EX3_解答_大M法和两阶段法

第三次作业解答 P49 ：10—(2),(3)小题
10）用大M 法和两阶段法分别求解下列两个线性规划问题
1
+2x 2
-x 1 +2x 2 ≥ 2
x 1 ≤ 3
x 1, x 2 ≥ 0
[x 5后，线性规划模型如下：
M ax Z’=-x 1-2x 2-Mx 5
-x 1+2x 2 -x 3 +x 5 = 2
x 1 +x 4 = 3
x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ≥ 0
C B X B θj
-M 0 x 5 x 4 2/2 -Z ’ -2 0 x 2 x 4 -Z ’
max 最优解X * =（0, 1, 0, 3）T ，最优值为Z min =2。

用两阶段法求解如下： 第一阶段：
标准化并引入人工变量x 5，对人工变量进行优化线性规划模型如下：
5
-x 1+2x 2 -x 3 +x 5 = 2
x 1 +x 4 = 3
x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ≥ 0 C B
X B
θj
-1 0 x 5 x 4 2/2 -W 0 0 x 2 x 4 -Z ’
由于人工变量x 5=0，故可以划去该列，以x 2， x 4为基变量进行第二阶段的计算。

第二阶段：
M ax Z’=-x 1-2x 2
-1/2x
1+x 2
-1/2x 3
= 1
x 1 +x 4 = 3
x 1, x 2, x 3, x 4≥ 0
由于上表中所有非基变量的检验数小于等于0，因此，原问题已经达到最优解，即X * =（0, 1, 0, 3）T ，最优值为Z min =2。

（2）Max Z=x 1+2x 2+3x 3-x 4
x 1+2x 2+3x 3 = 15 2x 1+x 2+5x 3 = 20
x 1 +2x 2+x 3+x 4 = 10
x 1, x 2, x 3, x 4 ≥ 0
[解] 首先，标准化并引入人工变量x 5, x 6后,线性规划如下： （1）Max Z=x 1+2x 2+3x 3-x 4-Mx 5-Mx 6
x 1+2x 2+3x 3+x 5 = 15 2x 1+x 2+5x 3+x 6 = 20
x 1 +2x 2+x 3+x 4 = 10 x 1, x 2, x 3, x 4 ≥ 0 C B X B
θj
-M -M -1 x 5 x 6 x 4 15/3 20/5 10/1 -Z -M 3 -1 x 5 x 3 x 4 15/7 20/1 30/9 -Z
2 3 -1 x 2 x 3 x 4
25/3 15/6 -Z 2 3 1 x 2 x 3 x 1 -Z
max 。

θj 1
1
5
6
4
15/3
20/5
10/1
1
5
3
4
15/7
20/1
30/9 0
2
3
4
25/3
15/6
W min=0
θj 2
3
-1
2
3
4
25/3
15/6
2
3
1
2
3
1
1
- x2-x3
x1-2x2+x3≤ 11
-4x1+x2+2x3 ≥ 3
-2x1 +x3 = 1
x1, x2, x3 ≥ 0
[解] 首先，标准化并引入人工变量x6, x7后,线性规划如下：
1
-x2-x3-Mx6-Mx7
x1-2x2+x3 +x4 = 11
-4x1+x2+2x3 -x5+x6 = 3
-2x1 +x3+x7 = 1
x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7≥ 0
C B X Bθj
0 x4
6 73
1
-4 1 2 0 -1 1 0
-2 0 1 0 0 0 1
0 0 0
0 -1 4
2
7
17
3
1
-7 0 5 1 -2 2 0
-4 1 2 0 -1 1 0
-2 0 10 0 0 1
0 0 -1 0
0 -1 -1 4
2
3
12
1
1
30 0 1 -2 2 -5
0 1 0 0 -1 1 -2
-2 0 1 0 0 0 1
2 1 0 0 0 -1
3 -1 -1 1
2
3
4
1
9
1 0 0
0 1 0 0 -1 1 -2
0 0 1
-2 0 0 0
从表中可以看出，最优解X* =（4, 1,9, 0, 0）T，最优值为Z max=2。

θj 0
1
1
4
6
7
3/1
1
4
2
7
17/5
3/2
1/1
4
2
3
W min=0。

转入第二阶段求解如下：
θj 0
-1
-1
4
2
3
12/3
3
-1
1
2
-1 39 0 0 1
-2 0 0 0
从表中可以看出，最优解X* =（4, 1,9, 0, 0）T，最优值为Z max=2。