最新-2018高中数学 第3章323空间的角的计算课件 选修2-1 精品

【名师点评】 二面角的求法往往有两种思路． 一种是几何法，可以在两个半平面内作出垂直于 棱的两条线段，找出二面角的平面角，这是几何 中的一大难点．另一种是向量法，当空间直角坐 标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法 求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出 平面的法向量，经过简单的运算即可求出．有时 不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大 小(相等或互补)，但我们完全可以根据图形观察 得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角 一般是明显的．
2．直线与平面所成的角，用向量来求时， 得到的不是线面角，而是它的余角(或补角 的余角)．应注意到线面角为锐角(或直角)．
3．用法向量来求二面角时应结合图形来判 断求出的是二面角的平面角，还是它的补角 ．
知能优化训练
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所成角的余弦值为|cos〈A→B，C→D〉|＝|_A→_B__||_C→_D__|.
2．直线与平面所成的角
如图，设直线 AB 与平面 α 所成的角为→θ，n 为平面 α |AB·n|
的法向量，sinθ＝|cos〈A→B，n〉|＝__|A_→_B_|_|n__| _.
3．平面与平面所成的角
若n1、n2分别为平面α、β的法向量，则二面 角α－l－β的平面角为〈n1，n2〉(如1，n2〉
求直线与平面所成的角
取直线的方向向量和平面的法向量，用向量 的夹角公式求出这个角．若该角为锐角或直 角，则它的余角就是直线与平面所成的角； 若该角为钝角，则它的补角的余角为直线与 平面所成的角．
例2 如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是 C1C中点，求BE与平面B1BD所成角的余弦 值．
设平面 SCD 的一个法向量 n＝(1，x，y)． 由 n·S→D＝0，n·D→C＝0 得 x＝－12，y＝12. 所以 n＝(1，－12，12)．
cos
θ＝cos〈
A→D，n〉＝
→ AD·n →
＝
|AD||n|
6 3.
方法感悟
1．用方向向量所成角表示异面直线所成角 的大小时，若向量夹角为锐角(或直角)，则 等于异面直线所成的角．若向量夹角为钝角 ，则它的补角等于异面直线所成的角．
BE＝ BC2＋CE2＝ 5，BO′＝ 3. ∴cos∠EBO′＝BBOE′＝ 515，
即 BE 与平面 B1BD 所成角的余弦值为
15 5.
法二：如图所示，建立空间直角坐标系．设正方体 的棱长为 2，则 B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)，B→D＝ (－2，－2,0)，B→B1＝(0,0,2)，B→E＝(－2,0,1)．
的大小为 60°？
【思路点拨】 先建系，然后证A→E能用D→C，D→F表
示，或可证面 ABE∥面 DCF.再利用两平面的法 向量表示所求二面角，列方程求解．
【规范解答】 如图，以点C为坐标原点， 以CB、CF和CD分别作为x轴、y轴和z轴建 立空间直角坐标系．
设 AB＝a，BE＝b，CF＝c， 则 C(0,0,0)，A( 3，0，a)，D(0,0，a)， B( 3，0,0)，E( 3，b,0)，F(0，c,0).5 分 (1)证明：A→E＝(0，b，－a)，D→C＝(0,0，－a)， D→F＝(0，c，－a)．
自我挑战 2 四边形 ABCD 为直角梯形，∠ ABC＝∠BAD＝90°，又 SA⊥平面 ABCD， SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面 SCD 与 平面 SAB 所成二面角的余弦值．
解：如图，建立空间直角坐标系 A－xyz，有 A(0,0,0)，D(12，0,0)，C(1,1,0)，S(0，0,1)，则S→D ＝(12，0，－1)，D→C＝(12，1,0)，易知A→D＝(12， 0,0)是平面 SAB 的一个法向量．
则 cosθ＝sin〈n，B→E〉＝ 515，
即 BE 与平面 B1BD 所成角的余弦值为 515.
【名师点评】 用向量法可避开找角的困难 ，但计算时要准确，同时还要注意线面角与 直线的方向向量与平面的法向量夹角的关系 ．
自我挑战1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中 ，M、N分别是棱B1C1、AD的中点，求直线 AD与平面BMD1N所成角的余弦值．
【思路点拨】 建立恰当的空间直角坐标系 → 求A1、B、A、O1的坐标 → 计算O→1A，A→1B → 计算cos〈A→1B，O→1A〉 → 验证得结论
【解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 O(0,0,0)，O1(0,1， 3)，A( 3，0,0)， A1( 3，1， 3)，B(0,2,0)， ∴A→1B＝O→B－O→A1 ＝(－ 3，1，－ 3)．
设 n＝(x，y,1)是平面 BMD1N 的法向量，则12x－1＝0，12x
＋y＝0，得 x＝2，y＝－1，即 n＝(2，－1,1)．
则D→A与
n
夹角的余弦值
cos
→
φ＝
DA·n →
＝
|DA||n|
6 3.
从而 AD 与平面 BMD1N 所成角的余弦值为
cos θ＝cos(π2－φ)＝sin φ＝ 33.
【思路点拨】 可根据定义找出线面角然后求解， 也可根据B→E与平面 B1BD 的法向量夹角求解．
【解】 法一：如图所示，连结 AC 交 BD
于 O，设 B1D 的中点为 O′，连结 EO′、
OO′、O′B，则 O′O
//
1 2BB1
//
CE.
∴四边形 OCEO′为平行四边形．
∴EO′∥CO.
∵CO⊥BD，CO⊥BB1，DB∩BB1＝B， ∴CO⊥平面 B1BD，∴EO′⊥平面 B1BD. ∴∠EBO′是 BE 与平面 B1BD 所成的角． 设正方体棱长为 2，则 O′E＝OC＝ 2，
设平面 B1BD 的法向量为 n＝(x，y， z)， ∵n⊥B→D，n⊥B→B1，
n·B→D＝－2x－2y＝0， ∴n·B→B1＝2z＝0，
∴zx＝＝0－. y，
令 y＝1，则 n＝(－1,1,0)，
cos〈n，B→E〉＝
→ n·BE
→
＝
|n||BE|
10 5.
设 BE 与平面 B1BD 所成角为 θ，
3．2.3 空间的角的计算
学习目标 1.理解直线与平面所成角的概念． 2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面 的夹角求法问题． 3．体会空间向量解决立体几何问题的三步 曲．
3．2.3
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．异面直线所成的角：过空间任意一点O， 作两异面直线a、b的平行线a′、b′，则a′、b′ 所成的角便是异面直线a、b所成的角，范围 是_(0_°__，__9_0_°__]_．
设 n＝(1，y，z)与平面 AEF 垂直， 则 n·A→E＝0，n·E→F＝0.
解得 n＝(1，
3，3
a
3 ).12
分
又因为 BA⊥平面 BEFC，B→A＝(0,0，a)，
所以令|cos〈n，B→A〉|＝
→ |BA·n| →
|BA||n|
＝ a
34a23＋a 27＝12.
得到 a＝92. 所以当 AB 为92时， 二面角 A-EF-C 的大小为 60°.14 分
求两条异面直线所成的角
取两异面直线的方向向量，用向量夹角公式 求解．解题时若求出的向量夹角为钝角，则 异面直线所成的角为其补角；若求出的向量 夹角为锐角或直角，则可以直接表示异面直 线所成的角．
例1 如图所示，三棱柱 OAB－O1A1B1 中，平面 OBB1O1⊥平面 OAB，∠O1OB ＝60°，∠AOB＝90°，且 OB＝OO1＝2， OA＝ 3，求异面直线 A1B 与 AO1 所成 角的余弦值的大小．
2．直线和平面所成的角：平面的一条斜线 和它在平面内的射影所成的_锐__角_，叫做这条 直线和平面所成的角．
3．二面角：从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角，该直线叫二面角 的棱，两个半平面称为二面角的面．
知新益能
1．两条异面直线所成的角
已知直线 AB、CD 异面，则直线 AB 与→直线→CD |AB·CD|
n1·n2 ＝__|n_1_||_n_2|___.
问题探究
怎样用向量法求直线与平面的夹角？ 提示：(1)建系，求出有关点的坐标；(2)求 直线的方向向量s及平面的法向量n；(3)计算 cos〈s，n〉；(4)设直线与平面的夹角θ，由 sinθ＝|cos〈s，n〉|，求出角θ.
课堂互动讲练
考点突破
求二面角
先求出两平面的法向量，再利用向量夹角公 式求角，则该角或它的补角就等于二面角的 平面角．
例3 (本题满分 14 分)如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝ 3， EF＝2. (1)求证：AE∥平面 DCF；
(2)当 AB 的长为何值时，二面角 A-EF-C
解：设正方体棱长为 1，分别以 D 为原点，以D→A、D→C、
D→D1所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系(图略)， 则 D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，N(12，0,0)， M(12，1,1)，D→1N＝(12，0，－1)，N→B＝(12，1,0)，D→A＝ (1,0,0)．
∴A→E＝(1－bc)D→C＋bc·D→F.7 分
又 AE⊄平面 DCF， ∴AE∥平面 DCF.8 分 (2)因为E→F＝(－ 3，c－b,0)，C→E ＝( 3，b,0)， 且E→F·C→E＝0，|E→F|＝2，
－3＋bc－b＝0， 所以
3＋c－b2＝2.
解得 b＝3，c＝4.
所以 E( 3，3,0)，F(0,4,0)．
O→1A＝O→A－O→O1＝( 3，－1，－ 3)．
∴cos〈A→1B，O→1A〉＝
→→ A1B·O1A →→
|A1B||O1A|
＝－
3，1，－
3· 3，－1，－ 7· 7
3＝－17.
∴异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为17.
【名师点评】 建空间直角坐标系时，要充 分利用题目中的垂直关系以方便求点的坐标 ，本题的建系是关键．另外用向量法求异面 直线的夹角问题比用几何法求解更简便，但 要注意夹角的范围．