江苏省徐州市～高二下期中数学试题(理)及答案(苏科版)-精

徐州市2015～2016学年度第二学期期中考试
高二年级数学（理）试题
的值为
x 3. 复数,1z z i
=
-则的共轭复数为 ▲ ． 4. a b a b θ设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模 ||=||||sin ,(1,0),(1,1),||=a b a b a b a b θ⨯⋅⋅==⨯若则 ▲ ．
5.用0，1，2，3这四个数字，可以组成没有重复数字的3位数，其中奇数的个数 为 ▲ ．
6．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<7
4
，……，根据以上式子可以猜想：
<++++
2222016
1
31211 ▲ ． 7. 21,z z i i i z -=+已知复数满足()则的虚部为 ▲ ．
8. 利用数学归纳法证明“)(2
1
31211n p n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++”，从k n =推导1+=k n 时原等式的左边应增加的
项的个数为 ▲ 个（用含有k 的代数式表示）．
9.4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端， 有 ▲ 种不同的站法．（用数字作答） 10.已知ABC △的周长为l ，面积为S ，则ABC △的内切圆半径为2s
r l
=
．将此结论类比到空间，已知四面体ABCD 的表面积为S ，体积为V ，则四面体ABCD 的内切球的半径 R = ▲ ．
11.已知复数z 满足243=--i z ，则z 的最大值为 ▲ . 12.若多项式975311010991010
,)1()1()1(a a a a a x a x a x a a x
+++++++++++=则
= ▲ ．（用数字作答）
13.A 、B 、C 、D 、E 五人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则B 不住2号房间，且B 、C 两人不住编号相邻房间的住法种数为 ▲ ．
14.已知函数1()3
x f x x =
+,(0)x >，对于*
n N ∈，定义11()[()]n n f x f f x +=，则函数()n f x 的值域为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分14分）
已知复数)()65()67(2
2R a i a a a a z ∈--++-=.
（1）若复数z 为纯虚数，求实数a 的值；
（2）若复数z 在复平面内的对应点在第四象限，求实数a 的取值范围.
16.（本题满分14分）
（1）证明：当2a ><
（2）证明：532，， 不可能是同一个等差数列中的三项.
17.（本题满分14分）
从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，每场一人，分别按下列要求，各有多少种不同方法？
（1）男、女同学各2名； （2）男、女同学分别至少有1名；
（3）男、女同学分别至少有1名且男同学甲与女同学乙不能同时选出.
18.（本题满分16分）
已知n
x m x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+展开式的二项式系数之和为256.
（1）求n ；
（2）若展开式中常数项为
8
35，求m 的值； （3）若展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的值.
19.（本题满分16分）
已知椭圆方程是22
143
x y +=，12,F F 是它的左、右焦点，A ，B 为它的左、右顶点, l 是椭圆的右准线，P 是椭圆上一点，PA 、PB 分别交准线l 于M ，N 两点.
（1）若P ，求12MF NF ⋅的值；
（2）若00(,)P x y 是椭圆上任意一点,求12MF NF ⋅的值;
（3）能否将问题推广到一般情况,即给定椭圆方程是22
221(0)x y a b a b
+=>>，00(,)P x y 是椭圆上任意一点，
问12MF NF ⋅是否为定值？证明你的结论.
20.（本题满分16分）
设函数2
1()1+f x px qx
=
+（其中22
0p q +≠），且存在公差不为0的无穷等差数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1n
n f x a x a x a x =+++++．
（1）求,1a 2a 的值（用,p q 表示）； （2）求{}n a 的通项公式；
（3）当*
N n ∈且2≥n 时，比较n
a n a )(1-与1
)
(-n a n a 的大小.
高二数学理科试题参考答案
1.
5 2. 1或3 3. i -1 4. 1 5.8 6. 7. 1 8. 2k 9. 504
10. S V 3 11.7 12. -512 13. 60 14. 2(0,)31
n -
15. 解：（1）由题设知：⎩⎨⎧≠--=+-0
650
672
2a a a a ………………3分
解之得,a =1……………………………7分
（2）由题设知：⎩⎨⎧<-->+-0650
6722a a a a ………………10分
解之得，⎩
⎨⎧<<-><616
1a a a 或 …………… 12分
所以实数a 的取值范围是 -1<a <1 …………14分
16. 证明： （1
<
只要证22)2()22(a a a <-+
+， ---------------------2分
只要证a a a 44222<-+， 只要证a a <-42，----------------4分 由于2a >，只要证2
2
4a a <-， -----------------------------------------6分
<………7分（其它方法酌情给分） （2）
（反证法）假设是同一个等差数列中的三项，分别设为,,m n p a a a ，----8分
则2m n a a d m n m n -=
=
--------------------------------------10分 又253m p a a d m p m p m p
---===---为有理数----------------------12分
所以产生矛盾，假设不成立，即不可能是同一个等差数列中的三项. -------14分
17. 解：
1440
)1(4
42425=A C C --------------------4分
2880))(2(44444549=--A C C C --------------------8分
504
)3(4427=A C --------------------------11分
23765042880=-----------------12分 答：略----------------------------------14分
18. 解（1）二项式系数之和为2n =256，可得 8=n ； ---------4分 （2）设常数项为第r +1项，则r r r r
r r r x m C x m x C T 288881
--+=⎪⎭
⎫
⎝⎛=， -------5分
故8－2r ＝0，即r ＝4， ---------------------------6分 则8354
4
8=
m C ，解得2
1
±=m .---------------------9分 6
2013140
（3）易知m ＞0，设第r+1项系数最大. ----------------10分
则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--.
,
1
1881188r r r r r r r r m C m C m C m C 化简可得19118+≤≤+-m m r m m . -------13分 由于只有第6项和第7项系数最大，
所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<+≤≤+-<.7196,51184m m m m ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤<.272,245
m m ------15分
所以m 只能等于2. ---------------16分
(若由第6项和第7项系数相等得出m=2,则需要验证.不验证仅给3分. )
19. 解: (1)22
121,(2,0),(2,0),(1,0),(1,0):443
x y A B F F l x +=--=椭圆方程为，
P
又2PA y x =+故所在直线方程为：),
=4(4x M 与联立得
N 同理可得----------------------2分
12(5,33),(MF NF ∴=--=-
121596MF NF ⋅=-=------------------------4分
(2) 2222
000000(,),1=3-434
x y x P x y y +=则，即（1） 0
0022
y PA y x x x =+≠+所在直线方程为：(),(-2)
06=4(4,),2
y x M x +与联立得-----------------------------------------------6分 0
02(4,
).2
y N x -同理可得-----------------------------------------------------8分 00
120062(5,),(3,)22
y y MF NF x x ∴=--
=--+- 2
020*********(1)
1241515644
x y MF NF x x ⨯-⋅=+=+=--------------------------10分 (3) 2122()MF NF b ⋅=定值，下证之--------------------------------------------11分
222
12221,(,0),(,0),(,0),(,0):x y a A a B a F c F c l x a b c +=--=证明：椭圆方程为，
22222
000000222(,),1=-x y x P x y y b a b a
+=设则，即（1）
00y PA y x a x a x a
=+≠+所在直线方程为：(),(-)
2
2200()=(,),a a y a a c x M c c x a
++与联立得2
200()(,).a a y a c N c x a --同理可得--------------14分
222200
1200()()(,),(,).a a a y a y a a c c MF c NF c c x a c x a
+-∴=---=--+- 4
224
02212222
0()a a y a
c MF NF c c x a
-⋅=-+- 222422
2()2()a c b b b c c
+=-=定值--------------------------------16分
20.解:（1）由题意，得22
12(1)(1)1n n px qx a x a x a x +++++
++
=，
显然2
,x x 的系数为0，所以121+0
++0
a p a a p q =⎧⎨
=⎩，
从而1a p =-，22a p q =-.………………………4分
（2）考虑(3)n
x n ≥的系数，则有120n n n a pa qa --++=，……………5分
因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，……………7分
若0n a =，则0p q ==，与2
2
0p q +≠矛盾，
若数列{}n a 是等比数列，又据题意{}n a 是等差数列，则{}n a 是常数列，这与数列{}n a 的公差不为零矛盾， 所以210p q +=-=，即2,1p q =-=，……………9分 由（1）知12a =，23a =，所以1n a n =+.……………10分
（其他方法：根据题意可以用p 、q 表示出1a ，2a ，3a ，4a ，由数列{}n a 为等差数列，利用2132a a a =+，
3242a a a =+解方程组也可求得.其它解法酌情给分.）
(3)111,(1).n n a a n n n n a n a n -+-==+由（2）可知，（）（）
2121
321212228,39,a a a a n a a a a =====∴<时，
1
1
-13(1).n
n a a n n
n n n n
n a a -+≥>+>当时，,即（）（）下用数学归纳法证明
.……………12分
4333=81,4=64,8164,n =>1）当时，结论成立.
13,(1)k k n k k k N k k +=≥∈>+2)设当时()时，结论成立，即有①. ……………13分
1n k =+下面证明当时，结论也成立.
由①得12
11.(1)(2),,(1)21
k k
k k k k k k k k k ++>+>+>+++又因为即 221
+1+11(1)(2)=()1,(2)2212(1)k k k k k k
k k k k k k k k k k k k k +++++⋅>⋅=>++++++（）所以（） 21+1+2,1k k k k n k ++>=+即（）（）所以结论在时也成立.
1
-11)2)(3,).
n n a a n n n n n N a a -≥∈>综合、，对任何结论成立，即（）（）……………16分。