浙江省温州市龙湾中学2010年优秀学生小论文集之二
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略谈空间几何辅助线
高一(8)班 严欢苗 指导老师 粱世日
认识空间图形,主要培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力、提高逻辑思维能力.我相信许多同学和我一样刚接触空间几何,对图形的感觉很弱,一道题目总是无从下手,不知如何添加辅助线。
有人说,解立体几何题“得辅助线者得天下"。
我认为此话说得点过头,但学会添加辅助线确实是我们快捷解题的关键。
那么,辅助线该如何添加呢?
在这里我找了一道题目,来谈一谈添辅助线的具体方法.这一小题虽不能罗列所有的方法,也只是一点皮毛,但也会对我们有帮助。
这到题目并不难,所举的方法足以引起我们的思考。
例:如图,正方体ABCD —A 'B'C'D’的棱长为a ,E 、F 分别是棱A ’B ’,B ’C ’的中点.求:异面直线B'D 与EF 所成角
的大小。
评析:其实这道题目并不难。
因为从图中,直接可以看出B ’D ⊥EF,接下来的任务就是怎
样证明B ’D ⊥EF,怎样添加辅助线.
解法一 连接A 'C’、 B’D’ 。
因为D ’D ⊥面A ’B'C’D', B’D'∈面
A 'B’C’D’ 所以
B’D’是
B ’D
在面
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A ’B’C’D'的射影。
因为E 、F 分别是棱A'B ’,B'C ’的中点, 所以EF ∥A ’C’。
因为A 'C’, B’D’是正方形A ’B'C’D’的对角线, 所以A 'C’⊥B'D’。
所以EF ⊥B'D’。
所以 B ’D ⊥EF ,异面直线B ’D 与EF 所成角为90°.
小结:解法一采用了三垂线定理,比较简单,容易发现.其实,这种辅助线方法,不用三垂线定理也是可以解的,因为D ’D ⊥面A ’B’C’D’, EF ∈面A 'B’C’D’,所以D ’D ⊥EF ,又因为EF ⊥B’D’(已证),所以 EF ⊥面B ’DD', 又因为B ’D ∈面B ’DD ’, 所以B ’D ⊥EF,异面直线B'D 与EF 所成角为90°。
相对起来,解法一比以下的几种解法更简便,容易被接受.
解法二 连接A ’C’、 B’D’ 并交与点O,G 为D ’D 的中点。
连接OG,A'G ,C ’G,则OG 为△DBD ’的中位线。
因为E 、F 分别是棱A'B ’,B ’C'的中点, 所以EF ∥A ’C’。
因为OG 为△DBD ’的中位线,
所以OG ∥B'D 。
所以∠GOA ’是异面直线B ’D 与EF
所成的角.
因为A ’G= C ’G,O 为A'C'的中点,
所以A ’C’⊥OG, 异面直线B ’D 与EF 所成角为90°。
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小结:这种添辅助线的方法叫隐蔽,也比较复杂,大多数人是不会这么添辅助线的.这种解法多采用中位线定理、中垂线定理,理解起来比较简单,过程也比较简单,这也是我为什么这么添的原因。
添法有难度,解法却易被同学接受.这里,大家可以借鉴一下.
解法三 连接A ’D ,取A'D 的中点H,连接HE,HF 。
则HE 为△DA'B ’的中位线。
所以HE ∥B ’D ,
所以∠HEF 是异面直线B ’D 与EF 所成的角。
∵B ’D=3
a ,∴HE=2
3
a ,
EF=
2
3
a , 又∵HF=
a ,
HF=
2
5
a , ∴EH 2+EF 2=FH 2
所以∠HEF=90°。
异面直线B ’D 与EF 所成角为90°. 小结:这种方法也采用了中位线定理,选择去计算线段的长度从而得出线与线之间的关系。
这种方法也能被接受,但对于计算,有些同学易出错,方法值得借鉴,理解比较容易.
解法四 取AA ’,CC ’的中点M,N 。
连接MN , A ’C’,MD,NB ’,ND,MB'。
因为M,N 分别是AA ’,CC ’的中点, 所以
A ’M=
2
1
AA ’,
C ’N=2
1CC',
又因为AA'=CC ’, 所以A ’M=C'N 。