高考综合复习——机械振动_机械波专题复习

机械振动机械波专题复习
考纲解读
本专题考查的热点有简谐运动的特点及图象、波的图象以及波长、波速、频率的关系，题型以选择题和填空题为主，难度中等偏下，有的考区也以计算题的形式考查．
复习时应注意理解振动过程中回复力、位移、速度、加速度等各物理量的变化规律、振动与波动
的关系及两个图象的物理意义，注意图象在空间和时间上的周期性。

第一部分机械振动
知识要点梳理
知识点一——简谐运动
▲知识梳理
1．定义
物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

表达式为：F=－kx，是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。

凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。

也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。

（2）回复力是一种效果力，是振动物体在沿振动方向上所受的合力。

（3）“平衡位置”不等于“平衡状态”。

平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。

（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态。

）
特别提醒：简谐运动的位移大小和方向都是相对平衡位置来说的，是从平衡位置指向所在位置的矢量。

2．几个重要的物理量间的关系
要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。

（1）由定义知：F x，方向与位移方向相反。

（2）由牛顿第二定律知：a F，方向与F方向相同。

（3）由以上两条可知：a x，方向与位移方向相反。

（4）v和x、F、a之间的关系最复杂：当v、a同向（即v、F同向，也就是v、x反向）时v一定增大；
当v、a反向（即v、F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。

3．从总体上描述简谐运动的物理量
振动的最大特点是往复性或者说是周期性。

因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅A来描述；在时间上则用周期T来描述完成一次全振动所需的时间。

（1）振幅A是描述振动强弱的物理量。

（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）
（2）周期T是描述振动快慢的物理量。

周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。

任何简谐运动都
有共同的周期公式：（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，即简谐运动的判定式F=－kx中的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。

（3）频率也是描述振动快慢的物理量。

周期与频率的关系是。

4．表达式
，其中A是振幅，是t=0时的相位，即初相位或初相。

5．简谐运动的能量特征
振动过程是一个动能和势能不断转化的过程，振动物体总的机械能的大小与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。

简谐运动的振幅不变，总的机械能守恒。

▲疑难导析
1、简谐运动中路程和时间的关系
（1）若质点运动时间t与周期T的关系满足t=nT（n＝1，2，3……），则成立
特别提醒：不论计时起点对应质点在哪个位置向哪个方向运动，经历一个周期就完成一次全振动，完成任何一次全振动质点通过的路程都等于4A。

（2）若质点运动时间t与周期T的关系满足（n＝1，2，3…），则成立
（3）若质点运动时间t与周期T的关系满足，此种情况最复杂，分三种情形
①计时起点对应质点在三个特殊位置（两个最大位移处，一个平衡位置），由简谐运动的周期性和对称性知，成立。

②计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间，向平衡位置运动，则s＞A。

③计时起点对应质点在最大位移处和平衡位置之间，向最大位移处运动，则s＜A。

（4）质点运动时间t为非特殊值，则需要利用简谐运动的振动图象进行计算。

2、简谐运动的位移、速度、加速度及对称性
（1）位移：方向为从平衡位置指向振子位置，大小为平衡位置到该位置的距离。

位移的表示方法：以平衡位置为原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某一时刻振子（偏离平衡位置）的位移用该时刻振子所在位置的坐标来表示。

振子通过平衡位置时，位移改变方向。

（2）速度：描述振子在振动过程中经过某一位置或在某一时刻运动的快慢。

在所建立的坐标轴上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。

振子在最大位移处速度为零，在平衡位置时速度最大，振子在最大位移处速度方向发生改变。

（3）加速度：根据牛顿第二定律，做简谐运动物体的加速度。

由此可知，加速度的大小跟位移大小成正比，其方向与位移方向总是相反。

振子在位移最大处加速度最大，通过平衡位置时加速度为零，此时加速度改变方向。

（4）简谐运动的对称性
①瞬时量的对称性：做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系。

另外速度、动量的大小具有对称性，方向可能相同或相反。

②过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时时间相等，如，如图所示：
特别提醒：
①利用简谐运动的对称性，可以解决物体的受力问题，如放在竖直弹簧上做简谐运动的物体，若已知物体在最高点的合力或加速度，可求物体在最低点的合力或加速度。

但要注意最高点和最低点合力或加速度的方向相反。

②由于简谐运动有周期性，因此涉及简谐运动时，往往出现多解，分析时应特别注意：物体在某一位置时，位移是确定的，而速度不确定；时间也存在周期性关系。

例：一个弹簧振子的振动周期是0.025s，当振子从平衡位置开始向右运动，经过0.17s时，振子的运动情况是（）
A．正在向右做减速运动B．正在向右做加速运动
C．正在向左做减速运动D．正在向左做加速运动
答案：B
知识点二——简谐运动的图象
▲知识梳理
1．简谐运动的图象
以横轴表示时间t，以纵轴表示位移x，建立坐标系，画出的简谐运动的位移——时间图象都是正弦或余弦曲线。

2．简谐运动的图象
（1）从平衡位置开始计时，函数表达式为，图象如图1。

（2）从最大位移处开始计时，函数表达式，图象如图2。

3．振动图象的物理意义
表示振动物体的位移随时间变化的规律。

4．从图象中可以知道
（1）任一个时刻质点的位移
（2）振幅A
（3）周期T
（4）速度方向：由图线随时间的延伸就可以直接看出
（5）加速度：加速度与位移的大小成正比，而方向总与位移方向相反。

只要从振动图象中认清位移（大小和方向）随时间变化的规律，加速度随时间变化的情况就迎刃而解了。

▲疑难导析
1．关于振动图象的讨论
（1）简谐运动的图象不是振动质点的轨迹。

做简谐运动质点的轨迹是质点往复运动的那一段线段（如弹簧振子）或那一段圆弧（如单摆）。

这种往复运动的位移图象，就是以x轴上纵坐标的数值表示质点对平衡位置的位移，以t轴横坐标数值表示各个时刻，这样在x—t坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况——振动图象。

（2）简谐运动的周期性体现在振动图象上是曲线的重复性。

简谐运动是一种复杂的非匀变速运动，但运动的特点具有简单的周期性、重复性、对称性。

所以用图象研究要比用方程要直观、简便。

简谐运动的图象随时间的增加将逐渐延伸，过去时刻的图形将永远不变，任一时刻图线上过该点切线的斜率数值代表该时刻振子的速度大小，正负表示速度的方向，斜率为正时表示速度沿x正向，斜率为负时表示速度沿x负向。

2．根据简谐运动图象分析简谐运动情况的基本方法
简谐运动图象能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图象跟具体的运动过程联系起来是讨论简谐运动的一种方法。

（1）从简谐运动图象上可以直接读出不同时刻t的位移值，从而知道位移x随时间t的变化情况。

（2）在简谐运动图象中，用作曲线上某点切线的方法可确定各时刻质点的速度大小和方向。

切线与x轴正方向夹角小于时，速度方向与选定的正方向相同，且夹角越大表明此时速度越大；当切线与x轴正方向的夹角大于时，速度方向与选定的正方向相反，且夹角越大表明此时速度越小。

也可以根据位移情况来判断速度的大小，因为质点离平衡位置越近，质点速度越大，而最大位移处，质点速度为零。

根据位移变化趋势判定速度方向，若正位移增大，速度为正方向，若正位移减小，速度为负方向；反之，若负位移增大，速度为负方向，若负位移减小，速度为正方向。

（3）由于，故可以根据图象上各个时刻的位移变化情况确定质点加速度的变化情况。

同样只要知道了位移和速度的变化情况，也就不难判断出质点在不同时刻的动能和势能的变化情况。

例：一质点做简谐振动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由可知（）
A．质点振动频率是4Hz B．t＝2s时，质点的加速度最大
C．质点的振幅为2cm D．t＝3s时，质点所受合外力最大
答案：BC
解析：由图可知，振动周期为T＝4s，因而振动倾率f=0.25Hz，所以选项A错误。

图中t＝0点是振动平衡位置，质点在平衡位置时所受合外力为零，速度最大，加速度为零；质点在最大位移处所受合外力最大，加速度最大，速度为零，因而选项B正确，选项D错误。

振幅是质点偏离平衡位置的最大位移，由图可见，质点偏离平衡位置的最大位移为2cm，振幅为2cm，因而选项C正确。

知识点三——典型的简谐运动
▲知识梳理
1．弹簧振子
（1）周期，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度系数决定。

（2）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。

这个结论可以直接使用。

在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

2．单摆
（1）在一条不可伸长的、质量可以忽略的细线下拴一质点，上端固定，构成的装置叫单摆；当单摆的最大偏角小于时，单摆的振动近似为简谐运动。

（2）单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度()越大，由于摆球的轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力。

（3）单摆的周期：。

在小振幅摆动时，单摆的振动周期跟振幅和振子的质量都没有关系。

▲疑难导析
类单摆的等效摆长和等效重力加速度
在有些振动系统中不一定是绳长，g也不一定为9.8，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。

（1）等效摆长：如图所示，三根等长的绳共同系住一密度均匀的小球m，球直径为d。

与天花板的夹角。

若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在处，故等效摆
长，周期；若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长
为，周期。

（2）等效重力加速度：公式中的g由单摆所在的空间位置决定。

由知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值代入公式，即g不一定等于9.8。

g还由单摆系统的运动状态决定。

如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值。

再如，单摆若在轨道上运行的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了。

g还由单摆所处的物理环境决定。

如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和竖直电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有等效值的问题。

在均匀场中值等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力与摆球质量的比值，由此找到等效重力加速度
代入公式即可求得周期T。

若＞g，T变短；＜g，T变长。

例：在一加速系统中有一摆长为的单摆。

（1）当加速系统以加速度a竖直向上做匀加速运动时，单摆的周期多大？若竖直向下加速呢？
（2）当加速系统在水平方向以加速度a做匀加速直线运动时，单摆的周期多大？
解析：
（1）当单摆随加速系统向上加速时，设在平衡位置相对静止的摆球的视重力为F，如图
甲所示，
则，故，
由得，视重力加速度，
所以单摆周期
同理，当升降机竖直向下加速时，视重力，
则，故
（2）当在水平方向加速时，相对系统静止时摆球的位置如图乙所示，
视重力，
故视重力加速度，所以周期。

知识点四——受迫振动与共振
▲知识梳理
1．受迫振动
物体在周期性变化的驱动力作用下的振动叫受迫振动；物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系。

2．共振
是一种特殊的受迫振动，当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动物体的振幅最大，这种现象叫共振。

声音的共振叫共鸣。

▲疑难导析
1．共振曲线
如图所示，共振曲线以驱动力频率为横坐标，以受迫振动的振幅为纵坐标。

它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响，由图可知，与越接近，振幅A越大；当时，振幅A最大。

2．受迫振动中系统能量的转化
受迫振动不是系统内部动能和势能的转化，而是与外界时刻进行着能量交换，系统的机械能也时刻变化。

3．发生共振时，驱动力对振动系统总是做正功，总是向系统输入能量，使系统的机械能逐渐增加，振动物体的振幅增大。

当驱动力对系统做的功与摩擦力做的功以及介质阻力做的功之和相等时，振动系统的机械能不再增加，振幅不再增大。

例：如图为一单摆的共振曲线，根据图象解答：
（1）该单摆的摆长约为多少？
（2）共振时单摆的振幅多大？
解析：
（1）从共振曲线可知，单摆的固有频率f=0. 5Hz，
因为，
所以，
代入数据解得1m
（2）从共振曲线可知：单摆发生共振时，振幅A＝8cm。

典型例题透析
题型一——简谐运动的图象
利用简谐运动的图象可以确定：
（1）可以确定振动物体在任一时刻的位移。

如图中，对应时刻的位移分别为。

（2）确定振动的振幅。

图中最大位移的值就是振幅，如图表示振动的振幅是10cm。

（3）确定振动的周期和频率。

振动图象上一个完整的正弦（余弦）图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。

由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期，T=0.2s，频率。

（4）确定各质点的振动方向。

例如图中的时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在时刻，质点正向着平衡位置运动。

（5）比较各时间质点加速度的大小和方向。

例如在图中时刻质点位移为正，则加速度为负，时
刻为负，则加速度为正，又因为，所以。

例1、一质点简谐运动的振动图象如图所示。

（1）该质点振动的振幅是 cm；周期是 s；初相是________。

（2）写出该质点简谐运动的表达式，并求出当t=1s时质点的位移。

思路点拨：
（1）由图象可得出振幅、周期、初相。

（2）由，A和为振幅和初相。

将t=1s代入即可求出位移。

解析：
（1）由质点振动图象可得A=8cm，T=0. 2s，
（2）rad/s
质点简谐运动表达式为，当t=1s时，x=8cm。

总结升华：
（1）应用振动图象可直接读出振幅、周期、初相。

（2）书写简谐运动表达式，可根据位移通式，结合从图象上得到的振幅A和初相、周期T，再根据，解出代入即可。

举一反三
【变式】如图所示为一弹簧振子的振动图象。

求：
（1）从计时开始经过多长时间弹簧振子第一次达到弹性势能最大？
（2）在第2s末到第3s末这段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能、弹性势能各是怎样变化的？
（3）该振子在前100s内的总位移是多少？路程是多少？
解析：
（1）由图可知，在计时开始的时刻弹簧振子恰好沿x轴正方向通过平衡位置O，此时弹簧振子具有
最大动能，随着时间的延续，速度不断减小，而位移逐渐增大，经ls，其位移达到最大，此时弹性势能最大。

（2）由图知，在t=2s时，弹簧振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断增加，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大；当t=3s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值。

（3）振子经过一周期位移为零，路程为5×4cm=20cm，前100s刚好经过了25个周期，所以前100s 内振子位移s=0，路程20×25cm=500cm=5m。

题型二——简谐运动具有往复性、对称性和周期性
简谐运动的过程特点
1．变化特点：抓住两条线
第一，从中间到两边（平衡位置到最大位移）：，，，动能，势能，机械能E不变。

第二，从两边到中间（最大位移到平衡位置）：，动能，势能，机械能E不变。

2．运动规律
（1）周期性——简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能恢复到原来的状态。

（2）对称性——简谐运动的物体具有相对平衡位置的对称性。

物体做简谐运动时，在同一位置P点，振子的位移相同，回复力、加速度、动能和势能也相同，速度的大小相等，但方向可相同也可相反。

在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势能对应相等，回复力、加速度大小相等，方向相反；速度的大小相等，方向可相同，也可相反，运动的时间也对应相等；一个做简
谐运动的质点，经过时间t=nT（n为正整数），则质点必回到出发点，而经过t＝(2n+1)（n为正整数），则质点所处位置必与原来位置关于平衡位置对称。

例2、一弹簧振子做简谐运动，周期为T（）
A．若t时刻和时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则一定等于T的整数倍
B．若t时刻和时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则一定等于T/2的整数倍
C．若= T，则在t时刻和时刻振子运动的加速度一定相等
D．若=T/2，则在t时刻和时刻弹簧的长度一定相等
思路点拨：利用简谐运动的周期性和对称性分析求解。

解析：对A选项，只能说明这两个时刻振子位于同一位置，如图所示，设在P点，并未说明这两个
时刻振子的运动方向是否相同，可以是振子由P向B再回到P的时间，故认为一定等于T的整数倍是错误的；对B选项，振子两次到P位置时可以速度大小相等，方向相反，但并不能肯定等于T/2的整数倍，选项B也是错误的；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必定相同，选项C是正确的；相隔T/2的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置可位于P和对称的处，在P处弹簧处于伸长状态，在处弹簧处于压缩状态，弹簧的长度并不相等，选项D是错误的。

答案：C
总结升华：简谐运动的周期性——简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回到原来的状态。

简谐运动的对称性——简谐运动的物体具有相对平衡位置的对称性。

举一反三
【变式】一个质点在平衡位置O点附近做机械振动。

若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M 点（如图所示）；再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点还需的时间是（）
A.8s
B.4s
C.14s
D. s
答案：CD
解析：由简谐振动的对称性可知，质点由O→a，a→O；O→M，M→O；M→b，b→M；所用时间分别对应相等。

又因为开始计时时，质点从O点开始运动方向不明确，故应分为两种情况讨论。

（1）当质点开始从O点向右运动时，由题意得，=3s，2=2s，而＋=，所以有T=16s，故质点第三次达M点还需要时间为t=＋2=8s＋6s=14s。

（2）当质点开始从O点向左运动时，由题意得，＋=3s，2=2s，
而＋=，所以有T=s，=s，
故质点第三次达M点还需要时间为=＋2=s。

题型三——单摆的周期
等效单摆的周期公式中是等效重力加速度。

等效重力加速度由单摆所在的空间位置决定，一般情况下等效重力加速度等于摆球静止时摆线的张力（视重）与摆球质量的比值。

例3、如图所示，在水平地面上有一段光滑圆弧形槽，弧的半径是R，所对圆心角小于，现在圆弧的右侧边缘M处放一个小球A，使其由静止下滑，则：
（1）球由A至O的过程中所需时间t为多少？在此过程中能量如何转化？（定性说明）
（2）若在MN圆弧上存在两点P、Q，且P、Q关于O对称，且已测得球A由P直达Q所需时间为，则球由Q至N的最短时间为多少？
（3）若在圆弧的最低点O的正上方h处由静止释放小球B，让其自由下落，同时A球从圆弧右侧由静止释放，欲使A、B两球在圆弧最低点O处相遇，则B球下落的高度h是多少？
思路点拨：要抓住圆弧光滑且圆心角小于这个条件，隐含条件是小球的运动可等效为单摆，即球
在圆弧上做简谐运动。

从而利用简谐运动的周期性和对称性以及机械能守恒定律解决问题。

解析：
（1）由单摆周期公式知：球A的运动周期，
所以
在由A→O的过程中球A的重力势能转化为动能。

（2）由对称性可知
代入数据解得Q至N的最短时间
（3）欲使A、B相遇，则两球运动时间相同，且必须同时到达O点，
A球能到O点的时间可以是，也可以是。

故由简谐运动的周期性可知两球相遇所经历的时间可以是或
所以A球运动的时间必为的奇数倍，即
所以。

总结升华：本题易出现的错误一是不会利用简谐运动对称性；二是不注意周期性带来多解问题，误认为从A到O时间仅为。

第二部分机械波
知识要点梳理
知识点一——机械波
▲知识梳理
1．波的形成
机械振动在介质中的传播形成机械波。

条件：①波源；②介质。

2．机械波的分类
按质点的振动方向与波的传播方向是垂直还是平行分为横波和纵波。

3．描述波动的物理量
4．机械波的传播特征
（1）机械波向外传播的只是振动这一运动形式和振动的能量，介质中的质点本身并没有随波迁移。

（2）机械波在传播过程中，介质中各质点都在各自的平衡位置附近做同频率、同振幅的简谐振动，沿着波的传播方向，后一质点的振动总落后于前一质点的振动，或者说后面的质点总要重复前面质点的振动，只是在时间上晚了一段。

正是由于不同质点在同一时刻的振动步调不一致，于是就形成了波。

（3）在介质中有波传播时，由于介质中各个质点运动的周期性，决定振动状态在介质中的传播也具有周期性，如果忽略了介质对能量的吸收消耗，则介质中各质点均做振幅相同的简谐振动。

▲疑难导析
1．波长概念的理解
公式v＝f中，v由介质决定，f取决于波源，而由波源和介质共同决定；当波源振动时，将带动其相邻的质点做同频率的受迫振动。

驱动力来源于振源，所有质点的振动频率均等于振源的频率；当波从一。