2025届江苏省海门市城北初级中学八年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2025届江苏省海门市城北初级中学八年级数学第一学期期末学
业质量监测模拟试题
业质量监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．若a b >，则（ ）
A ．a c b c +>-
B ．||||a m b m >
C ．1a b -
D ．2211a b n n
>++ 2．直线y kx =过点(,)A m n ，(34)B m n -+，，则k 的值是（ ）
A ．43
B ．43-
C ．34
D ．34
- 3．已知，如图，在△ABC 中，∠CAD=∠EAD ，∠ADC=∠ADE ，CB=5cm ，BD=3cm ，则ED 的长为（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．5cm
D ．8cm
4．对于所有实数a ，b ，下列等式总能成立的是（ ）
A ．2b a b a =+
B 22222(b a b )a +=+
C 22b a b a +=+
D 2(b)a b a +=+ 52x -x 的取值范围（ ）
A ．x≥2
B ．x≤2
C ．x ＞2
D ．x ＜2
6．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
7．正方形的面积为6，则正方形的边长为（ ）
A ．2
B ．6
C ．2
D ．4
8．下列各组数中，勾股数的是（ ）
A ．6，8，12
B ．0.3，0.4，0.5
C ．,,
D ．5，12，13 9．若分式方程
233x m x x +=++无解，则m 的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．3
10．如图，在菱形纸片ABCD 中，60A ∠=︒，点E 是边BC 上的一点，将纸片沿DE 折叠，点C 落在C '处，DC '恰好经过AB 的中点P ，则DEC ∠的度数是（ ）
A ．75︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．78︒
11．若三角形的两边分别是4cm 和5cm ，则第三边长可能是（ ）
A ．1cm
B ．4cm
C ．9cm
D ．10cm
12．500米口径球面射电望远镜，简称FAST ，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．2018年4月18日，FAST 望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（ ）
A ．5.19×10-2
B ．5.19×10-3
C ．5.19×10-4
D ．51.9×10-3
二、填空题（每题4分，共24分）
13．分解因式：29ax a -=___________．
14．已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2 ）是函数y ＝﹣2x +1图象上的两个点，若x 1＜x 2，则y 1﹣y 2_____0（填“＞”、“＜”或“＝”）．
15．如图，等边△ABC 的周长为18cm ，BD 为AC 边上的中线，动点P ，Q 分别在线段BC ，BD 上运动，连接CQ ，PQ ，当BP 长为_____cm 时，线段CQ +PQ 的和为最小．
16．如图，已知线段4AB =，O 是AB 的中点，直线l 经过点O ，160∠=，P 点是
直线l 上一点，当APB ∆为直角三角形时，则BP =_____．
17．已知222233+=，333388+=，44441515
+=，…，若99a a b b +=（a ，b 均为实数），则根据以上规律ab 的值为__________．
18．若一组数据2,3,4,5,x 的方差与另一组数据5,6,7,8,9的方差相等,则x=
_______________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，90E F ∠=∠=，B C ∠=∠，AE AF =，请你判断ACN ABM ≌是否成立，并说明理由．
20．（8分）如图，等边△ABC 的边长为12cm ，点P 、Q 分别是边BC 、CA 上的动点，点P 、Q 分别从顶点B 、C 同时出发，且它们的速度都为3cm/s ．
（1）如图1，连接PQ ，求经过多少秒后，△PCQ 是直角三角形；
（2）如图2，连接AP 、BQ 交于点M ，在点P 、Q 运动的过程中，∠AMQ 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．
21．（8分）如图，函数13
y x b =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与函数y x =
的图像交于点M，点M的横坐标为3．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一动点(),0
P a．
①若三角形ABP是以AB为底边的等腰三角形，求a的值；
②过点P作x轴的垂线，分别交函数
1
3
y x b
=-+和y x
=的图像于点C、D，若
2
DC CP
=，求a的值．
22．（10分）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
23．（10分）如图，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C．
（1）求证：AB＝AC；
（2）连接BC，求证：AD⊥BC．
24．（10分）下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2-4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2-4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．
A ．提取公因式
B ．平方差公式
C ．两数和的完全平方公式
D ．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2-2x ）（x 2-2x+2）+1进行因式分解．
25．（12分）已知8a -的平方根是5±，3是b 的算术平方根，求ab 的立方根．
26．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．
（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．
（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．
（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：A 、当c 为负数时，a c b c +>-不成立，故A 错误；
B.、当m=0时，||||a m b m >不成立，故B 错误；
C 、由a b >不能得出1a b -≥，故C 错误；
D 、因为210n +>，所以
22
11a b n n >++，故D 正确， 故答案为：D ．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟知不等式的基本性质．
2、B
【分析】分别将点()A m n ，，(34)B m n -+，代入即可计算解答．
【详解】解：分别将点()A m n ，，(34)B m n -+，代入y kx =， 得：(3)4
mk n m k n =⎧⎨-=+⎩，解得43k =-， 故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，将点的坐标代入解析式解方程是解题的关
键．
3、A
【解析】根据ASA 得到△ACD ≌△AED,再利用全等三角形的性质得到DE=CD 即可求出.
【详解】解：∵∠CAD=∠EAD ，AD=AD, ∠ADC=∠ADE ，
∴△ACD ≌△AED ，
∴DE=CD=BC-BD=5-3=2，
故选A.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质, 主要考查学生运用定理和性质进行推理的能力，题目比较好，难度适中．
4、B
【详解】解：A 、错误，∵2=+a b +
B 、正确，因为a 2+b 2≥0a 2+b 2；
C
D =|a +b |，其结果a+b 的符号不能确定．
故选B ．
5、A
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x 的取值范围．
∴x−2≥0，解得x≥2.
故答案选A.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 6、C
【详解】∵一个正多边形的一个外角为36°
， ∴这个正多边形的边数是360÷36=10，
故选C
7、B
【分析】根据正方形面积的求法即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积为6，
∴正方形的边长为6．
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根，正方形的面积，解此题的关键是求出6的算术平方根．
8、D
【解析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．
【详解】A、∵52+42≠62，∴这组数不是勾股数；
B、∵0.32+0.42=0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；
C、∵,,是无理数，∴这组数不是勾股数；
D、∵52+122=132，∴这组数是勾股数．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
9、A
【分析】
【详解】两边同乘以(x+3)得：x+2=m，x=m-2，
∵方程无解
∴x+3=0，即m-2+3=0，
∴m=-1，
故选A.
10、A
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C ＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【详解】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△ABD 为等边三角形，∠ADC ＝120°，∠C ＝60°，
∵P 为AB 的中点，
∴DP 为∠ADB 的平分线，即∠ADP ＝∠BDP ＝30°，
∴∠PDC ＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE ＝∠PDE ＝45°，
在△DEC 中，∠DEC ＝180°−（∠CDE ＋∠C ）＝180°−（45°＋60°）＝75°． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了折叠问题，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
11、B
【分析】根据三角形的三边关系，求出第三边的取值范围，然后得到可能的值．
【详解】解：∵三角形的两边分别是4cm 和5cm ，
设第三边为x ，则有
5454x -<<+，
∴19x <<，
∴第三边可能为：4cm ；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系进行解题． 12、B
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×
10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00519=5.19×
10-1． 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×
10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、a(x+3)(x-3)
【详解】解：()
()()229933.ax a a x a x x -=-=+- 故答案为()()33.a x x +-
14、＞．
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x 1＜x 1，即可得出结论．
【详解】∵一次函数y ＝﹣1x +1中，k ＝﹣1＜0，
∴y 随着x 的增大而减小．
∵点A （x 1，y 1）、B （x 1，y 1 ）是函数y ＝﹣1x +1图象上的两个点，且x 1＜x 1， ∴y 1＞y 1．
∴y 1﹣y 1＞0，
故答案为：＞．
【点睛】
本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性，是解题的关键．
15、1．
【分析】连接AQ ，依据等边三角形的性质，即可得到CQ ＝AQ ，依据当A ，Q ，P 三点共线，且AP ⊥BC 时，AQ+PQ 的最小值为线段AP 的长，即可得到BP 的长．
【详解】如图，连接AQ ，
∵等边△ABC 中，BD 为AC 边上的中线，
∴BD 垂直平分AC ，
∴CQ ＝AQ ，
∴CQ+PQ ＝AQ+PQ ，
∴当A ，Q ，P 三点共线，且AP ⊥BC 时，AQ+PQ 的最小值为线段AP 的长， 此时，P 为BC 的中点，
又∵等边△ABC 的周长为18cm ，
∴BP ＝12BC ＝12
×6＝1cm ， 故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，
结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16、2或23或27．
【分析】分90APB ∠=、90PAB ∠=、90PBA ∠=三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】解：如图：
∵2AO OB ==，160∠=
∴当2BP =时，90APB ∠=，
当90PAB ∠=时，∵60AOP ∠=，
∴tan 23AP OA AOP =⋅∠=， ∴2227BP AB AP +=
当90PBA ∠=时，∵60AOP ∠=，
∴tan 123BP OB =⋅∠=
故答案为2或327
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．
17、12522221+-23331+-24441+-，…，29991
+-a b 、的值，从而求得结论．
=
=
=，…，
=，
= ∴9a =，29180b =-=，
==
故答案为：
【点睛】
本题主要考查的是二次根式的混合运算以及归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．
18、1或1
【解析】∵一组数据2，3，4，5，x 的方差与另一组数据5，1，7，8，9的方差相等，
∴这组数据可能是2，3，4，5，1或1，2，3，4，5，
∴x=1或1，
故答案是：1或1．
三、解答题（共78分）
19、成立，证明见解析
【分析】先根据全等三角形的判定定理求出△AEB ≌△AFC ，根据全等三角形的性质定理得出AC=AB ，求出∠AMB=∠ANC ，根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】解：成立，
理由如下：
∵在△AEB 和△AFC 中，
B=C E=F AE=AF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△AEB ≌△AFC （AAS ），
∴AC=AB ，
∵∠C+∠CDM=∠AMB ，∠B+∠BDN=∠ANC ，∠C=∠B ，∠CDM=∠BDN ， ∴∠AMB=∠ANC ，
在△ACN 和△ABM 中，
ANC=AMB C=B
AC=AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACN ≌△ABM （AAS ）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
20、（1）经过秒或秒，△PCQ 是直角三角形（2）∠AMQ 的大小不变
【解析】（1）分两种情形分别求解即可解决问题；
（2）由△AB ≌△BCQ （SAS ），推出∠BAP ＝∠CBQ ，可得∠AMQ ＝∠PAB+∠ABQ ＝∠CBQ+∠ABQ ＝∠ABC ＝60°即可．
【详解】（1）设经过t 秒后，△PCQ 是直角三角形．
由题意：PC ＝（12﹣3t ）cm ，CQ ＝3t ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠C ＝60°，
当∠PQC ＝90°时，∠QPC ＝30°，
∴PC ＝2CQ ，
∴12﹣3t ＝6t ，
解得t ＝；
当∠QPC ＝90°时，∠PQC ＝30°，
∴CQ ＝2PC ，
∴3t ＝2（12﹣3t ），
解得t ＝， ∴经过秒或秒，△PCQ 是直角三角形；
（2）结论：∠AMQ 的大小不变．
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝60°，
∵点P ，Q 的速度相等，
在△ABP 和△BCQ 中，
，
∴△AB ≌△BCQ （SAS ），
∴∠BAP ＝∠CBQ ，
∴∠AMQ ＝∠PAB+∠ABQ ＝∠CBQ+∠ABQ ＝∠ABC ＝60°．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
21、（1）A(12,0)；（2）a=163
；（3）a=6. 【分析】（1）先根据点M 在直线y=x 上求出M （3，3），把M （3，3）代入13y x b =-
+可计算出b=4，得到一次函数的解析式为143y x =-
+，然后根据x 轴上点的坐标特征可确定A 点坐标为（12，0）；
（2）①分别求出PB 和PA 的长，根据PA=PB 列出方程，求出a 的值即可； ②先表示出C （a ，143a -+），D （a ，a ），根据CD=2CP 列方程求解即可.
【详解】（1）∵点M 的横坐标为3，且点M 在直线y=x 上，
∴点M 的横坐标为3，
∴M （3，3）
把M （3，3）代入13y x b =-
+得，1333b =-⨯+，解得，b=4， ∴143
y x =-+， 当y=0时，x=12，
∴A(12，0)，
（2）①对于143y x =-
+，当x=0时，y=4， ∴B(0，4)，
∵P （a ，0），
∴PO=a ，AP=12-a ，
在Rt △BPO 中，222BP BO PO =+ ∴22224BP BO PO a ++
∴12a -=，
解得，a=163
； ②∵P （a ，0）， ∴C （a ，1
43a -+），D （a ，a ）
∴PC=143a -+，PD=a ，
∴DC=PD-PC=443
a -， ∵2DC CP =， ∴443a -=2（143
a -+）， 解得：a=6.
【点睛】
本题考查了一次函数和两点之间的距离，解决本题的关键是求出点C 和点D 的坐标，根据两点之间的距离公式进行解决问题．
22、（1）这项工程的规定时间是2天；（2）该工程的费用为180000元．
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x 天，然后根据“甲、乙两队合做15天的工作量＋甲队单独做5天的工作量=1”列方程即可；
（2）先求出甲、乙两队合做完成需要的时间，然后乘每天的施工费用之和即可得出结论．
【详解】（1）设这项工程的规定时间是x 天，
根据题意得：（
11+1.5x x ）×15+5x =1． 解得：x=2．
经检验x=2是方程的解．
答：这项工程的规定时间是2天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（11+30 1.530
⨯）=18（天）， 则该工程施工费用是：18×（6500+3500）=180000（元）．
答：该工程的费用为180000元．
【点睛】
此题考查的是分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键，需要注
意的是分式方程要验根．
23、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据题意证明△ADB ≌△ADC 即可证明AB ＝AC ；
（2）连接BC ，由中垂线的逆定理证明即可．
【详解】证明：（1）∵在△ADB 和△ADC 中，
==ADB ADC B C
AD AD ∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADB ≌△ADC （AAS ），
∴AB ＝AC ；
（2）连接BC ，
∵△ADB ≌△ADC ，
∴AB ＝AC ，BD ＝CD ，
∴A 和D 都在线段BC 的垂直平分线上，
∴AD 是线段BC 的垂直平分线，
即AD ⊥BC ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质以及中垂线的逆定理，熟记相关定理是解题关键．
24、（1）C ；（2）不彻底，（x-2）1；（3）（x-1）1
【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；
（3）将（x 2-2x ）看作整体进而分解因式即可．
【详解】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； 故选：C ；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，
原式=（x 2-1x+1）2=（x-2）1；
故答案为：不彻底，（x-2）1；
（3）（x 2-2x ）（x 2-2x+2）+1
=（x 2-2x ）2+2（x 2-2x ）+1
=（x 2-2x+1）2
=（x-1）1．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底．
25、1
【分析】利用平方根，算术平方根定义求出a 与b 的值，进而求出ab 的值，利用立方根定义计算即可求出值．
【详解】解：根据题意得：85a -=，23b =，
解得：3a =，9b =，即27ab =，
27的立方根是1，即ab 的立方根是1．
【点睛】
此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
26、（1）15，8；（2）PE PF CG +=，见解析；（3）；（4）4
【分析】解决问题（1）只需运用面积法：ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即可解决问题； （2）解法同（1）；
（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，由等边三角形的性质得出15
2BM BC =
=，由勾股定理得出AM ==ABC ∆的面积1
2
BC AM =⨯=，由ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面
积1111()2222BC PE AC PF AB PG AB PE PF PG =
⨯+⨯+⨯=++= （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，易证BE BF =，过点E 作EQ BF ⊥，垂足为Q ，由解决问题（1）可得PG PH EQ +=，易证EQ DC =，BF DF =，只需求出BF 即可．
【详解】解：（1）∵PE AB ⊥，10AB =，3PE =，
∴ABP ∆的面积111031522
AB PE =⨯=⨯⨯=， ∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，
且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，
∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，
∵AB AC =，
∴358CG PE PF =+=+=.
故答案为：15，8.
（2）∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，
且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，
∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，
∵AB AC =，
∴CG PE PF =+.
（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，如图2所示：
∵10AB AC BC ===，
∴ABC ∆是等边三角形，
∵AM BC ⊥， ∴152BM BC =
=， ∴222210553AM AB BM =--=
∴ABC ∆的面积11105325322BC AM =
⨯=⨯⨯= ∵PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，
∴ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积
111222BC PE AC PF AB PG =⨯+⨯+⨯1()2
AB PE PF PG =++ 253= ∴225353PE PF PG ⨯++==. （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，如图3所示：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD BC =，90C ADC ∠=∠=︒，
∵8AD =，3CF =，
∴5BF BC CF AD CF =-=-=，
由折叠可得：5DF BF ==，BEF DEF ∠=∠，
∵90C ∠=︒， ∴2222534DC DF FC =-=-=，
∵EQ BC ⊥，90C ADC ∠=∠=︒，
∴90EQC C ADC ∠=︒=∠=∠，
∴四边形EQCD 是矩形，
∴4EQ DC ==，
∵//AD BC ，
∴DEF EFB ∠=∠，
∵BEF DEF ∠=∠，
∴BEF EFB ∠=∠，
∴BE BF =，
由解决问题（1）可得：PG PH EQ +=，
∴4PG PH +=，即PG PH +的值为4.
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．。