选择必修第二册 第四章 4.1 数列的概念(第2课时) 课件(共21张PPT)

1
,
(+1)
1
; 3
1×2
− 2 =
以上各式累加，得
1
1
− 1 =
+
+
1
(
−1
1
− )

1×2
=1
2×3
1
− .

1
; 4
2×3
1
+
3×4
∵a1＝－1， − 1 = 1
⋯+
1
− ,

当n=1时，a1＝－1，符合上式.
− 3 =
1
(−1)
∴ =
1
; ⋯ ;
3×4
1
2
1
2
− −1 =
1
3
1
3
1
.
(−1)
1
4
= (1 − ) + ( − ) + ( − ) + ⋯ +
1
− (

≥ 2).
∴数列{an}的通项公式为 =
1
− .

初试身手
3.设数列{an}中，a1＝1，an＝(1 −
1
) (n≥2)，求数列{an}的通项公式an.
−1
解： ∵a1＝1，an＝(1 − 1 )−1 (n≥2)，
=2n.
并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立.
∴{an} 的通项公式是an=2n.
初试身手
2.已知数列{an}的前几项和公式为Sn =-n2+5 ，求{an}的通项公式.
解：当n=1时，a1=S1=-1+5=4;
当n≥2时， an=Sn-Sn-1=-(n2+5)-[-(n-1)2+5]=-2n+1.
Sn=a1+a2+…+an.
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,
那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
探索数列的求和公式，
显然S1=a1，而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2) ，于是我们有
曾是古代算学家非常感
兴趣的问题.
1 ,
=1
= ቊ
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,
那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
1 ,
=1
= ቊ
.
− −1 , ≥ 2
作业布置
Hale Waihona Puke 作业： P8 练习 第3,4题
P8-9 习题4.1 第2⑶⑷,4，5,6,7题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
将n=1代入①式得，-2+1=-1≠4=a1，
∴当n=1时，①式不成立.
∴ = ቊ
4,
=1
.
−2 + 1, ≥ 2
①
知新探究
1
【例4】已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋(+1)，n∈N*，求数列{an}的通
项公式an.
解： ∵+1 − =
∴2 − 1 =
选择必修
第四章 数列
4.1 数列的概念（第2课时）
教学目标
学习目标
数学素养
1.理解数列递推公式的含义，会用递推公式解
决有关问题．
1.逻辑推理素养和数学运算素
养.
2.理解数列的前 n 项和公式的定义，会利用前
n 项和公式与通项公式的关系求通项公式．
2.数学抽象素养和数学运算素
养.
温故知新
1.数列的概念
.
− −1 , ≥ 2
当n≥2时，有
由①-②得
Sn=a1+a2+…+an.
①
Sn-1=a1+a2+…+an-1.
②
an=Sn-Sn-1.
知新探究
已知数列{an} 的前n项和公式为 Sn =n2 +n，你能求出{an} 的通项公式吗？
∵a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
= n2+n-[(n-1)²+(n-1)]
②列表法
③图象法
④通项公式法
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，
那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
新知探究
【例1】如果数列{ }的通项公式为 = 2 + 2，那么120是不是这个数列的项？
3
+
，
+1
3
+
.
+1
又n∈N*， ∴an>-2.
⑵数列{an}是递减数列.
∵ = −2 +
3
，
+1
∴+1 − = (−2 +
即an＋1<an,
3
)
+2
− (−2 +
3
)
+1
∴数列{an}是递减数列.
=
3
+2
−
3
+1
=
−3
<0,
(+1)(+2)
知新探究
【例2】图中的一系列三角形图案称为谢宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着

∴

−1
=
=
=
−1
,


−1
−2
3
2
×
×
× ⋯ × × × 1 .
−1
−2
−3
2
1
−1
−2
−3
2
1
1
×
×
×⋯ × ×1= .

−1
−2
3
2

当n=1时，a1＝1，符合上式.
1

∴数列{an}的通项公式是 = .
课堂小结
1.数列的递推公式
色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的通项公式
解： 在图中⑴⑵⑶⑷中，着色三角形个数依次为
1,3,9,27
即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是an=3n-1.
思考：你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？
知新探究
1
3
9
27
0
1
2
3
3
递推公式也是数列的一种表示方法.
思考：递推公式和通项公式有什么区别和联系？
通项公式
联系
区别
定义
求解
递推公式
都能确定一个数列
项与序号的关系
项与项的关系
不需要其它条件
需要初始条件
知新探究
【例3】已知数列{an}的首项为a1=1，递推公式为 = 1 +
1
−1
列的前5项.
解： 由题意可知
a1=1，
象 = 3−1 ≥ 2 这样，
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个
式子叫做这个数列的递推公式.
知道了首项或前几项以及递推公式，就能求出数列的每一项了.
观察下面的数列，你能发现什么结论？并用数学语言表示出来.
1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
从第3项起，每一项都等于它的前面两项的和.
1
1
= 1 + = 2，
3 = 1 +
=1+ = ，
4 = 1
1
2
1
+
3
=1
2 = 1 +
5 = 1
1
+
4
1
1
=1
1
2
2
+
3
3
+
5
=
=
3
2
5
，
3
8
.
5
( ≥ 2),写出这个数
知新探究
例3中，可以求出这个数列的前5项和.
在数列研究中，求数列某些项的和是主要研究问题之一.
数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即
如果是，是第几项？
分析：要判定120是不是数列{ }中的项，就是要回答是否存在正整数n,使得
n2+2n=120.也就是判断这个关于n的方程是否有正整数解.
解： 令n2+2n=120 ，
解这个关于n的方程，得
n=-12(舍)或n=10，
所以，120是数列{ }中的项，是第10项.
思考：已知数列通项，我们可以解决哪些问题呢？
①可以知道数列中的某一项的值；
②可以判断这个数值是不是该数列的项.
初试身手
1−2
1. 已知函数f(x)＝
(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)．
+1
⑴求证：an>-2;
⑵数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？
解：
1−2
⑴∵f(x)＝
+1
∴ = −2
=
3−2(+1)
+1
= −2
3
3
×3
1 = 1
×3
2 = 31
3
×3
3 = 32
从第二项起，后一项是前一项的三倍
4 = 33
当不能明显看出数
列的项的取值规律时, 可
以尝试通过运算未寻找
规律, 如依次取出数列的
某一项, 减去或除以它的
前一项,再对差或商加以
观察.
a=
.......
1（n=1）
n
3an-1(n≥2)
知新探究
即1 = 2 = 1, = −1 + −2 ( ≥ 3, ∈ ).
裴波那契数列
知新探究
象 = 3−1 ≥ 2 这样，
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个
式子叫做这个数列的递推公式.
知道了首项或前几项以及递推公式，就能求出数列的每一项了.
把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
数列{an}是从正整数集N﹡(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数,其自
变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n)．
2.数列的分类
类别
按项
数
按项
的变
化趋
势
含义
有穷数列
项数有限的数列叫做有穷数列
无穷数列
项数无限的数列叫做有穷数列
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么
这个式子叫做这个数列的递推公式.
知道了首项或前几项以及递推公式，就能求出数列的每一项了.
递推公式也是数列的一种表示方法.
2.数列的前n项和
数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即
Sn=a1+a2+…+an.
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列
常数列
各项都相等的数列叫做常数列
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
的数列，叫做摆动数列
温故知新
3.数列的表示
①按顺序一一列举：a1，a2，a3，…，an，… 简记{an}