + OA OC 的取值范围.
20、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8
分.第19题图
如图，已知是圆柱00］底面圆O 的直径，底面半径R = \,圆柱的表面积人$兀；尺、C 在底面圆0上，直线凡C 与下底面所成的角的大小为60°.
(1) 求点A 到平面A {CB 的距离；
(2) 求二面角A-A.B-C 的大小(结果用反三角函数值表示).
21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8
分.
已知函数 f （x ） = 2X
-1 的反函数为 y = f-[
（x ）,记 g （x ） = y 1 （x-1）.
（1） 求函数y = 2/"'（x ）-g （x ）的最小值；
（2） 若函数F （x ） = 2/-1（x + w ）-g （x ）在区间[l,+oo ）上是单调递增函
数,求实数加的取值范 围.
(B) D 、C 、E 的“平衡点”为D 、E 的中
G
22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.
已知曲线r：/= 4x,直线/经过点（0,2）且其一个方向向量为2 =（I,Q.
（1）若iiii线r的焦点F在直线/上，求实数乞的值；
（2）当k=-l时，直线/与曲线「相交于/、B两点,求I肋I的值；
（3）当k（k>0）变化且玄线/与1111线厂有公共点时，是否存在这样的实数使得点P（Q,0）关于直线/的对称点Q（x09y0）落在Illi线「的准线上.若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
用记号艺勺表示。

（）+。

1+勺+。

3 +…+ Q"，乞=工。

2「其中i已N , n e N\
i=0 i=0
(1) 设^(14-X )A
=<70 +a }x + a 2x 2
+•- + a 2n _}x ln ~}
+a 2n x ln
( XG T?),求b?的值；
*=i
(2) 若Q (), a } , a 2,…，Q ”成等差数列，求证: 弘 c ：)=(D ・2i
z=0
(3) 在条件(1)下，记d 〃 =l + £[(-l)'$C ：]，且不等式t - (<7 -1) < b n 恒成立，求实数Z 的
収值范围.
'
2013学年第二学期普陀区高三数学质量调研卷答案
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空 格中•每个空格填对得4分，
14. [-4,0]
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正 确结论的代号写在答题纸相应的空格中.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不 论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
19.
（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
3 4 3 4 【解]（1）由于5（--,-）, ZAOB = 0,所以cos^ = --, sin^ = -
5 5 5
5
填错或不填在正确的位置一律得零分.
l.-1 + z;
2.(0,1]；
3.5 ；
4. V10 ；
5. 2 :
6. 1 等；
7. x 2
-y 2
=-
4
8. 52.59或52.6； 9.
]_ 2
12.
13. 2才—2/7 + 1 ；
0 sin0
tan —= ----------- 2 l + cos&
十n 月兀、 于是 tan(- + -) = g
1 — tan —
2
4 亍
5
1 +』
----- -1±2=_3
1-2 (2) S g =lxlxsin/9 = sin/9
第19题
图
由 于 04 = (1,0)
, OB = (cos 0,sin 0) …
况=刃 + 西=(1 + cos 0, sin 0)
OA • OC = 1 x (1 + cos 0) + 0 x sin 0 = 1 + cos 0 ............ 9 分 S o + OA • OC = sin 0 + cos 0 +1 = V2 sin(0 + 彳)+ 1 ( 0<0<7r )
由于-<^ + -< —,所以一 —<sin(^ + -)<l,所以 Ov S 0+OA •说 5 血+ 1 4 4 4 2 4 °
20、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8 分.
【解】(1)设圆柱的母线长为/,则根据已知条件可得,
S 全=2•冰？+2冰/ = 8兀，R = l,解得1 = 3 因为出力丄底面ACB,所以/C 是
在底面上的射影， 所以ZA.CA 是直线£C 与下底面/CB 所成的角，即上/=60° 在直角三角形 A.AC 中，AA X =3, ZA.CA = 60° , AC = 4i.
rr
力3是底面直径，所以ZCAB =上.以/为处标原点，以AB > 44】分别为
6
y 、z 轴建立空间总角处标系如图所示：则昇(0,0,0)、
由于—面如A — AyB — C 为锐角，所以—面勿A — A^B — C 的大小为arccos —
21、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
4(0,0,3)、5(0,2,0)，于是天=(¥，討),命=(0,2,3)，耳(-^,|,0) 的丄1 n
——x + —y = 0 2 2 ， y-3z = 0 .3 9. 4 4
设平面A }CB 的一个法向最为n = (x,y,z)9贝U < n^CB = 0
=> n • A }B = 0
不妨令z = 1,则方=(拿寸」)，所以/到平面£CB 的距离〃 =W• "G
3 所以点A 到平而A X CB 的距离为-o
2
(2)平面4的的一个法向量为斤= (1,0,0)
Ml 2
ill (1)知平面的一个法向量石
T°
2 ^
3 二面角—的大小为心c 。

卧陽|
2
4 y
第20题图
*0)、
【解】(1)由 y = 2X -1 得x = log 2(>?
+1),即 /，_1(x) = log 2(x + l) ( x > -1)
g(x) = (x-1) = log 2 x ( x > 0)
Y? + 7 Y + I
1
尹=2/-1 (x) - g(x) = 2 log 9(x + l)- log. x = log 2 -——-—=log,x + — + 2)
X ■ X
由于兀>0,所以x + ->2 (当J1仅当x = l 时，等号成立) 所以当兀=1时,函数y min = log 2 4 = 2
( 2 ) 由 f = log 2(x +1) ( x> -] ) 得 ，
F(x)二 2/"1(X + 777)一 g(x)二 2 log 2(x + 加 + 1) — log 2 X …8 分
F(x) = log 2 Z ⑷+叽 =log,[x +⑷+ " + 2(加+1)]在区间[1,+8)上是单调递增 X X
函数需满足：当x>l 时，x +加+ 1〉0,即m > -2……10分 [| 加 + 1 |,+oo)匸[l,+oo)・・・12 分，UP | m +11< 1« -2 < m < 0 ,・T3 分，所以一 2 < m < 0 ••- 14分
22.（本题满分16分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.
【解】（1）由才=牡得，p = 2,即# = 1,所以F （l,0）, k = -^ = -2f 所以k = -2 ........ 3分
-* x — 0 v — 2
(2)当£=—1时，〃二(1/)二(1,一1),直线人 丄丄=厶二…4分 1 — 1
y = -x + 2
y 2 =4x 消去尹并整理得，X 2-8X + 4 = 0,其中△>() (6)
分
x. + = 8
1 2
……7分 X] •兀2 = 4
于是 | AB |= J （兀］一兀2）2（1 + 丘2）=』［（兀1 +兀2），— 4兀］X2】（l + F ） = 7（64-16
）x2 = 4羽 ................................................................................................................................................ 9 分
（3）假设存在这样的实数Q,使得点P （o,0）关于肓线/的对称点。

（並』0）落在
曲线「的准线上 根据题意可得幺>0,所以直线仁兰=上二2,即人y = kx + 2，由于会〉
0,方程组
1 k
消去y 得方程疋疋+4伙一山+ 4 = 0,直线/与曲线「有公共点，故△ = 16伙— I ）?—16/»0, 解得k<~,所以0<k<-……1］分
2 2
将直线曲线「的方程联立得, 设 /（和必）、B （x 2,y 2）9 则 y = kx + 2 y 2
=4x
-24-
■4…
第21
题
点P （afi ）与0（Xo 』o ）关于直线儿尹二Ax + 2对称,则<
—•匕+ 2 2 2
几二1 x () - a k
12分得
a(\-k 2
)-4k
j 2 A j i 4 伙—) [ k — r-r ixi k — 4k + 1 2 tln — 1 2 ―八
所以 Q = ----- ； --- = 1 ----- ；― ,即 ------ =——- M 分
k 2-l k 2-l 4 k 2-i
3
当£二丄吋，Q = 1；当o 丄吋，丄=匚二；1 =伙一丄)一― +1>2，解得- 1VGV1 2 2 1-6/ 7 1 2 , 1
2 2
所以-1<Q 51,所以存在这样的实数Q ,满足题设条件。

…山分
23> (本题满分18分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分)
【解】(1)将 n = 2 代入工(l + x)“ = a ()+a }x + a 2x 2
+ ••• + 6?2n _l x 2w ~1
+ci 2f]x 2
"中得，
*=1
4
工(1+M =a 。

+ a x x + a 2x 2 + a 3x 3 + a 4x 4
, ........ 1 分
M.-111 + 4 +Q °+。

3 +。

4 = 2 + 4 + 8 + 16 = 30 , ......... 2 分
a 。

一 G| + a 2 -a 3 + 5 =0 .......... 3 分，所以筠=0° + 勺 +5 =15 .............. 4 分
(2) 设等差数列的通项公式为a”=a°id ,其中d 为公差……5分
则
E 仏C 卜
久+ 4 C ： + °2 V +…+ g
i=0
= do (C ；+C ：+・・・ + C ；) + dC+2C ：+・・FC ；；)・・・6 分
因为kc ； = nC^……7分，所以c ： + 2C ： +…nC ： = n(C 紅+ C\_x +・・• + *；)……8分 所以)= %2" + nd • 2心=(2a 0 +加)・2"一】=(陽+岛)・2"_……10分
/=0
(3) -------------------------------------------------- 令x = I f 则 £勺・=2 + 22 +2’ H F 22/7 = —= 2 • 4" — 2 11 分 z=o 一 1
In
x = -l,则工[(-1)匕]=0"
'•…12分，所以仇一 = -(2«4M -2) = 4w -l ……13 /=0 /=0 2
分
根 据 已 知 条 件 可 知 ，
d n = C ： _ (4 - 1)C ： +(42 - 1)C ； -(43 - 1)C ： + …+ (-1)” (4” - 1)C ：
=[C ： + C ： (-4) + C ； (-4)2 + C ； (-4尸 + …+ C ；； (-4)" ]-[C ：- C ： + C ； —(?；+(；：+••• + (- l)w
C ；] =(1-4)w -(1-1)" = (-3)n ,所以d n = (_3)” +1 ……14 分
将 b n = 4” 一 1、d n = (_3)” +1 代入不等式 t ・(d fl -1) < b n 得，/ ・[1 + (—3)"] <4W -1 ……15 分
a(\- k 2
)-4k 1+P
(0<£中
13分，当点0落在曲线「的准线兀=-1上时,
当刃为偶数时，/<』)"—(£)”，所以/<4)2-(|)2=|;……16分；当77为奇数，
4 1 4 1
/ >-[(-r-(-r],所以r>-[(-)i-(-),j=-i；……17分，综上所述，所以实数/的取值范围是[-丐]。

崇明县2014年高考模拟考试试卷
高三数学(理科)
(考试时间120分钟，满分150分)
考生注意：
1.每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题
纸上非规定位置一律无效；
2.答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚；
3.本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题(本大题共14小题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填
对得4分，否则一律得零分。

1、经过点A (1,0)且法向量为方=(2, -1)的直线/的方程是 _______________ .
2、已知集合M = 丄vl,xw7?｝,集合B是函数夕= lg(x + l)的定义域，贝.
3、方程厶 +工=1表示焦点在p轴上的双曲线，则实数旳取值范围是.
m+2 4 ' ----------------------
4、已知数列｛陽｝是首项为1 ,公差为2的等差数列，SgNj表示数列｛爲｝的前项和，则
矿一1
5、在(丄-兀2)6的展开式中，含兀彳项的系数等于(结果用数值作答)
6、方程sinx + cos x = -\的解集是 ________ .
7、实系数一元二次方程x2^ax + b = 0的一根为x,=—(其中i为虚数单位)，则
1 1 + 7
a +
b = ____________ .
8、某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在
全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样(按年级分层) 在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于________________ •
9、已知 /(%) = 2X的反函数为y = f~[(x), g(x) = /-*(1 - x) - (1 + x),则不等式g(x)< 0 的解集是
10、已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们
的体积之比岭j柱：= ____________ (结果用数值作答).
11、在极坐标系中，圆p = 4sm0的圆心到直线6> = - (p e R)的距离等于
6
对于任意xe(0, + oo)恒成立，则实数°的取值范围是__________ 13、已知二次函数f(x) = x2-ax^a (x G R)同时满足：①不等式/(x)W 0的解集有且只有一个
元素；②在定义域内存在0<x,<x2 ,使得不等式/(x,)> f(x2)成立•设数列匕｝的前刃项和为S”，
且\ = f(n).规定：各项均不为零的数列仇｝中，所有满足® •購< 0的正整数, 的个数称为
这个数列仇｝的变号数.若令b n=\~— ( )，则数列仇｝的变号数等
于________ .
14、已知圆O: x2+/=c(0<c^l),点P(a,b)是该圆面(包括0O圆周及内部)上一点，则
a +
b + c的最小值等于_____________
二、选择题(本大题共4小题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应
编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15、.......................................... 给出下列命题，其中正确的命题是(
)
A .若zwC ,且z? <0 ,那么z—定是纯虚数
B .若右、Z2G C且Z] — Z? > 0，则Zj >z2
C .若zeR ,则z-z = |z|2不成立
D.若x eC，则方程x3 =2只有一个根
16、已知,0:卜-1|<1.若口是0的必要非充分条件，则实数Q的取值范围是...( )
A.aMO
B.aWO
已知随机变量g的分布律如右图,其中abc成等差数列, 如果E© = t，则D(C的值等于
A .-
3
C.」
9
18、某同学对函数f(x) =进行研
究后，得出以下五个结论：①函数= f(x)的图像是轴对§-101
a b c
12. .业」2ax-\
如果函数/(X)= 1
5ax-\
xw(0,l]
XG(1,-K
O)
gW = log2 X 关于X的不等式./(x) • g(x) $ 0
17.
D-t
B冷。