高中数学选修2-3教学案：2.4正态分布含解析

_2.4正态分布
1．正态曲线
正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝
1
2π·σ
2
2
e
2
xμ
σ
()
－
－
，x∈R，其中参数μ为正
态分布变量的数学期望，μ∈(－∞，＋∞)；σ为正态分布变量的标准差，σ∈(0，＋∞)．正态变量的概率密度函数(即f(x))的图象叫做正态曲线．
期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)，μ＝0，σ＝1的正态分布叫标准正态分布．
2．正态曲线的性质
(1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．
3．正态分布的3σ原则
P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；
P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝99.7%.
可知正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．
1．正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2．对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点去理解、记忆．
[对应学生用书P40]
[例1]
析式，求出总体随机变量的期望和方差．
[思路点拨] 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．
[精解详析] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是1
2π，
所以μ＝20.
由
12π·σ＝1
2π
，得σ＝ 2. 于是概率密度函数的解析式是 f (x )＝1
2π
·e x 2
204
()－－，x ∈(－∞，＋∞)，
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2. [一点通]
利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称，由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x ＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝18π
e x 2
108
()－－
，则
这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A ．10与8
B ．10与2
C ．8与10
D ．2与10
解析：由正态曲线f (x )＝
12πσ
x 2
2
e 2()σ－－
μ知，
⎩
⎪⎨⎪⎧
2πσ＝8π，μ＝10，即μ＝10，σ＝2. 答案：B
2．如图是正态分布N (μ，σ21)，N (μ，σ22)，N (μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，
σ2，σ3的大小关系是( )
A ．σ1>σ2>σ3
B ．σ3>σ2>σ1
C ．σ1>σ3>σ2
D ．σ2>σ1>σ3
解析：由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3. 答案：A
[例2] X 在(－1,1)内取值的概率．
[思路点拨] 解答本题可先求出X 在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x ＝1对称知，X 在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．
[精解详析] 由题意得μ＝1，σ＝2， 所以P (－1<X <3)＝P (1－2<X <1＋2)＝0.682 6. 又因为正态曲线关于x ＝1对称，
所以P (－1<X <1)＝P (1<X <3)＝1
2P (－1<X <3)＝0.341 3.
[一点通]
解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中注意数形结合思想的运用．
3．若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________.
解析：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则其正态密度曲线关于x ＝μ对称，故P (X ≤μ)＝12.
答案：12
4．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c ＝________. 解析：∵μ＝2，P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)， ∴c ＋1＋c －12＝2，解得c ＝2.
答案：2
5．若X ～N (5,1)，求P (5<X <7)． 解：∵X ～N (5,1)，∴μ＝5，σ＝1.
因为该正态曲线关于x ＝5对称，
所以P (5<X <7)＝12P (3<X <7)＝1
2
×0.954 4＝0.477 2.
[例3] 服从正态分布N (174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数．
[思路点拨] 因为μ＝174，σ＝3，所以可利用正态分布的性质可以求解． [精解详析] 因为身高X ～N (174,9)， 所以μ＝174，σ＝3，
所以μ－2σ＝174－2×3＝168， μ＋2σ＝174＋2×3＝180，
所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4. 又因为μ＝174.
所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等，均为0.477 2， 故该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数是 3 000×0.477 2≈1 432(人)． [一点通]
解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P (μ－σ<X <μ＋σ)，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率．同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1这一特殊性质．
6．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X ～N (50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．
解析：∵X ～N (50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P (30<X <70)＝P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4. 答案：0.954 4
7．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X (单位：小时)，已知X ～N (1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率约为99.7%，则灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？
解：因为灯泡的使用寿命X ～N (1 000,302)，
故X 在(1 000－3×30,1 000＋3×30)的概率为99.7%，
即X在(910,1 090)内取值的概率约为99.7%，
故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上．
根据正态曲线的对称性求解概率的关键要把握三点：
(1)正态曲线与x轴围成的图形面积为1；
(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，则正态曲线在对称轴x＝μ的左右两侧与x轴围成的面积都为0.5；
(3)可以利用等式P(X≥μ＋c)＝P(X≤μ－c)(c＞0)对目标概率进行转化求解．
[对应课时跟踪训练(十七)]
1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的期望为()
A．1B．－1
C．0 D．不确定
解析：因为X＝μ为其对称轴，所以μ＝0.
答案：C
2．设X～N(10,0.64)，则D(X)等于()
A．0.8 B．0.64
C．0.642D．6.4
解析：∵X～N(10,0.64)，∴D(X)＝0.64.
答案：B
3．已知随机变量X～N(0，σ2)．若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝()
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
解析：因为随机变量X～N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．
又P(X>2)＝0.023，所以P(X<－2)＝0.023，
所以P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝1－2×0.023＝0.954.
答案：C
4．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a，则P(X>4－c)等于() A．a B．1－a
C ．2a
D ．1－2a
解析：因为X 服从正态分布N (2，σ2)， 所以正态曲线关于直线x ＝2对称， 所以P (X >4－c )＝P (X <c )＝1－P (X >c )＝1－a . 答案：B
5．己知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f (x )在x ＝________时达到最高点．
解析：由正态曲线关于直线x ＝μ对称和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.
答案：0.2
6．如果随机变量X ～N (μ，σ2)，且E (X )＝3，D (X )＝1，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X ＞4)＝________.
解析：因为X ～N (μ，σ2)，E (X )＝3， D (X )＝1，故μ＝3，σ2＝1.
又P (2≤X ≤4)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＝0.682 6， 故P (X ＞4)＝1－0.682 6
2＝0.158 7.
答案：0.158 7
7．已知一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14 2π
.
(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式； (2)求正态总体在(－4,4]上的概率．
解：(1)因为该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0，
由
1
4 2π＝12πσ，解得σ＝4， 所以该函数的解析式为 f (x )＝
14 2π
x 2e 32
－
，x ∈(－∞，＋∞)．
(2)P (－4<X ＜4)＝P (0－4<X ＜0＋4)
＝P(μ－σ<X＜μ＋σ)＝0.682 6.
8．某糖厂用自动打包机打包，每包重量X(kg)服从正态分布N(100,1.22)．一公司从该糖厂进货1 500包，试估计重量在下列范围内的糖包数量．
(1)(100－1.2,100＋1.2)；
(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．
解：(1)由正态分布N(100,1.22)，
知P(100－1.2＜X≤100＋1.2)＝0.682 6.
所以糖包重量在(100－1.2,100＋1.2)内的包数为1 500×0.682 6≈1 024.
(2)糖包重量在(100－3×1.2,100＋3×1.2)内的包数为1 500×0.997 4≈1 496.。