2014高考数学 11月基础过关检测4

2014高考数学11月基础过关检测4
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若2)(0='x f ，则k
x f k x f k 2)
()(lim
000
--→等于( )
A ．－1
B ．－2
C ．－1
D ．
2
1 【答案】A
2．函数2sin(2)y x x =+导数是( )
A ．．2cos(2)x x +
B ．22sin(2)x x x +
C ．2(41)cos(2)x x x ++
D ．24cos(2)x x +
【答案】C
3．已知函数y ＝f(x)的导函数y ＝f ′(x)的图像如图，则( )
A ．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点
B ．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点
C ．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点
D ．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点 【答案】B
4．下列说法正确的是( )
A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大.
B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值.
C ．对于函数12)(23+++=x px x x f ，若6||<P ，则)(x f 无极值.
D ．函数)(x f 在区间),(b a 上一定存在最值. 【答案】C
5．设函数1
)
(lim
),2()1()(1
2
+'-+=-→x x f x x x f x 则等于( ) A ．6 B ．2
C ．0
D ．－6
【答案】D
6．曲线21
x y x
+=
在点(1,2)P 处的切线的方程为( ) A ．240x y +-= B ．310x y --= C ．420x y --=
D ．350x y +-=
【答案】D 7．若函数〔e 是自然对数的底数)，则此函数在点（
）处的切线的倾斜角为
( ) A ．
B ．0
C ．钝角
D ．锐角
【答案】C
8．若a ＞0，b ＞0，且函数32()422f x x ax bx =--+在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 【答案】D
9．函数()f x 可导，则
(1)(1)
2lim
x f x f x
∆→+∆-∆等于( )
A ． '(1)f
B ． '2(1)f
C ．
'
1(1)2
f D ． '(2)f
【答案】C 10．设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N ，则f 2006(x)＝( ) A ．sinx B ．－sinx C ．cosx D ．－cosx 【答案】B 11．若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim
000，则x
x f x x f x ∆-∆⋅+→∆)
()2(lim 000等于( )
A ．k 2
B ．k
C ．k 2
1
D ．以上都不是
【答案】A
12．已知)(x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数,且)()(x f x f '<对于R x ∈恒成立,则( )
A ． )0()2(2f e f ⋅>, )0()2010(2010f e f ⋅>
B ． )0()2(2f e f ⋅<, )0()2010(2010f e f ⋅>
C ． )0()2(2f e f ⋅>, )0()2010(2010f e f ⋅<
D ．)0()2(2f e f ⋅<, )0()2010(2010f e f ⋅< 【答案】A
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13． 函数()3
31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a =____________．
【答案】4 14．曲线x x
y 21
+=在1=x 处切线的斜率是 . 【答案】1
15．已知曲线lnx 34x y 2
-=的一条切线的斜率为2
5-，则切点的坐标为 ； 【答案】1(1,)
4
16．在曲线331y x x =-+的所有切线中，斜率最小的切线的方程为 ．
【答案】y ＝3x ＋1
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知函数k
x e k x x f 2
)()(-=. (1)求)(x f 的单调区间；
(2)若对0(∈∀x ，)∞+，都有
e x
f 1
)(≤
，求k 的取值范围。

【答案】 (1)/
221()()x
k
f x x k e k =-，令/
()0f x =得x k =±
当0k >时，()f x 在(,)k -∞-和(,)k +∞上递增，在(,)k k -上递减； 当0k <时，()f x 在(,)k -∞和(,)k -+∞上递减，在(,)k k -上递增
(2) 当0k >时，
1
1(1)k k
f k e
e ++=>
；所以不可能对0(∈∀x ，)∞+都有
e x
f 1
)(≤
； 当0k <时有（1）知()f x 在(0,)+∞上的最大值为2
4()k f k e -=
，所以对0(∈∀x ，)∞+都有e x f 1)(≤即24110
2k k e e ≤⇒-≤<，故对0(∈∀x ，)∞+都有e x f 1
)(≤时，k 的取值范围为1[,0)2-。

18．已知函数()()3
2
2
,.f x x ax bx a
a b R =+++∈
(Ⅰ）若函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 的值；
(Ⅱ）若对于任意的[)4,a ∈-+∞，()f x 在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值． 【答案】（Ⅰ）()2
32f x x ax b '=++，
于是，根据题设有
()()2
1320
1110f a b f a b a '=++==+++=⎧⎨⎩
解得411a b =⎧⎨
=-⎩ 或 3
3
a b =-⎧⎨=⎩
当411
a b =⎧⎨
=-⎩时，()2
3811f x x x '=+-，641320∆=+>，所以函数有极值点；
当33
a b =-⎧⎨
=⎩时，()()2
310f x x '=-≥，所以函数无极值点．
所以 11b =-．
(Ⅱ）法一：()2
320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立， 所以 ()2
230F a xa x b =++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立
因为 0x ≥,
所以 ()F a 在[]4,a ∈-∞上为单调递增函数或为常数函数， 所以 ()()2
min 4830F a F x x b =-=-++≥对任意[]0,2x ∈都成立
即 (
)
2
max
38b x x
≥-+.
又2
241616383333x x x ⎛
⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭
，
所以 当43x =时，()2
max 16383
x x -+=， 所以 16
3
b ≥
， 所以 b 的最小值为
163
． 法二：()2
320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，
即2
32b x ax ≥--对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，
即(
)
2
max
32b x ax
≥--．
令()2
22
32333a a F x x ax x ⎛
⎫=--=-++ ⎪⎝
⎭，
当0a ≥时，()()max 00F x F ==，于是0b ≥； 当40a -≤<时，()2
max
33a a
F x F ⎛⎫=-=
⎪⎝⎭
，于是，23a b ≥ ． 又 2max 1633
a ⎛⎫= ⎪
⎝⎭，所以 16
3b ≥． 综上，b 的最小值为
163
． 19．已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ，(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l ， 并且1l 与2l 平行. (1）求(2)f 的值；
(2）已知实数t ∈R ，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；
(3）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,， 存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式
12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-
(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1
'(1)1
g x x -=
- 由题意可得12l l k k =，即1a =， ∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-=
2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-
令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>， ∴ln u x x =在[]
1,e 单调递增，0,u e ≤≤
22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122
t
u -=
，抛物线开口向上
①当1202t u -=
≤即1
2t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ②当122t u e -=≥即122e
t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即121
22
e t -<<时， 22min 122
12121
|
()(21)224t
u t t y y t t t -=--==+-+-=- 1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+
,22111
'()0x F x x x x
-=-=≥1x ≥得 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增
∴1x ≥当时，F F x ≥>（）
（1）0 ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，
12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，
得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈，
∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β< 从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，
12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，
由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤， ∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，
得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符. ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈
20．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=
880
3
12800012+-x x (0<x ≤120).已知甲、乙两地相
距100千米。

(Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【答案】 (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240
100
=小时, 要耗油(
)(5.175.284080
3
4012800013升）=⨯+⨯-⨯.
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升. (2)当速度为x 千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了,100
小时x
设耗油量为h(x)升，衣题意得 h(x)=(
880312800013+-x x )·)1200(4
15
800128011002＜＜x x x x -+=,
h ’(x)=2
3
3264080800640x
x x x -=-( 0＜x ≤120＝ 令h ’(x)=0，得x=80.
当x ∈(0,80)时，h ’(x)＜0,h(x)是减函数; 当x ∈(80,120)时，h ’(x)＞0,h(x)是增函数. ∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 21．某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件. 如果降低价格，销售量可以增加， 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，021x ≤≤）的平方成正比．已知商品售价降低2元时，一星期多卖出24件． (Ⅰ）将一个星期内该商品的销售利润表示成x 的函数()f x ； (Ⅱ）如何定价才能使一个星期该商品的销售利润最大？
【答案】（1）商品降价x 元，则每个星期多卖的商品数为2
kx ，则依题意有
22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+，
又由已知条件，2242k
=·，于是有6k =， 所以32()61264329072[021]f x x x x x =-+-+∈，，．
(2）根据（1），我们有2()1825243218(2)(12)f x x x x x '=-+-=---． 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表：
故12x =时，()f x 达到极大值．因为(0)9072f =，(12)11264f =， 所以定价为18元能使一个星期的商品销售利润最大． 22．已知函数()ln(2)f x x ax =-+在（0，1）内是增函数. (1）求实数a 的取值范围;
(2）若1b >，求证：
1ln(2)ln 2ln(1)(1)
b b b b b -++-+>
+.
【答案】（1）由已知得()/1()00,12f x a x =
+≥-在内恒成立，即()1
0,12
a x ≥--在内恒成立，1a ∴≥
(2）11,011
b b
b b b ->∴<
<<+
，又由（1）得当1a =时， ()ln(2)f x x x =-+()0,1在内为增函数，则1(
)()1
b b
f f b b -<+， 11ln(2)ln(2)11
b b b b
b b b b --∴-
+<-+
++， 即211ln ln 11b b b b
b b b b ++-->-
++，1ln(2)ln 2ln(1)(1)b b b b b -∴++-+>+.。