三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：导数的几何意义、定积分与微积分基本定理

第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理

2019年

1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e x

y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．

1.解析：因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31x y x x =++（）， 所以当0x =时，'3y =，所以23e x y x x =+（）在点00（，）

处的切线斜率3k =， 又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =．

2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）

处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-，

B ．a=e ，b =1

C ．1e 1a b -==，

D ．1e a -= ，1b =- 2.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++，

又函数e ln x

y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+，

可得e 012a ++=，解得1e a -=，

又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-．故选D ．

2017、2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为

A ．2y x =-

B ．y x =-

C ．2y x =

D ．y x = D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以()()-=-f x f x ，

所以3232

()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ， 因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，

所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．

优解一 因为函数32

()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，

所以2

()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．

优解二 易知322

()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以 3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．

二、填空题

14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________． 2=y x 【解析】∵2ln(1)=+y x ，∴21

y x '=+．当0x =时，2y '=， ∴曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即2=y x ．

15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)x

y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a =____． 3-【解析】(1)x y ax a e '=++，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2-， 得00(1)12x x x y ax a e a =='=++=+=-，所以3a =-．

三、解答题

34．（2017北京）已知函数()cos x f x e x x =-．

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,

]2π上的最大值和最小值． 【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=．

又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．

（Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则

()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-．

当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，

所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减． 所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<． 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．

因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-．