数学人教A版选修2-2自我小测：2.1 合情推理与演绎推理(第1课时)

自我小测1．下列说法正确的是()
A．合情推理就是正确的推理
B．合情推理就是归纳推理
C．归纳推理就是从一般到特殊的推理
D．类比推理就是从特殊到特殊的推理
2．在平面直角坐标系内，方程x
a＋y
b＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，
拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的直线方程为()
A．x
a＋y
b＋z
c＝1 B．
x
ab＋
y
bc＋
z
ac＝1
C．xy
ab＋yz
bc＋zx
ac＝1 D．ax＋by＋cz＝1
3．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()
A．a n＝3n－1B．a n＝3n
C．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3
4．如图所示，n个连续自然数按规律排列如下：
根据规律，从2 004到2 006的箭头方向依次为()
A．→↑B．↑→
C．↓→D．→↓
5．在数学解题中，常会碰到形如“x＋y
1－xy
”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：
设a，b是非零实数，且满足a sin
π
5＋b cos
π
5
a cos
π
5－b sin
π
5
＝tan
8π
15，则
b
a＝()
A．4 B．15 C．2 D． 3
6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类
比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，__________，__________，T 16T 12
成等比数列．
7．设{a n }是首项为1的正数项数列，且(n ＋1)a n ＋12－na n 2＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．
8．在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝AC BC
，将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为__________．
9．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32
，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．
10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．
参考答案
1．解析：归纳推理和类比推理统称为合情推理，合情推理得到的结论不一定正确，故选项A ，B 错误；因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，故选项C 错误；类比推理就是从特殊到特殊的推理，故选项D 正确．
答案：D
2．C
3．解析：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，∴猜想a n ＝3n －
1.
答案：A
4．解析：观察总结规律为：以4个数为一个周期，箭头方向重复出现．因此，2 004到2 006的箭头方向和0到2的箭头方向是一致的．故选C ．
答案：C
5．解析：将已知式变形，得a sin π5＋b cos π5a cos π5－b sin π5＝a tan π5＋b a －b tan π5＝tan π5＋b a 1－b a tan π5
＝tan 8π15，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β
，可知只有当b a ＝tan π3＝3时，上式成立． 答案：D
6．解析：将等差数列中的运算类比等比数列中的运算时，加法类比于乘法，减法类比
于除法，故可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12
成等比数列．
答案：T 8T 4 T 12T 8
7．解析：由首项为1，得a 1＝1；
当n ＝1时，由2a 22－1＋a 2＝0，得a 2＝12
； 当n ＝2时，由3a 32－2⎝⎛⎭⎫122＋12a 3＝0，
即6a 32＋a 3－1＝0，解得a 3＝13
； …
归纳猜想该数列的通项公式为a n ＝1n
(n ∈N *)． 答案：a n ＝1n
(n ∈N *) 8．解析：平面中的面积类比到空间为体积，故S △AEC S △BEC 类比成V A －CDE V B －CDE .
平面中的线段长类比到空间为面积，故AC BC 类比成S △ACD S △BCD
. 故有V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD S △BDC
. 答案：V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD S △BDC
9．解：通过观察可得一般性的命题为sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32
. 证明如下：
左边＝1－cos(2α－120°)2＋1－cos 2α2＋1－cos(2α＋120°)2
＝32－12
[cos(2α－120°)＋cos 2α＋cos(2α＋120°)] ＝32－12
(cos 2αcos 120°＋sin 2αsin 120°＋cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°) ＝32
＝右边，所以该一般性的命题成立． 10．解：如图①，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2
c 2＝c 2c 2＝1. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.
证明如下：如图②，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2
l 2＝l 2l 2＝1.
小课堂：如何培养学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

在小学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与
技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。

如何培养中学生的自主学习能力？
01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。

05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。