内蒙古赤峰二中2019届高三上学期第二次月考数学(理)试卷(含答案)

赤峰二中月考数学试题
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 2. 若集合
，集合
，则 “
”是“的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 3.已知函数，则
（ ） A. 在
上递增 B. 在
上递减 C.在
上递增 D.在
上递减
5．若实数x ，y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则23x y
z +=的最小值为 （ ）
A ．0
B ．1
C D ．9
6.如果函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图像关于直线3
2π
=
x 对称，那么ϕ的最小值为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2
π 7.“珠算之父”程大位是我国明代伟大数学家,他的应用数学巨著《算法统综》的问世,标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节四升五,上梢三节贮两升五,唯有中间三节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”（［注释］四升五：4.5升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间三节的容积为（ ） A. 3升 B. 3.25升 C.3.5 升 D. 3.75升
8.已知定义在上的奇函数满足
，当时
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
10． 如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A B 、，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）
A. 5
B. 6
C.
16
3
D. 203
11．直线与曲线有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是
A ．
B ．或
C ．
D ．
12．对任意的实数x ，都存在两个不同的实数y ，使得()20x
y x e y x ae ---=成立，则实数a 的取
值范围为 ( ) A. 10,
2e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,2e ⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭ C. 1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 1,12e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D
C
B
A
P
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数
的定义域是
，则函数
的定义域为________．
14.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是 15.设集合}1624
1
|
{<<=x x A ,)}3ln(|{2x x y x B -==,从集合A 中任取一个元素,则这个元素也是集合B 中元素的概率是
16．已知四面体ABCD 的棱AB=CD=3,AD=BC=4,BD=AC=5,则此四面体外接球的表面积 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17——21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分
17.（本题满分12分）为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民25人，女性市民75人进行调查，得到以下的22⨯列联表：
（1）根据以上数据，能否有97.5%的把握认为市民“支持政策”与“性别”有关？
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的4位市民中持“支持”态度的人数为X,求X 的分布列及数学期望。

附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a
c b
d -=++++.
18.（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且1PA AD ==，2AB =，
120,90PAB PBC ︒︒∠=∠=，
（Ⅰ）平面PAD 与平面PAB 是否垂直？并说明理由；
（Ⅱ）求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值．
19.（本题满分12分）已知c b a ,,分别是ABC ∆内角C B A ,,的对边，且满足
()()B c C B A a c b sin sin sin sin =++-+.
（1）求角A 的大小；
（2）设32=a ，S 为ABC ∆的面积，求C B S cos cos 34+的最大值.
20.（本题满分12分）设函数()()2
1f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <
（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）证明：()2122
4
In f x ->
21.（本题满分12分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的离心率为21，且椭圆过点（1，2
3）
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 是圆722
=+y x
上任一点，由P 引椭圆两条切线PA,PB.当切线斜率
在时，求证两条斜率的积为定值。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.【选修4——4：坐标系与参数方程】（本题满分10分）
在直角坐标系
中，直线的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==t y t x 2222
2
(t 为参数），若以原点
为极点,轴正
半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为
，设
是圆
上任一点，连结
并延长到，使OM MQ 2=.
(1) 求点
轨迹的直角坐标方程；
(2) 若直线与点
轨迹相交于
两点，点
的直角坐标为
，求
的值.
23.【选修4——5：不等式选讲】（本题满分10分） 已知关于的不等式m m x x 23≥+++的解集为R ． （1）求实数m 的取值范围；
（2）已知0,0,0>>>c b a 且m c b a =++，当m 最大时，求22232c b a ++的最小值及此时实数
c b a ,,的值．
赤峰二中月考数学理科答案
1. B
2.A
3.D
4.A
5.B
6.A
7.C
8.C
9.A 10.C 11.B 12.A 13.[
]4
,2 14.32π 15.2
1 16.π25 17（Ⅰ）由列联表可得
024.5556.575
254060)5403520(100))()()(()(2
2>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n k
而P （024.52>k ）=0.025
所以有97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关. ┄┄┄┄┄5分 （2） ①由22⨯列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为
603
1005
=，将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为35
.┄┄┄┄┄6分 由于总体容量很大，故X 可视作服从二项分布，即X ：B(4,5
3)，
所以3332()()()(0,1,2,3)55k k k
P X k C k -===. ┄┄┄┄┄8分
)4,3,2,1,0()5
2()53()(44===-k C k X P k
k k
从而X 的分布列为：
┄┄┄┄┄10分
X 的数学期望为5
12
534)(=⨯
=X E ┄┄┄┄┄12分 18【解析】（I ）平面PAD ⊥平面PAB ； ………………1分
证明：由题意得AD AB ⊥且//AD BC
又BC PB ⊥，则DA PB ⊥ …………………………3分 则DA ⊥平面PAB , ………………5分
故平面PAD ⊥平面PAB ………………6分 （Ⅱ）以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为ｙ轴建立 空间直角坐标系如右图示，则(0,0,1)D ,(0,2,1)C
,1
,0)2
P - 可得35(,1)2CP =--, 7分 平面ABCD 的单位法向量为(1,0,0)m =， ……………………………………9分 设直线PC
与平面ABCD 所成角为θ
，则
cos()2||||m CP m CP
πθ⋅-===⋅
………11分 则sin θPC 与平面ABCD 所成角的正弦值……………………………12分 19
（1） ()()B c C B A a c b sin sin sin sin =++-+
∴根据正弦定理，知()()bc c b a a c b =++-+，即bc a c b -=-+222
∴由余弦定理，得2
1
2cos 222-=-+=bc a c b A .又()π,0∈A ，所以32π=
A . （2）根据32=a ，3
2π=A 及正弦定理可得4
2
33
2sin sin sin ====A a C c B b ， C c B b sin 4,sin 4==∴.C B C B A bc S sin sin 342
3sin 4sin 421sin 21=⨯⨯⨯==∴
∴()C B C B C B C B S -=+=+cos 34cos cos 34sin sin 34cos cos 34
故当⎪⎩
⎪⎨⎧=+=3π
C B C B ，即6π==C B 时，C B S cos cos 34+取得最大值34.
20【答案】：（Ⅰ）因为()222ƒ'1)1
x x a x x x ++=>-+，（，设()2
22(1)g x x x a x =++>-，
依题意知()1
12
{10 102g g -
>-->⎛⎫-< ⎪⎝⎭
得102a <<，所以a 的取值范围是
1
0,)2
（ 由()ƒ'0x >得121x x x x -<或，由()ƒ'0x <得12x x x <<，
所以函数的单调递增区间为
11,)x -（和()2,x +∞，单调递减区间()1,2x x ， 其中，
12x x ==且10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知21
2
x =
，设()(
)
)
2
214
h a f x a ==
+
(
)
11
'ln 02h a +=
=<=
所以()h a 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭递减，又()h a 在12a =处连续，所以()112ln224h a h -⎛⎫>= ⎪⎝⎭
，
即()212ln2
4
f x －＞
. 21（1）22
143
x y +=；设圆上任一
22
2
404,24042436)622222)2(36
)6cos 12,cos 43
1
)
,3
1
(),,()1(21212122222=+=+∴>==+=+-=+-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==
=+-==∴t t PB PA t t t t t t y x t y t x y x M Q 得
带入（把（的方程为化为平面直角坐标系下即点坐标设θρθρθρθρ
23【解析】（1）因为，
当或时取等号，令
，两边同时平方可得
，
即
，解得
，所以实数的取值范围为
．
（2）由（1）知
，
由柯西不等式，可得，1)()32)(3
1211(2222
=++≥++++
c b a b b a 所以11
6
322
22≥
++c b a ，当且仅当c b a 32==且时等号成立， 易得112,113,116===c b a 时，22232c b a ++取得最小值为11
6
．。