高三数学高考一轮数学(理)教案：第7章 第4节 垂直关系 Word版含解析

第四节垂直关系
[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
1．直线与平面垂直
(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．
(2)定理
文字语言图形语言符号语言
判定定理如果一条直线和一个平
面内的两条相交直线都
垂直，那么该直线与此平
面垂直
⎭⎪
⎬
⎪⎫
aα
bα
l⊥a
l⊥b
a∩b＝A
⇒
l⊥α
性质定理如果两条直线同垂直于
一个平面，那么这两条直
线平行
⎭
⎬
⎫
a⊥α
b⊥α
⇒a∥b
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．
(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．
3．平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面
互相垂直．
(2)定理
文字语言图形语言符号语言判定
定理
如果一个平面经过另一个平面
的垂线，那么这两个平面互相垂
直
⎭
⎬
⎫
l⊥α
lβ
⇒α⊥β
性质
定理
两个平面垂直，则一个平面内垂
直于交线的直线与另一个平面
垂直
⎭
⎬
⎫
α⊥β
lβ
α∩β＝a
l⊥a
⇒l⊥α
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()
(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()
(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()
(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()
[答案](1)×(2)×(3)×(4)×
2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l α，mβ.()
A．若l⊥β，则α⊥β
B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β
D．若α∥β，则l∥m
A[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]
3．(·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，
n⊥β，则()
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
C[∵α∩β＝l，∴lβ.
∵n⊥β，∴n⊥l.]
4．如图7-4-1，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
图7-4-1
4[∵P A⊥平面ABC，
∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC，
则△P AB，△P AC为直角三角形．
由BC⊥AC，且AC∩P A＝A，
∴BC⊥平面P AC，从而BC⊥PC.
因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]
5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________.
【导学号：57962336】a[如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′­BD-C 的平面角．
即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝
2
2a，
∴A′C＝a2
2＋
a2
2＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.]
线面垂直的判定与性质
如图7-4-2，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .
图7-4-2
(1)求证：CD ⊥平面ABD ；
(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积． [解] (1)证明：因为AB ⊥平面BCD ，CD 平面BCD ，
所以AB ⊥CD .
2分
又因为CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ， AB
平面ABD ，BD
平面ABD ，
所以CD ⊥平面ABD .
5分
(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD . 又AB ＝BD ＝1，所以S △ABD ＝12×12＝1
2. 8分
因为M 是AD 的中点，所以S △ABM ＝12S △ABD ＝1
4. 根据(1)知，CD ⊥平面ABD ， 则三棱锥C -ABM 的高h ＝CD ＝1， 故V A -MBC ＝V C -ABM ＝13S △ABM ·h ＝1
12
. 12分
[规律方法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法： (1)判定定理；
(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)； (3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)； (4)面面垂直的性质．
2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．[变式训练1]如图7-4-3所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上
一点，且AD＝1
3DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，PD⊥平面ABC，PD
＝DB.
图7-4-3
求证：P A⊥CD.
[证明]因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由3AC ＝BC，得∠ABC＝30°. 3分设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝23，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，
所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO. 8分因为PD⊥平面ABC，CD平面ABC，
所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面P AB，又P A平面P AB，所以P A⊥CD. 12分
面面垂直的判定与
性质
H分别为AC，BC的中点．
图7-4-4
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
[证明](1)如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，
连接MH. 1分在三棱台DEF-ABC中，
AB＝2DE，G为AC的中点，
可得DF∥GC，DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形. 3分则M为CD的中点，
又H为BC的中点，
所以HM∥BD，
由于HM平面FGH，BD⊆/平面FGH，
故BD∥平面FGH. 5分(2)连接HE，CE，CD.
因为G，H分别为AC，BC的中点，
所以GH∥AB. 6分由AB⊥BC，得GH⊥BC.
又H为BC的中点，
所以EF∥HC，EF＝HC，
因此四边形EFCH是平行四边形，
所以CF∥HE. 10分由于CF⊥BC，所以HE⊥BC.
又HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H.
所以BC⊥平面EGH.
又BC平面BCD，
所以平面BCD⊥平面EGH. 12分
[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路：
(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；
(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．
2．垂直问题的转化关系：
[变式训练2]如图7-4-5，在三棱锥P-ABC中，平面P AB⊥平面ABC，P A⊥PB，M，N分别为AB，P A的中点．
图7-4-5
(1)求证：PB∥平面MNC；
(2)若AC＝BC，求证：P A⊥平面MNC.
[证明](1)因为M，N分别为AB，P A的中点，所以MN∥PB，2分
又因为MN平面MNC，PB⊆/平面MNC，
所以PB∥平面MNC. 5分
(2)因为P A⊥PB，MN∥PB，所以P A⊥MN.
因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB. 7分
因为平面P AB⊥平面ABC，
CM平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB.
所以CM⊥平面P AB. 10分
因为P A平面P AB，所以CM⊥P A.
又MN∩CM＝M，所以P A⊥平面MNC. 12分
平行与垂直的综合问题
(·江苏高考)如图7-4-6，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
图7-4-6
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
[证明](1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1. 3分
又因为DE⊆/平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F. 5分
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1. 7分
又因为A1C1⊥A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D. 10分又因为B1D⊥A1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F. 12分[规律方法] 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．
☞角度2平行垂直中探索开放问题
(·秦皇岛调研)如图7-4-7(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，
E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE 的位置，使A1F⊥CD，如图7-4-7(2)所示．
(1)(2)
图7-4-7
(1)求证：A1F⊥BE；
(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？并说明理由.
【导学号：57962337】[证明](1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.
所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，
因为DC∩DA1＝D，
所以DE⊥平面A1DC. 2分由于A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，
所以A1F⊥平面BCDE，
又BE平面BCDE，
所以A1F⊥BE. 5分
(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ. 6分
理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，则DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEQP. 9分
由(1)知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.
又DP∩DE＝D，
所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ. 12分[规律方法] 1.对命题条件探索性的主要途径：
(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；
(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
2．平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.
线面角的求法与应用
ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.
图7-4-8
(1)求证：BF⊥平面ACFD；
(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
[解](1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示. 1分
因为平面BCFE⊥平面ABC，
且AC⊥BC，
所以AC⊥平面BCK，3分
因此，BF⊥AC.
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.
所以BF⊥平面ACFD. 5分
(2)因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.
8分
在Rt△BFD中，BF＝3，DF＝3
2，得cos∠BDF＝
21
7，所以直线BD与平
面ACFD所成角的余弦值为21
7. 12分
[规律方法] 1.利用综合法求空间角的步骤：
(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角．
(2)证：证明找出的角即为所求的角．
(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角．
2．线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．
[变式训练3]如图7-4-9，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．
图7-4-9
(1)求PB和平面P AD所成的角的大小；
(2)证明：AE⊥平面PCD.
[解](1)在四棱锥P-ABCD中，
∵P A⊥底面ABCD，AB平面ABCD，
故P A⊥AB.又AB⊥AD，P A∩AD＝A，
从而AB⊥平面P AD，2分故PB在平面P AD内的射影为P A，
从而∠APB 为PB 和平面P AD 所成的角．
在Rt △P AB 中，AB ＝P A ，故∠APB ＝45°.
∴PB 和平面P AD 所成的角的大小为45°.
5分 (2)证明：在四棱锥P -ABCD 中，
∵P A ⊥底面ABCD ，CD 平面ABCD ，
故CD ⊥P A .
由条件CD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，
∴CD ⊥平面P AC .
7分 又AE 平面P AC ，∴AE ⊥CD .
由P A ＝AB ＝BC ，
∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A .
∵E 是PC 的中点，
∴AE ⊥PC .
10分 又PC ∩CD ＝C ，
故AE ⊥平面PCD .
12分
[思想与方法]
1．证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义：a 与α内任一直线都垂直⇒a ⊥α；
(2)判定定理1： ⎭⎬⎫
m ，n α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α；
(3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；
(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a α，a ⊥l ⇒a ⊥β.
2．证明面面垂直的方法．
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a α，a ⊥β⇒α⊥β.
3．转化思想：垂直关系的转化
[易错与防范]
1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．。