第一节二重积分的概念与性质09-3-22资料

第九章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
教学目的:理解并掌握二重积分的概念;几何意义; 二重积分存在的条
件.熟练掌握二重积分的性质;
能正确运用性质进行判断、计算与证明.
重点: 二重积分的性质.
难点: 运用性质判断与计算. 教学方法:直观教学,讲练结合. 教学过程: 一、 二重积分的概念
1、【定义】: 设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域1σ∆， ,2σ∆，n σ∆，其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个i σ∆上任取一点),(i i ηξ，作乘积),(i i f ηξi σ∆，),,2,1(n i =，并作和
i
i
n
i i
f σ
ηξ∆∑=),(1
，如果当各小闭区域的直径i d 中的最大值
1max{}0i i n
d λ≤≤=→时，这和式0
1
lim (,)n
i i i i f λξησ→=∆∑的极限存在，且
此极限与小区间i σ∆的分法以及点),(i i ηξ的取法无关，则称此极限
为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分，记为
⎰⎰D
d y x f σ),(，即 ⎰⎰D
d y x f σ),(i
i
n
i i
f σηξλ
∆=∑=→),(lim 1
.
其中：① ),(y x f 称为被积函数, ② σd y x f ),(称为被积表达式,③ y x ,称为积分变量, ④ σd 称为面积元素, ⑤ D 称为积分区域, ⑥
i
i
n
i i
f σηξ∆∑=),(1
称为积分和.
2、面积元素σd
在直角坐标系下用平行于坐标
轴的直线网来划分区域D ,则面积元 素为 dxdy d =σ
故二重积分可写为
⎰⎰⎰⎰=D
D
dxdy y x f d y x f ),(),(σ.
3、【二重积分存在定理】 设),(y x f 是有界闭区域D 上的连续函数,则存在二重积分
⎰⎰D
d y x f σ),(.
4、二重积分的几何意义
(1)当被积函数(,)0f x y ≥时,二重积分
⎰⎰D
d y x f σ
),(表示以
),(y x f 为顶,以D 为底面的曲顶柱体的体积．
(2)当被积函数(,)0f x y ≤时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数．
二、二重积分的性质
假设被积函数在有界闭区域D 上连续. 1．⎰⎰⎰⎰=D
D
d y x f k d y x kf σσ),(),(, k 为常数.
2．
⎰⎰±D
d y x g y x f σ)],(),([⎰⎰⎰⎰±=D
D
d y x g d y x f σσ),(),(.
设,αβ为常数则上述两式合并为
[(,)(,)]D
f x y
g x y d αβσ+⎰⎰(,)(,)D
D
f x y d
g x y d ασβσ=+⎰⎰⎰⎰.
3．(二重积分对区域可加性)
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=2
1),(),(),(D D D
d y x f d y x f d y x f σσσ, )(2
1
D
D D +=.
4．
σσ=⎰⎰D
d , σ为D 的面积.
y
x
O
D
5．(积分不等式)若),(),(y x g y x f ≤,则 ⎰⎰⎰⎰≤D
D
d y x g d y x f σσ),(),(.
推论:
⎰⎰
⎰⎰≤D
D
d y x f d y x f σσ),(),(.
6．(积分估值定理)设M 、m 分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大
值和最小值，则 ⎰⎰≤≤
D
M d y x f m σσσ),(.
7．(积分中值定理)设函数),(y x f 在闭区域D 上连续，则在D 上至少存在一点),(ηξ使得
1
(,)(,)
D
f x y d f σ
ξησ
=⎰⎰. 8．设区域12D D D =+，且1D 与2D 关于x 轴对称；
（1）当),(y x f 关于y 是偶函数时即(,)f x y －＝),(y x f 时，有
1
(,)2(,)D
D f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.
(2) 当),(y x f 关于y 是奇函数时即(,)f x y －＝(,)f x y -时，有
(,)0D
f x y d σ=⎰⎰.
类似有设区域12D D D =+，且1D 与2D 关于y 轴对称； 当),(y x f 关于x 是偶函数时即(,)f x y -＝),(y x f 时，有
1
(,)2(,)D
D f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.
(2) 当),(y x f 关于x 是奇函数时即(,)f x y -＝(,)f x y -时，有
(,)0D
f x y d σ=⎰⎰.
三、应用举例 例1 比较
⎰⎰+D
d y x σ2)(与⎰⎰+D
d y x σ3
)( 的大小,其中
}2)1()2(|),{(2
2
≤-+-=y x y x D .
解：如图,由于点)0,1(A 在2)1()2(2
2
≤-+-y x 上,过点A 的切线
为1=+y x ,那么在D 上有 3
2
)()(1y x y x y x +≤+≤+≤, 所以
⎰⎰⎰⎰+<+D
D
d y x d y x σσ32)()(. A
y
x
O
D
例2(05.4) 设⎰⎰+=
D
y x I σd cos 221,⎰⎰+=D
y x I σd )cos(2
22, ⎰⎰+=D
y x I σd )cos(2223,其中}1|),{(22
≤+=y x y x D ,则
(A)123I I I >> (B)321I I I >>(C)312I I I >> (D)213I I I >>
答 (A).因为在区域D 上，2
102
2
π
<≤+≤y x ,
所以
0)(12
2222222≥+≥+≥+≥>y x y x y x π
,
从而 2222222)cos()cos()cos(y x y x y x +≤+≤+, 故 123I I I >>.
例3设2
22:a y x D ≤+,当=a ( )时,
π=--⎰⎰
y x y x a D
d d 222.
(a ) 1 (b ) 3
23 (c ) 343 (d ) 32
1 答 (b ).根据二重积分的几何意义,此积分表示半径为a 的上半球体
的体积.由ππ=⋅3
3
421a 得323=a ⇒选(b ).
例4当D 是由( )围成的区域时,
1d d =⎰⎰D
y x .
(a )x 轴,y 轴及022=-+y x (b )1=x ,2=x 及3=y ,4=y
(c )21=
x ,2
1
=y (d )1=+y x ,1=-y x 答 (a ,b ,c ).因为1d d =⎰⎰D
y x 表示积分区域的面积为1,故只需考察哪
些选项积分区域的面积为1. 即可⇒选(a ),(b ),(c ). 例5 判断
221
ln()x y x y d σ+≤+⎰⎰
的正负.
解：在区域{(,)|1}D x y x y =+≤上有2
2
1x y +≤且等号不恒成立，所以2
2
ln()ln10x y +≤=且等 号不恒成立， 故
221
1
ln()(ln1)0x y x y x y d d σσ+≤+≤+<
=⎰⎰
⎰⎰
.
例6估计积分值(),{(,)|01,02}D
I xy x y d D x y x y σ=
+=≤≤≤≤⎰⎰.
解：2
2
0()6012xy x y I ≤+≤⇒≤≤.
例72
2
12{(,)|1,,0},{(,)|(2)(1)2}D x y x y x y D x y x y =+≤≥=-+-≤.
1
1
2312(),(),D D I x y d I x y d σσ=+=+⎰⎰⎰⎰2
23(),D I x y d σ=+⎰⎰
2
34()D I x y d σ=+⎰⎰用适当符号连接1234,,,I I I I .
解：在1D 上有12(01)I I x y >≤+≤,在2D 上43I I >(1)x y +≥. 又由1
211
()12D x y I d σ+≤⇒≤
=
⎰⎰，由2
2311
()122
D x y I d I σπ+≥⇒≥=>
>⎰⎰， 故 4312I I I I >>>.
例8 设22
{(,)|14}D x y x y =≤+≤，证明 2
2
433x y D
e e d e πσπ+≤≤⎰⎰.
证明 2
2
443,x
y D S e e e σπππ+==-=≤≤，由积分的估值性质得
22
433x y D
e e
d e πσπ+≤≤⎰⎰.
例9设2
2
2
{(,)|}D x y x y R =+≤ （1）若(,)f x y 在D 上有界且可积，则0
lim
(,)0R D
f x y d σ→=⎰⎰.
（2）若(,)f x y 在D 上连续，则201
lim
(,)(0,0)R D
f x y d f R σπ→=⎰⎰.
（1）证明 ：设,m M 分别为函数(,)f x y 在D 上的最小值与最大值，则
(,)m f x y M ≤≤，由积分估值定理知(,)D
D
D
md f x y d Md σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰
又2
2
2
{(,)|}D x y x y R =+≤所以2
2
(,)D
mR f x y d MR
πσπ≤
≤⎰⎰，
由夹逼定理得 0lim
(,)0R D
f x y d σ→=⎰⎰.
（2）解：由积分估值定理知(,)f x y 在D 上连续
2(,),..(,)(,)D
D s t f x y d R f ξησπξη⇒∃∈=⎰⎰，
所以 2
2
2
001
1lim
(,)lim
(,)R R D
f x y d R f R R σπξη→→=⋅⎰⎰
(,)(0,0)
lim (,)lim (,)(0,0)R f f f ξηπξηπ
ξηπ→→===.
小结：1. 定义
⎰⎰D
d y x f σ),(i
i
n
i i
f σηξλ
∆=∑=→),(lim 1
为二重积分.
2.二重积分几何意义:表示曲顶柱体的体积.
3.正确运用各条性质进行判断、计算、证明.。