北京市一零一中学高二上学期期末考试(数学理).doc

北京一零一中－第一学期期末考试
高 二 数 学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，共40分.
1. 已知,αβ是两个不同平面，直线m α⊂，那么“m β⊥”是“αβ⊥”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件 2．如图所示是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．椭圆2
2
1x my +=
的离心率为2
，则m 的值为（ ）
A ．2
B ．
14
C ．2或
12
D ．
1
4
或4 4．设抛物线2
8y x =上一点M 到y 轴的距离为4，则点M 到该抛物线焦点的距离是（ ） A ．12
B ．8
C ．6
D ．4
5．已知3
()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值为 ( ) A ．3 B ．2
C ．1
D ．0
6.已知()f x 的导函数'()(1)()f x a x x a =+-，若()f x 在x a =处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,0)-
C ．(,1)-∞-
D ．(,0)-∞
7．如图，E 为正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 的中点，F 为棱AB 上一点，
190C EF ∠=，则:AF FB = （ ）
A ．1:1
B ．1:2
C ．1:3
D ．1:4
8．设双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线与抛物线2
1y x =+相切，则该双曲线的离心率为（ ）
D.3
二、填空题：每小题5分，共30分.
9．函数()ln f x x x =-的单调减区间是 .
10.已知1F 、2F 是椭圆22
:
1259
x y C +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，且1290F PF ∠=，则12PF F ∆的面积
.
主视图
侧视图
俯视图
2
2
1
1
1
C 1
A 1
C
A B
B 1
D
D 1
F
E
11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1A D 与1BC 所成角为
90，则直线1BC 与平面11BB D D 所成角的大小为_________.
12．函数()y f x =的图象在点(3,(3))f 处的切线方程是4y x =-+，则
(3)'(3)f f +等于___________.
13．已知直线l 过点(0,2)，且与抛物线2
4y x =交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则12
11
y y +=________．
14．如图，正四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 分别在两两垂直的三条射线Ox 、Oy 、
Oz 上，给出下列四个命题： ①多面体O ABC -是正三棱锥； ②直线//OB 平面ACD ；
③直线AD 与OB 所成的角为45；
④二面角D OB A --为45.
其中真命题有_______________（写出所有真命题的序号）.
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，共40分。

9．__(1,)+∞ ； 10．___9__ __ ； 11．____30_________ ；
12．____0________ ； 13
．___
1
2
________ ； 14．___①③④_________.
三、解答题：本大题共4小题，共50分。

15．已知函数3()f x x x
=-
. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；
B
C 1
A 1
C
A
B 1
D
D 1
（Ⅱ）求函数()f x 在区间[]1,3上的最大值和最小值. 解：（Ⅰ）74120x y --=
（Ⅱ）max (3)2y f ==，min (1)2y f ==-
16．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=，点F 是线段1CC 的中点
（Ⅰ）证明：//AF 平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DB A --的正切值； （Ⅲ）求三棱锥F BED -的体积. 解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）二面角1A DB A --
的正切值为
（Ⅲ）三棱锥F BED -的体积为23
17. 已知函数2
2()(23)()x
f x x ax a a e x R =+-+∈，若a R ∈，求函数()f x 的单调区间与极值。

[]
.42)2()('22x e a a x a x x f +-++=解：
'()02 2.f x x a x a ==-=-令，解得，或
以下分三种情况讨论。

（1）a 若＞
2
，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表： .)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，，在所以--∞+---∞a a a a x f .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数
（2）a 若＜
3
2
，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表： E F
D 1
D
B 1
B
A
C
A 1
C 1
内是减函数。

，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(a a a a x f --∞+---∞ .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极大值在函数 .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极小值在函数
（3）若2
3
a =
，则2a -=2-a ，()()f x -∞+∞函数在，内单调递增，此时函数无极值
18. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，
OB OA +与向量(3,1)a =-共线
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明2
2μλ+为定值
解：设椭圆方程为
)0,(),0(122
22c F b a b
y a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入122
22=+b y a x ，化简得
02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .
令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22
222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与a 共线，得
,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，
.2
3
,
0)()2(3212121c x x x x c x x =
+∴=++-+∴ 即2322
22c
b
a c a =+，所以3
6.32222a b a c b a =
-=∴=， 故离心率.3
6==
a c e （II ）证明：（1）知2
2
3b a =，所以椭圆12222=+b
y a x 可化为.332
22b y x =+
设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=
⎩⎨⎧+=+=∴.
,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(2
21212
22
22
2
12
12
b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.2
1,23,232
22221c b c a c x x ===
+ 22222
1222
38
a c a
b x x
c a b -==+ 1212121233()()x x y y x x x c x c +=+-- 2121243()3x x x x c c =-++
22239
322
c c c =-+=0 又2
22222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1。