高中数学 必修四 2.1平面向量的实际背景及基本概念学案 新人教A版必修4

第2章 平面向量2.1 向量的概念及表示
1. 预习目标
(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等概念；
(2)掌握向量的表示方法；
(3)能在图形中辨认共线向量与相等向量，能用有向线段表示已知向量．
2. 预习提纲
(1)复习物理中位移、速度、力和几何中有向线段等概念，理解平面向量的含义．
(2)阅读课本P57-58,思考下列内容：
①向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．
②向量的表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向
线段的方向表示向量的方向．符号AB 表示以A 为起点，B 为终点的向量．向量也可以用小
写字母a ，b ，c
等表示．
③向量的模：向量AB 的大小称为向量的长度或向量的模，记作|AB |．
④向量的其他概念及表示方法．
3. 典型例题
(1) 向量的有关概念
例1 给出下列命题： ①若a =b ，则a b =；②若a <b ，则a b <；③若a =b ，则a ∥b ；
④若a ∥b ，则a =b ；⑤若a =0，则a =0；⑥若a =b ，则a =b ．
其中正确命题的序号是 ．
分析：解答本题可借助于相等向量、共线向量的概念等基本知识逐一进行判断．
解：由相等向量定义可知，若a =b ，则a ，b 的模相等，方向相同，故①不正确，⑥正
确． a <b 知模的大小，而不能确定方向，故②不正确．
共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线，共线向量不一定相等，故
③正确，④不正确．
零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数字0，故⑤不正确．
所以答案为③⑥．
点评：此类题目关键是理解、区分向量的有关概念，从向量的长度与方向两方面认识向量，
可举特例选择．
(2) 共线向量与相等向量
方向相同或相反的的非零向量为平行向量，零向量与任意向量平行．在图形中要能识别
共线向量与相等向量．
例2 如图：EF 是△ABC 的中位线，AD 是△ABC 的BC 边上的中线，以A 、B 、C 、D 、E 、F 为
端点的有向线段表示的向量中
(1)与向量共线的向量有哪几个？请分别写出这些向量；
(2)与向量DF 的模一定相等的向量有哪几个？请写出这些向量；
(3)写出与向量DE 相等的向量．
分析：根据共线向量与相等向量的定义即可解决．
解：(1)与共线的向量有7个，它们分别是； (2)与向量的模一定相等的向量有5个，它们分别是，； (3)如图，DE ==FA .
(3) 向量的应用
例3 若AB AD =且BA CD =，判断四边形ABCD 的形状.
分析：先由BA CD =得出四边形为平行四边形，再由AB AD =得出结论．
解：由BA CD =知BA ∥CD 且BA =CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形， 又因为AB AD =，所以四边形ABCD 为菱形． 点评：BA CD =隐含BA ∥CD 与BA =CD 两方面，一般，判断四边形的形状需要判断对
边与邻边的关系．
4. 自我检测
(1) 判断下列说法是否正确： ①若两个向量相等，则它们的起点和终点重合；
②若a 、b 都是单位向量，则a b =；
③物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量； ④不相等的向量一定不平行；
⑤若a 平行b ，b 平行c ，则a 平行c ；
⑥零向量没有方向；
⑦零向量与任何向量都平行；
⑧零向量的方向是任意的； ⑨向量AB 与向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；
⑩有向线段就是向量，向量就是有向线段．
(2) 思考讨论：
①所有的单位向量都相等吗？
②AB ∥CD 与AB ∥CD 一样吗？
③向量、能不能用不等号将它们连接起来？即能表示为＞或＜吗？
三、课后巩固练习
A组
1．给出下列命题：
①向量AB的长度与向量BA的长度相等；
②若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量.
其中，正确命题的个数是．
2．以下各物理量：速度、位移、力、功，不能称之为向量的是．
3．向量OE的长度记作_____；0的模是_____，i是单位向量，则||i的值是____．
a )平行的向量中，不相等的单位向量有_____个．
4．与非零向量a(1
5．已知a、b为不共线的非零向量，且存在向量c，使c∥a，c∥b，则c=_______．6．在直角坐标系中，已知OP=2，则点P构成的图形是_______．
7．如图在正六边形ABCDEF中，Ｏ为中心，
(1)与OF相等的向量有；
(2)与DC共线的向量有；
(3)与BA的模相等且反向的向量有．
8．直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)，(5，2)，试画出两个与向量AB不相等且又共线的向量．
B组
9.在直角坐标系中，画出向量a：a=5，a的方向与x轴正向的夹角是30°，与y轴正方向的夹角是120°．
10. 如图，D、E、F分别是△A BC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形．分别写出：
(1)与共线的向量；
(2)与共线的向量；
(3)与相等的向量；
(4)与FE相等的向量．
11. 一架飞机从A 点向西北飞行200km 到达B 点，再从B 点向东飞行到达C 点，
再从C 点向东偏南30°飞行了km 到达D 点．问D 点在A 点的什么方向，距A 点有多远？
12．右图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法，
如图，马可从A 跳到A 1，也可跳到A 2，用向量12,AA AA 表示马走
了“一步”，试在图中画出马在B ,C 处走“一步”的所有情况．
13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位
置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位
于(2，1)时，OP 的坐标为 ．。