江苏省南通市如皋市2020届高三数学下学期二模考试试题含解析
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所以点 到焦点 , 的距离分别为 , ，
故 ，得 ．
所以 ，椭圆 的方程为 ．
（2）依题意，左焦点 ，设直线 ： , ， ， ．
联立方程组 整理得 ，
所以 , ．
因为直线 ， ， 的斜率之和为0,所以 ，
即 ，整理得 ,
即 ，解得 ．
所以直线 的方程为 ．
（3)若直线 的斜率不存在， ；
若直线 的斜率存在，由（2）可得
,
又 ，直线 的斜率为 ， ,
所以 ．
故 ，
令 ，则 ，
故
当 时， , ,
所以 ．
显然， ,
所以 的最小值为2．
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中的最值问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19.已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查集合 交、并、补运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题。
2.若复数 满足 （ 为虚数单位）,则 ______________．
【答案】
【解析】
由 ，得 ，则 ,故答案为 。
3.某工厂为了了解一批产品 净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100件产品中，净重在区间 上的产品件数是．
所以 平面 ，所以 ,
所以 ,
因为 ，所以 .
所以 ,
所以点 就是外接球的球心。
所以外接球的半径为 。
所以外接球的表面积为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查几何体的外接球表面积的计算问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。
10.已知实数 ， 满足条件 ,若不等式 恒成立，则实数 的最大值是__________。
江苏省南通市如皋市2020届高三数学下学期二模考试试题（含解析）
第Ⅰ卷（必做题,共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上。）
1.设全集 ，集合 ， , __________。
【答案】
【解析】
【分析】
先化简集合 ,再求 得解.
【详解】由题得 ,
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 平分 ，所以 ，
所以 ，故 ，
所以 ．
在 中， ， ，所以 ， ,
在 中, ， ，所以 ， ，
在 中， ， ，所以 , ，
所以
,
所以 ，其定义域为 ．
（2）因为 ， ,
．
令 ,得 ，设锐角 满足 ，
列表：
0
极大值
所以当 时, 取得最大值．
答：当 时，四边形 的面积最大．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用,考查利用导数求函数的最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力。
【答案】
【解析】
【分析】
先求出 ，再化简 得 ，再代点到直线的距离公式解不等式得解.
【详解】由题得圆 的圆心 。且 , ,
（其中 是 的夹角）,
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ,
所以 .
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力。
18。如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 : 的焦距为2，且经过点 ，过左焦点 且不与 轴重合的直线 与椭圆 交于点 ， 两点.
（1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 ， ， 的斜率之和为0，求直线 的方程；
（3）设弦 的垂直平分线分别与直线 ，椭圆 的右准线 交于点 ， ，求 的最小值。
【答案】（1） (2） （3）
【答案】
【解析】
【分析】
如图，过点 作 ，设 ，求出 ，再利用基本不等式求最小值得解.
【详解】
过点 作 ，设 ，
由三角函数定义得 .
当且仅当 时取等号。
所以 的最小值为
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数和基本不等式求最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。
二、解答题（本大题共6小题，共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
由题得 ，
三点的高度应满足 或 ,所以 Nhomakorabea ，因为
所以 或 ，
综合得 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数求函数的单调性，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14。在 中，角 , ， 所对的边分别是 ， ， ，若 是边 上的中线，且 ,则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
不妨设点 在 轴上方，先求出点 坐标，再由题得 ，化简即得双曲线的离心率.
【详解】不妨设点 在 轴上方，
联立 得 .
因为 是正三角形，所以 .
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。
7。已知函数 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则 的最小值等于__________。
9.在三棱锥 中， 平面 ， , ,则该三棱锥的外接球 的表面积为__________。
【答案】
【解析】
【分析】
如图，设 的中点为 ，连接 ，证明点 就是外接球的球心。外接球的半径为 ，即得外接球 的表面积。
【详解】
如图，设 的中点为 ，连接 ，由勾股定理得 ，
因为
所以 平面 ，∴ .
因为 平面 ，
【答案】12
【解析】
【分析】
先分析得到等比数列的公比 ,再列方程组解方程组求出首项和公比，再代入 化简即得解。
【详解】因为 ， , 成等差数列。所以等比数列的公比 .
由题得
因为 ，所以
因为 时， ，
时， 。
所以 的最小值为12。
故答案为:12
【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的计算，考查等比数列的通项和前 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
（1)求证: 平面 ;
（2）求证： 。
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1)证明 ， 平面 即得证；（2）取 的中点 ，连校 、 ,
,先证明 面 , 即得证.
【详解】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ．
在三棱柱 中，四边形 是平行四边形,
因为 ，
所以 是 的中点，所以 ．
又 面 ，面 面 ．
【答案】4
【解析】
【分析】
由题得 ，化简即得解.
【详解】由题得 ，
因为 ，所以 的最小值等于4。
故答案为:4
【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
8.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ,且 ， , 成等差数列,则满足不等式 的 的最小值为__________。
【解析】
【分析】
（1）根据已知求出 的值,即得椭圆的 的方程；(2）设直线 ： ， ，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理,根据直线 , ， 的斜率之和为0，求出 ，即得直线的方程；（3）直线 的斜率不存在时， ；直线 的斜率存在时,求出 .即得解.
【详解】（1）因为椭圆 的焦距为2，所以椭圆 的焦点为 ，
【答案】55
【解析】
试题分析：产品净重在区[100，104]上的频率为
（0.15+0.125)×2=0.55，所以产品数为
100×0。55=55;
考点:1.频率分布直方图;
4.某医院欲从积极扱名的甲、乙、丙、丁4名医生中选择2人去支援武汉抗击“新型冠状病毒”，若毎名医生被选择的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被选择的概率为__________.
所以 平面 ．
（2)取 的中点 ，连接 、 ．
囚为 ， ．所以 是正三角形， ．
因为 是 的中点，所以 ．
因为 ， 是 的中点，所以 ．
又 ， ， 面 ，
所以 面 ．
因为 面 ，
所以 ．
【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象分析推理能力。
17。现有一块废弃的半圆形钢板,其右下角一小部分因生锈无法使用，其形状如图所示，已知该钢板的圆心为 ，线段 为其下沿,且 , .现欲从中截取一个四边形 ，其要求如下:点 ， 均在圆弧上， 平分 ,且 ，垂足 在边 上。设 ，四边形 的面积为 。
5.执行下边的伪代码后，输出的结果是__________。
【答案】7
【解析】
【分析】
直接模拟运行程序即得解。
【详解】由题得：0＜27， ,
不满足 ,输出： .
故答案为:7
【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.
6.在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： 的左，右焦点分别为 ， ，设过右焦点 且与 轴垂直的直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点，若 是正三角形，则双曲线 的离心率为__________。
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
（2）若函数 在定义域上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）设函数 在区间 )上存在极值，求证: .
【答案】（1） （2） 或 （3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数求函数 在 处的切线方程；（2)对 分 两种情况讨论,当 时，再分三种情况结合导数分类讨论;（3）先求出 ，要使得 在 上存在极值，则须满足 即 分析推理即可得到 .
【详解】（1）当 时, ， ， ， ,
所以函数 在 处得切线方程为 ．
(2）因为 ， ， ，
所以 ．
①若 ，则 ， 在 上是单调增函数,
所以 在 上至多一个零点，与题意不符合．
②若 ，令 ，得 ．
0
极小值
（ⅰ）若 ,即 时， 有且仅有一个零点 ，与题意不符．
（ⅱ）若 ,即 时， , ,
又 ,且 的图像在 上不间断，
所以 ，即 ，
整理得 ，所以 ,
又 ，故 .
（2）在 中, , ， ，
由余弦定理得 ，
得 ，故
由正弦定理 得 ，解得 .
因为 ，故 ， ，
所以 .
所以 。
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16.在三棱柱 中， ， ，且 ， 为 的中点.
(1）求 关于 的函数解析式，并写出其定义域;
(2）当 为何值时,四边形 的面积最大？
【答案】（1） ，其定义域为 （2）
【解析】
【分析】
（1）连接 ,取 的中点 ， 的中点 ,连接 ， ．根据 ，求出 关于 的函数解析式，并写出其定义域；（2)利用导数求函数 的最值即得解。
【详解】（1）连接 ，取 的中点 ， 的中点 ,连接 ， ．
【详解】
如图, 四点共圆, 为圆的直径.
设 ，所以 ,由相交弦定理得 ，
在直角△ 中，由勾股定理得 ，
在△ 中，由余弦定理得 。
因为 ,
所以 ，
又 ,所以 。
所以 。
故答案为:
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查平面几何圆的知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12。在平面直角坐标系 中,已知 在圆 : 上运动,且 。若直线 ： 上的任意一点 都满足 ，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先作出不等式组对应的可行域，如图所示，求出 ，化简已知得 恒成立，再换元利用导数求函数的最值即得解.
【详解】
作出不等式组对应的可行域,如图所示，
联立 得 ，
所以 。
因为不等式 恒成立，
所以 恒成立,
设 ， 恒成立,
设 ,
所以函数 在 单调递减， 单调递增.
所以 .
所以 .
故答案为：
15。在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ,已知 .
（1）求角 的大小;
（2）若 , ,求 的值.
【答案】（1) （2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简 得 ,即得角 的大小；（2）由余弦定理得 ,由正弦定理得 ， ，即得 的值。
【详解】(1）因为 ，根据正弦定理 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
【点睛】本题主要考查线性规划求最值，考查利用导数求函数的最值,考查不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。
11.如图，在四边形 中,对角线 与 相交于点 。已知 ， ， ，且 是 的中点，若 ,则 的值为__________。
【答案】
【解析】
【分析】
如图，设 ，先求出 ,再根据 得到 ，再求 的值得解。
13。已知函数 ，若存在实数 ，使得函数 有6个零点,则实数 的取值范围为__________。
【答案】
【解析】
【分析】
先作出函数的图象，由题得 ， 三点的高度应满足 或 ，所以 或 ，解不等式即得解.
【详解】
由题得函数 的图象和直线 有六个交点.显然有 。
，( )，
所以函数在 单调递减,在 单调递增，且 .
【答案】
【解析】
【分析】
先求出甲乙都不被选择的概率，再利用对立事件的概率求解即可.
【详解】由题得甲乙都不被选择的概率为 ，
由对立事件的概率公式得甲、乙2人中至少有1人被选择的概率为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查对立事件的概率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
故 ，得 ．
所以 ，椭圆 的方程为 ．
（2）依题意，左焦点 ，设直线 ： , ， ， ．
联立方程组 整理得 ，
所以 , ．
因为直线 ， ， 的斜率之和为0,所以 ，
即 ，整理得 ,
即 ，解得 ．
所以直线 的方程为 ．
（3)若直线 的斜率不存在， ；
若直线 的斜率存在，由（2）可得
,
又 ，直线 的斜率为 ， ,
所以 ．
故 ，
令 ，则 ，
故
当 时， , ,
所以 ．
显然， ,
所以 的最小值为2．
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中的最值问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19.已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查集合 交、并、补运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题。
2.若复数 满足 （ 为虚数单位）,则 ______________．
【答案】
【解析】
由 ，得 ，则 ,故答案为 。
3.某工厂为了了解一批产品 净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100件产品中，净重在区间 上的产品件数是．
所以 平面 ，所以 ,
所以 ,
因为 ，所以 .
所以 ,
所以点 就是外接球的球心。
所以外接球的半径为 。
所以外接球的表面积为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查几何体的外接球表面积的计算问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。
10.已知实数 ， 满足条件 ,若不等式 恒成立，则实数 的最大值是__________。
江苏省南通市如皋市2020届高三数学下学期二模考试试题（含解析）
第Ⅰ卷（必做题,共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上。）
1.设全集 ，集合 ， , __________。
【答案】
【解析】
【分析】
先化简集合 ,再求 得解.
【详解】由题得 ,
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 平分 ，所以 ，
所以 ，故 ，
所以 ．
在 中， ， ，所以 ， ,
在 中, ， ，所以 ， ，
在 中， ， ，所以 , ，
所以
,
所以 ，其定义域为 ．
（2）因为 ， ,
．
令 ,得 ，设锐角 满足 ，
列表：
0
极大值
所以当 时, 取得最大值．
答：当 时，四边形 的面积最大．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用,考查利用导数求函数的最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力。
【答案】
【解析】
【分析】
先求出 ，再化简 得 ，再代点到直线的距离公式解不等式得解.
【详解】由题得圆 的圆心 。且 , ,
（其中 是 的夹角）,
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ,
所以 .
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力。
18。如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 : 的焦距为2，且经过点 ，过左焦点 且不与 轴重合的直线 与椭圆 交于点 ， 两点.
（1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 ， ， 的斜率之和为0，求直线 的方程；
（3）设弦 的垂直平分线分别与直线 ，椭圆 的右准线 交于点 ， ，求 的最小值。
【答案】（1） (2） （3）
【答案】
【解析】
【分析】
如图，过点 作 ，设 ，求出 ，再利用基本不等式求最小值得解.
【详解】
过点 作 ，设 ，
由三角函数定义得 .
当且仅当 时取等号。
所以 的最小值为
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数和基本不等式求最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。
二、解答题（本大题共6小题，共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
由题得 ，
三点的高度应满足 或 ,所以 Nhomakorabea ，因为
所以 或 ，
综合得 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数求函数的单调性，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14。在 中，角 , ， 所对的边分别是 ， ， ，若 是边 上的中线，且 ,则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
不妨设点 在 轴上方，先求出点 坐标，再由题得 ，化简即得双曲线的离心率.
【详解】不妨设点 在 轴上方，
联立 得 .
因为 是正三角形，所以 .
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。
7。已知函数 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则 的最小值等于__________。
9.在三棱锥 中， 平面 ， , ,则该三棱锥的外接球 的表面积为__________。
【答案】
【解析】
【分析】
如图，设 的中点为 ，连接 ，证明点 就是外接球的球心。外接球的半径为 ，即得外接球 的表面积。
【详解】
如图，设 的中点为 ，连接 ，由勾股定理得 ，
因为
所以 平面 ，∴ .
因为 平面 ，
【答案】12
【解析】
【分析】
先分析得到等比数列的公比 ,再列方程组解方程组求出首项和公比，再代入 化简即得解。
【详解】因为 ， , 成等差数列。所以等比数列的公比 .
由题得
因为 ，所以
因为 时， ，
时， 。
所以 的最小值为12。
故答案为:12
【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的计算，考查等比数列的通项和前 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
（1)求证: 平面 ;
（2）求证： 。
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1)证明 ， 平面 即得证；（2）取 的中点 ，连校 、 ,
,先证明 面 , 即得证.
【详解】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ．
在三棱柱 中，四边形 是平行四边形,
因为 ，
所以 是 的中点，所以 ．
又 面 ，面 面 ．
【答案】4
【解析】
【分析】
由题得 ，化简即得解.
【详解】由题得 ，
因为 ，所以 的最小值等于4。
故答案为:4
【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
8.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ,且 ， , 成等差数列,则满足不等式 的 的最小值为__________。
【解析】
【分析】
（1）根据已知求出 的值,即得椭圆的 的方程；(2）设直线 ： ， ，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理,根据直线 , ， 的斜率之和为0，求出 ，即得直线的方程；（3）直线 的斜率不存在时， ；直线 的斜率存在时,求出 .即得解.
【详解】（1）因为椭圆 的焦距为2，所以椭圆 的焦点为 ，
【答案】55
【解析】
试题分析：产品净重在区[100，104]上的频率为
（0.15+0.125)×2=0.55，所以产品数为
100×0。55=55;
考点:1.频率分布直方图;
4.某医院欲从积极扱名的甲、乙、丙、丁4名医生中选择2人去支援武汉抗击“新型冠状病毒”，若毎名医生被选择的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被选择的概率为__________.
所以 平面 ．
（2)取 的中点 ，连接 、 ．
囚为 ， ．所以 是正三角形， ．
因为 是 的中点，所以 ．
因为 ， 是 的中点，所以 ．
又 ， ， 面 ，
所以 面 ．
因为 面 ，
所以 ．
【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象分析推理能力。
17。现有一块废弃的半圆形钢板,其右下角一小部分因生锈无法使用，其形状如图所示，已知该钢板的圆心为 ，线段 为其下沿,且 , .现欲从中截取一个四边形 ，其要求如下:点 ， 均在圆弧上， 平分 ,且 ，垂足 在边 上。设 ，四边形 的面积为 。
5.执行下边的伪代码后，输出的结果是__________。
【答案】7
【解析】
【分析】
直接模拟运行程序即得解。
【详解】由题得：0＜27， ,
不满足 ,输出： .
故答案为:7
【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.
6.在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： 的左，右焦点分别为 ， ，设过右焦点 且与 轴垂直的直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点，若 是正三角形，则双曲线 的离心率为__________。
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
（2）若函数 在定义域上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）设函数 在区间 )上存在极值，求证: .
【答案】（1） （2） 或 （3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数求函数 在 处的切线方程；（2)对 分 两种情况讨论,当 时，再分三种情况结合导数分类讨论;（3）先求出 ，要使得 在 上存在极值，则须满足 即 分析推理即可得到 .
【详解】（1）当 时, ， ， ， ,
所以函数 在 处得切线方程为 ．
(2）因为 ， ， ，
所以 ．
①若 ，则 ， 在 上是单调增函数,
所以 在 上至多一个零点，与题意不符合．
②若 ，令 ，得 ．
0
极小值
（ⅰ）若 ,即 时， 有且仅有一个零点 ，与题意不符．
（ⅱ）若 ,即 时， , ,
又 ,且 的图像在 上不间断，
所以 ，即 ，
整理得 ，所以 ,
又 ，故 .
（2）在 中, , ， ，
由余弦定理得 ，
得 ，故
由正弦定理 得 ，解得 .
因为 ，故 ， ，
所以 .
所以 。
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16.在三棱柱 中， ， ，且 ， 为 的中点.
(1）求 关于 的函数解析式，并写出其定义域;
(2）当 为何值时,四边形 的面积最大？
【答案】（1） ，其定义域为 （2）
【解析】
【分析】
（1）连接 ,取 的中点 ， 的中点 ,连接 ， ．根据 ，求出 关于 的函数解析式，并写出其定义域；（2)利用导数求函数 的最值即得解。
【详解】（1）连接 ，取 的中点 ， 的中点 ,连接 ， ．
【详解】
如图, 四点共圆, 为圆的直径.
设 ，所以 ,由相交弦定理得 ，
在直角△ 中，由勾股定理得 ，
在△ 中，由余弦定理得 。
因为 ,
所以 ，
又 ,所以 。
所以 。
故答案为:
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查平面几何圆的知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12。在平面直角坐标系 中,已知 在圆 : 上运动,且 。若直线 ： 上的任意一点 都满足 ，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先作出不等式组对应的可行域，如图所示，求出 ，化简已知得 恒成立，再换元利用导数求函数的最值即得解.
【详解】
作出不等式组对应的可行域,如图所示，
联立 得 ，
所以 。
因为不等式 恒成立，
所以 恒成立,
设 ， 恒成立,
设 ,
所以函数 在 单调递减， 单调递增.
所以 .
所以 .
故答案为：
15。在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ,已知 .
（1）求角 的大小;
（2）若 , ,求 的值.
【答案】（1) （2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简 得 ,即得角 的大小；（2）由余弦定理得 ,由正弦定理得 ， ，即得 的值。
【详解】(1）因为 ，根据正弦定理 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
【点睛】本题主要考查线性规划求最值，考查利用导数求函数的最值,考查不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。
11.如图，在四边形 中,对角线 与 相交于点 。已知 ， ， ，且 是 的中点，若 ,则 的值为__________。
【答案】
【解析】
【分析】
如图，设 ，先求出 ,再根据 得到 ，再求 的值得解。
13。已知函数 ，若存在实数 ，使得函数 有6个零点,则实数 的取值范围为__________。
【答案】
【解析】
【分析】
先作出函数的图象，由题得 ， 三点的高度应满足 或 ，所以 或 ，解不等式即得解.
【详解】
由题得函数 的图象和直线 有六个交点.显然有 。
，( )，
所以函数在 单调递减,在 单调递增，且 .
【答案】
【解析】
【分析】
先求出甲乙都不被选择的概率，再利用对立事件的概率求解即可.
【详解】由题得甲乙都不被选择的概率为 ，
由对立事件的概率公式得甲、乙2人中至少有1人被选择的概率为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查对立事件的概率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.