【数学】河北省邯郸市2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题文

【关键字】数学
河北省邯郸市2017届高三数学下学期第一次模拟考试试题文
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，若，则
A．B．C．D．
2.设，为虚数单位，当时，
A．B．C．D．
3.已知向量，满足，,，则与的夹角为
A．B．C．D．
4.《九章算术》在研究比率方面应用十分丰富，其中有著名的“米谷粒分”问题：粮仓收粮，粮农送来米1520石，为验其米内夹谷，随机取米一把，数得144粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为A．170石B．180石C．190石D．200石
5.已知三角形的三个内角成等差数列,边上的中线，，则三角形的面积为
A．B．C．D．
6.执行如图所示的程序框图,则输出的值为
A．8 B．13 C．21 D．34
7.函数的部分图象大致为
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
B．
C．
D．
9.设是公差为2的等差数列，，若为等比数列，则
A．142 B．124 C．128 D．144
10.已知函数，若，，则的取值范围是
A．B．C．D．
11.已知点，点是双曲线的右支上任意一点，若的最小值为，则满足条件的点个数是A．B．C．D．
12.已知棱长为的正四面体（四个面都是正三角形），在侧棱上任取一点（与都不重合），若点到平面
及平面的距离分别为，则的最小值为 A ． B ． C ． D ． 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.已知函数，则 ____________.
14.已知圆与轴相切，且圆的圆心在直线上，并且在轴上截得的弦长为，则圆的标准方程为_________ _________.
15.已知三个命题中只有一个是真命题．课堂上老师给出了三个判断： A ：是真命题；B ：是假命题；C ：是真命题．
老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的．那么三个命题中的真命题是_________． 16.设,且为偶函数, 为奇函数，若存在整数,当时，不等式恒成立,则的最小值为___________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）
已知为数列的前项和， 且，（是非零常数）. （Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，当时，求数列的前项和. 18. （本小题满分12分）
某校为指导学生合理选择文理科的学习，根据数理综合测评成绩，按6分为满分进行折算。

若学生成绩小于m 分则建议选择文科，不低于m 分则建议选择理科（这部分学生称为候选理科生）。

现从该校高一随机抽取500名学生的数理综合成绩作为样本，整理得到分数的频率分布直方图（如图所示）：
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）根据此次测评，为使％以上的学生选择理科，整数至少定为多少； （Ⅲ）若，试估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩？（精确到） 19. （本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，，分别在线段，上，且. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积. 20. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(1)1O x y ++=和22
2:(1)9O x y -+=，动圆P 与圆1O 外
切，与圆2O 内切.
（Ⅰ）求圆心P 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）过(2,0)A -作两条互相垂直的直线12,l l 分别交曲线E 于,M N 两点.设1l 的斜率为
,(0)k k >,AMN ∆的面积为S ,求
S
k
的取值范围. 21．（本小题满分12分） 已知函数2
1()ln 2
f x x ax x m =+
--（m Z ∈） （Ⅰ）若()f x 是增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若0a <，且()0f x <恒成立，求m 最小值.
请考生从22、23题中任选一题做答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所图题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22. （本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ，2C 极坐标方程分别为2sin ρθ=
，cos 4πρθ⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
（Ⅰ）求1C 和2C 交点的极坐标；
（II ）直线l
的参数方程为：212
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数），l 与x 轴的交点为P ，且与1C 交于,A B 两点，求PA PB +.
23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()2f x ax =-.
（Ⅰ）当2a =时，解不等式()1f x x >+； （II ）若关于x 的不等式1
()()f x f x m
+-<
有实数解，求m 的取值范围. 2017年邯郸一模文科数学答案
一、选择题
1—5 B A C C C 6—10 B C A B A 11—12 C D
二、填空题 13. 32
-
14.2222
(2)(1)4(2)(1)4x y x y -+-=+++=或 15. m 16. 1 三 、解答题
17. 解：（Ⅰ）当2n ≥时，
2n n S a λ=-.① 112n n S a λ--=- ② ……………2分
①- ②可得12n n a a -=(2)n ≥……………3分
当1n =时，1a λ= ……………4分
故数列{}n a 的通项公式为1
2n n a λ-=. ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1
2n n a -=，故()21(1)n
n n b n =+--,记数列{}n b 的前2n 项和为2n T
记12
2222n A =++
+，01234(21)B n =+-+-++-，
则2212(12)
2212
n n A +-=
=--， ……………8分 [](01)(23)(22)(21)B n n n =++-++
+--+-=. ……………10分
故数列{}n b 的前2n 项和21
22
2n n T A B n +=+=+-. ……………12分 18. 解：（Ⅰ）
0.15110.30110.1511t t ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得
0.2t =……….2分。

（Ⅱ）0.150.20.30.80.150.20.30.2++<<+++，满足条件的m 值为2…………5分
（Ⅲ）
4.50.21500
5.50.151500
4.930.215000.151500
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈⨯⨯+⨯⨯………
…………………….12分 19. 解一：（Ⅰ）证明：在
PB 上取一点Q ，使得
4PQ QB =，连接,AQ QN ，………1分
因为
4PN PQ
NC QB
==，所以//QN BC 且QN AM =， 所以四边形AMNQ 为平行四边形......4分
Q
所以//AQ MN ，又因为AQ PAB ⊂平面，MN PAB ⊄平面，所以//MN APB 平面…6分
（Ⅱ）P AMN N PAM V V --= 4
5
C PAM V -=
………8分 PAM S ∆=10 ……10分
P AMN V -44111232
45553255
C PAM V -==⨯⨯⨯⨯⨯= ………12分
解二：（Ⅰ）证明：在AC 上取一点Q ，使得4AQ QC =，连接,MQ QN ，…1分
因为
4PN AQ NC QC
==，所以//QN AP ， 同理////QM CD AB ,
又因为,AB PAB PA PAB ⊂⊂平面平面， 所以//PAB MNQ 平面平面,......4分
又因为MN MNQ ⊂平面，MN PAB ⊄平面，所以//MN PAB 平面。

……6分 （Ⅱ）连接MC
P AMN P AMC N AMC V V V ---=- ………8分
因为45MQ AB =
，所以245
AMC S ∆= ……10分 12412432
5135355
P AMN V -=⨯⨯-⨯⨯= ………12分
20. 解: （Ⅰ）设动圆P 的半径为r ,则1||1PO r =+,2||3PO r =-,
所以12||||4PO PO +=, ………3分 所以P 的轨迹为椭圆, 24,22a c ==,所以2,1,3a c b ===
,所以椭圆的方程为
22
1(2)43
x y x +=≠-. ………5分 （Ⅱ）设M 点坐标为00(,)x y ,直线1l 的方程为(2)y k x =+,代入22
143
x y +=, Q
可得, 2
2
2
2
(34)1616120k x k x k +++-=
2021612(2)34k x k -⨯-=+,所以2
026834k x k -=+， ……7分
所以2268||(2)34k AM k -=+=+
同理||AN = ………8分
所以11||||22S AM AN =⨯= 22272(1)
(34)(43)
S k k k k +=++ ……10分
令2
11k t +=> 所以
(0,6)S
k
∈ …12分 21．解：（Ⅰ）/1
()1f x ax x
=+-， …1分 依题设可得max 211
()a x
x
≥-
， ………2分 而22111111
()244
x x x -=--+≤，当2x =时，等号成立。

………4分 所以a 的取值范围是1
[,)4
+∞ ………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知/
1
()1f x ax x
=+-=21ax x x -+
设2
()1g x ax x =-+，则(0)10g =>，(1)0g a =<
211
()()124g x a x a a
=-
+-
在(0,)+∞内单调递减。

因此()g x 在(0,1)内有唯一的解0x ，使得2
001ax x =- ………7分
而且当00x x <<时，/
()0f x >，当0x x >时，/
()0f x < ………8分
所以2
00001()()ln 2
f x f x x ax x m ≤=+
--
0011
ln 22
x x m =--- ………10分
设11()ln 22r x x x m =---，则/112()022x
r x x x
-=-=>，
所以()r x 在(0,1)内单调递增。

所以()(1)1r x r m <=--
由已知可知10m --≤,所以1m ≥-，即m 最小值为1- ………12分 22. 解：（Ⅰ）（方法一）由1C ，2C 极坐标方程分别为2sin ρθ=
，cos 4πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭’
化为平面直角坐标系方程分为()2
211,20x y x y +-=+-=。

………1分 得交点坐标为()()0,2,1,1。

………3分 即1C 和2C
交点的极坐标分别为2,
24ππ⎛
⎫⎫ ⎪⎪⎝
⎭⎭
. ………5分
（方法二）解方程组2sin (1)cos (2)
4ρθ
πρθ=⎧⎪
⎨⎛
⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩
所以2sin cos 4πθθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
， ………1分
化解得cos 2sin 04πθ
θ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，即24ππθθ==或， ………
3分
所以1C 和2C 交点的极坐表分别为2,
24ππ⎛
⎫⎫
⎪⎪⎝
⎭⎭
. ………5分
（II ）（方法一）由直线l 的参数方程为：212
x y t ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩ （
t 为参数）， 可得(3
y x =
+， ………6分 由圆的方程为()
2
211,x y
+-=联立解得13
(),,)2
222
A -
………8分 因为(P
，所以4PA PB +==.
………10分
（方法二）把直线l
的参数方程：
1
2
x
y t
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t为参数），代入()2
211,
x y
+-=
得
22
1
11
2
t
⎛⎫⎛⎫
+-=
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，………7分即2430
t t
-+=，
12
4
t t+=，………9分
所以4
PA PB
+=. ………10分23. 解：（Ⅰ）221
x x
->+
当1
x≥时221
x x
->+得3
x>………2分当1,221
x x x
<->+得
1
3
x<………3分
综上所述，解集为
1
,(3,)
3
⎛⎫
-∞+∞
⎪
⎝⎭
………5分（II）22224
ax ax ax ax
-+--≥---=………7分
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