甘肃省武威市第六中学2020-2021学年高一下学期第三次学段考试数学试题 答案和解析

甘肃省武威市第六中学【最新】高一下学期第三次学段考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则
11a b < D ．若0a b <<，则
b a a b
> 2．已知倾斜角为45的直线经过(2,4)A ，(1,)B m 两点，则m =（ ） A ．3
B ．3-
C ．5
D ．1-
3．在ABC 中，若2a =，b =30A =︒，则B 等于（ ） A ．30
B ．30或150︒
C ．60︒
D ．60︒或120︒
4．圆2260x y x +-=与圆228120x y x +++=的位置关系为（ ） A ．相离
B ．相交
C ．外切
D ．内切
5．若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1
n
的最小值为（ ）
A ．3＋
B ．3
C ．2＋
D ．3
6．已知数列{}n a 是递增的等比数列, 14239,8a a a a +==,则数列{}n a 的前10项和等于( ) A ．1024 B ．511 C ．512
D ．1023
7．已知过点(2,)A m -和点(,4)B m 的直线为1l ，2:210l x y +-=，
3:10l x ny ++=．若12l l //，23l l ⊥，则m n +的值为（ ）
A ．10-
B ．2-
C ．0
D ．8
8．过坐标原点O 作圆()()2
2
341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )
A
．
5
B
．
5 C
D
9．关于x 的不等式22
(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，则a 的取值范围为 （ ）
A ．3
15
a -
<< B ．3
15a -
≤≤ C ．3
15
a -
<≤或1a =-
D ．3
15
a -
<≤ 10．若x ，y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．
12
D ．12
-
11
．直线cos 20x α+=的倾斜角范围是（ ）
A ．,62ππ⎡⎫⎪⎢
⎣⎭5,26ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦
B ．50,
,66πππ⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C ．50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．5,66⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
ππ 12．若直线y=x+b
与曲线3y =b 的取值范围是
A
．1,1⎡-+⎣ B
．1⎡-+⎣ C
．1⎡⎤-⎣⎦ D
．1⎡⎤⎣⎦
二、填空题
13．在ABC 中，若2a =，7b c +=，1
cos 4
B =-
，则b =_______． 14．已知直线120l x y a -+=：
与直线24210l x y -++=：，且直线1l 与直线2l
的距离为，则实数a 的值为__________.
15．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若23S =，()
*
11n n a S n N +=+∈，则通项公式n a =
______.
16．已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m (0)m >，若圆C 上存在点P 使得090APB ∠=，则m 的最大值为__________．
三、解答题
17．求满足下列条件的圆的方程：
(1)过三点(00),(11),(42)O A B ，
，，的圆的方程； (2)圆心在直线20x y +=上且与直线10x y +-=切于点()2,1M -. 18．在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =1
2
-． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B –C ）的值． 19．求满足下列条件的直线的方程：
(1)求与直线20x y -=平行，且过点(2)3，
的直线方程； (2)已知正方形的中心为直线220x y -+=和10x y ++=的交点，其一边所在直线的方程为350x y +-=,求其他三边的方程.
20．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且432S =，13221S =． （1）求{}n a 的通项公式n a ；
（2）数列{}n b 满足(
)
*
1n n n b b a n N +-=∈且13b =，求1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
21．在锐角ABC ∆中,角A B C ，，所对的边为,a b c ，，
若,cos cos A B + ()
cos 0C C =,且1b =. (1)求角B 的值； (2)求a c +的取值范围.
22．已知等差数列{}n a 满足32421,7a a a =-=，等比数列{}n b 满足
()35242b b b b +=+，且()2*22n n b b n =∈N .
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）若n
n n
c a b =，求{}n c 的前n 项和n S .
参考答案
1．B 【分析】
利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误. 【详解】 对于A 选项，若0c ，则22ac bc =，故A 不成立；
对于B 选项，
0a b <<，在不等式a b <同时乘以()0a a <，得2a ab >，
另一方面在不等式a b <两边同时乘以b ，得2ab b >，22a ab b ∴>>，故B 成立；
对于选项C ，在a b <两边同时除以()0ab ab >，可得11
b a
<，所以C 不成立； 对于选项D ，令2a =-，1b =-，则有221
a b -=
=-，12b a =，b a
a b <，所以D 不成立. 故选B. 【点睛】
本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题. 2．A 【解析】
试题分析：∵直线经过两点(2,4)A ，(1,)B m ，∴直线AB 的斜率4421
k m π
-==--， 又∵直线的倾斜角为045，∴1k =，∴3m =．故选A ． 考点：直线的斜率；直线的倾斜角． 3．D 【分析】
由正弦定理，求得sin sin b
B A a
=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，在ABC 中，由正弦定理可得
sin sin a b A B
=，
即sin sin sin 30b B A a =
=︒=
， 又由a b <，且0180B ︒<<︒， 所以60B =︒或120B =︒， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．A 【分析】
求得两圆的圆心坐标和半径，根据圆心距和两圆半径的关系，即可判定，得到答案. 【详解】
由题意，圆2260x y x +-=的圆心坐标1(3,0)C ，半径为13r =，
圆22
8120x y x +++=的圆心坐标2(4,0)C -，半径为22r =，
则圆心距为123(4)7C C =--=，所以1212C C r r >+， 所以两圆相离，故选A. 【点睛】
本题主要考查了两圆的位置关系的判定，其中解答中熟记两圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．A 【分析】
利用基本不等式，即可容易求得结果. 【详解】 因为2m ＋n ＝1， 则
1m ＋1n ＝11m n ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭·(2m ＋n )＝3＋n m ＋2m n
≥3＋3＋
当且仅当n
m ，即m
，n
－1时等号成立， 所以
1m ＋1
n
的最小值为3＋
. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用基本不等式求和的最小值，属基础题. 6．D 【分析】
由题意，根据等比数列的性质和通项公式，求得11,2a q ==，再由前n 项和公式，即可求解. 【详解】
由题意，根据等比数列的性质，可得23148a a a a ==，
联立方程组14149
8
a a a a +=⎧⎨=⎩，解得141,8a a ==或148,1a a ==，
因为数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，
又由33
418a a q q ===，解得2q
，
所以数列{}n a 的前10项和等于10101(12)
102312
S ⨯-==-，故选D.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．A 【分析】
利用直线平行垂直与斜率的关系即可得出． 【详解】
∵l 1∥l 2，∴k AB ＝
42m
m -+＝－2，解得m ＝－8． 又∵l 2⊥l 3，∴1
n
-×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10．故选A ．
【点睛】
本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8．A 【分析】
求得圆的圆心坐标和半径，借助11
222
AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯
，即可求解. 【详解】
如图所示，设圆()()2
2
341x y -+-=的圆心坐标为(3,4)M ，半径为1r =，
则5OM ==,OA ===，
则11
222
AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯
，可得25OA MA AB OM ⨯⨯==， 故选A.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】
分情况讨论，当210a -=时，求出满足条件的a 的值；当210a -≠时，求出满足条件的a 的取值范围，即可得出结果. 【详解】
当210a -=时，1a =±，若1a =，则原不等式可化为10-<，显然恒成立；若1a =-，
则原不等式可化为210x -<不是恒成立，所以1a =-舍去； 当210a -≠时，因为()
()2
2
1110a x a x ----<的解集为R ，
所以只需()()
222
101410
a a a ⎧-<⎪
⎨=-+-<⎪⎩，解得315a -<<; 综上，a 的取值范围为：3
15
a -<≤.
故选D 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式恒成立的问题，需要用分类讨论的思想来处理，属于常考题型. 10．D 【详解】
试题分析：作出不等式组20
{200
x y kx y y +-≥-+≥≥，所表示的平面区域，如下图：
由图可知：由于直线20kx y -+=过定点(0,2)，只需它还过点(4,0)即可，
4020k ∴-+=，解得：1
2
k =-
． 故选D ．
考点：线性规划． 11．
B
【分析】
由题意，设直线的倾斜角为θ，根据直线方程，求得tan θ≤≤
，即可求解. 【详解】
由题意，设直线的倾斜角为θ
直线cos 20x α+=的斜率为[
33k =-，
即tan θ≤≤
，又由[0,)θπ∈，所以50,,66πθππ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．C 【详解】
试题分析：如图所示：曲线3y = （x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3）， 表示以A （2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，
直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b 的距离等于半径2=2，
∴
当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1
结合图象可得1- 故答案为C 13．4 【解析】
由题意，2
2
2
2
12cos 4(7)22(7)4b a c ac B b b ⎛⎫
=+-=+--⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭
， 整理可得：1560b =，解得4b =． 14．3 【分析】
利用两平行线间的距离公式能求出实数a 的值． 【详解】 解：
两条直线：1:20(0)l x y a a -+=>、2:4210l x y -++=，
1l 与2l ，
∴
= 由0a >，解得3a =． 故答案为：3． 15．12n - 【分析】
先求出12,a a ，然后由11n n a S +=+得11(2)n n a S n -=+≥，两式相减得12n n a a +=，从而由等比数列定义得数列为等比数列. 【详解】
∵11n n a S +=+，∴21111a S a =+=+，又2123S a a =+=，∴121,2a a ==，由
11n n a S +=+得11(2)n n a S n -=+≥，两式相减得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=，
而212a a =，∴{}n a 是公比为2的等比数列，∴12n n a .故答案为12n -.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，解题关键是掌握数列前n 项和n S 与项n a 之间的关系，即
1(2)n n n a S S n -=-≥，利用此式得出数列的递推关系，同时要注意此关系式中有2n ≥，
因此要考虑数列的首项1a 与2a 的关系是否与它们一致. 16．6 【解析】
圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1的圆心C （3，4），半径r=1， 设P （a ，b ）在圆C 上，则=（a+m ，b ），
=（a ﹣m ，b ），
∵∠APB=90°，∴，
∴
=（a+m ）（a ﹣m ）+b 2=0，
∴m 2=a 2+b 2=|OP|2，
∴m 的最大值即为|OP |的最大值，等于|OC|+r=5+1=6． 故答案为6．
17．(1)()()2
2
4325x y -++=；(2) ()()2
2
122x y -+=+. 【分析】
（1）设出圆的一般方程，列出方程组，求得,,D E F 的值，即可求解； （2）设出圆的标准方程，根据题设条件和圆的性质，求得,a r 的值，即可求解. 【详解】
（1）设过三点()()()0,0,1,1,4,2O A B 的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=
则0110164420F D E F D E F =⎧⎪
++++=⎨⎪++++=⎩
，解得8,6,0D E F =-==， 所以圆的一般方程为2
2
860x y x y +-+=，标准方程为()()22
4325x y -++=.
（2）由题意，圆心在直线20x y +=上，设圆的标准方程为()()22
22x a y a r -++= 又由圆直线10x y +-=切于点()2,1M -，则
2(1)
(1)12
a a ---⋅-=--，解得1a =，
即圆心坐标为(1,2)-
，所以r == 所以圆的方程为()()2
2
122x y -+=+.
【点睛】
本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程和圆的一般方程，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．(Ⅰ) 75b c =⎧⎨=⎩
；
(Ⅱ
)
【分析】
(Ⅰ)由题意列出关于a ,b ,c 的方程组，求解方程组即可确定b ,c 的值； (Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得()sin B C -的值. 【详解】
(Ⅰ)由题意可得：2221cos 2223a c b B ac b c a ⎧+-==-⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩
，解得：375a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩.
(Ⅱ)
由同角三角函数基本关系可得：sin 2
B ==
， 结合正弦定理
sin sin b c B C =
可得：sin sin 14
c B C b == 很明显角C
为锐角，故11
cos 14
C ==， 故(
)sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=【点睛】
本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．(1)240x y -+=；(2) 390x y -+=，330x y --=，370x y ++=. 【分析】
（1）过点()23，
与直线20x y -=平行，斜率得到1
2
k =，利用点斜式方程，即可求解；
由点斜式方程，可得直线方程是()1
322
y x -=
-，即240x y -+=； （2）联立方程组，解得交点坐标为(1,0)-，分别设所求直线为30(5)x y m m ++=≠-， 【详解】
（1）过点()23，
与直线20x y -=平行，即所求直线的斜率为1
2
k =， 由点斜式方程，可得直线方程是()1
322
y x -=
-，即240x y -+=； （2）联立方程组220
10
x y x y -+=⎧⎨
++=⎩，解得交点坐标为(1,0)-，
设与边所在直线350x y +-=平行的边的方程为30(5)x y m m ++=≠-， 设与边所在直线350x y +-=垂直的边的方程为30x y n -+=，
又由正方形的中心(1,0)-到直线350x y +-=
=
， 所以点(1,0)-
，
=
=，解得7,9m n ==或3n =-，
所以其它边所在的直线方程分别为370x y ++=，390x y -+=，330x y --=. 【点睛】
本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，直线方程的求解，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 20．(1) 23n a n =+ (2) 13112212n T n n ⎛⎫
=-- ⎪++⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）根据等差数列{}n a 中432S =，13221S =，列出关于首项1a 、公差d 的方程组，解方程组可得1a 与d 的值，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）利用（1），由“累加法”可得
111122n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
，利用裂项相消法求和即可得结果.
（1）等差数列{}n a 的公差设为d ，前n 项和为n S ，且432S =，13221S =． 可得14632a d +=，11378221a d +=， 解得15a =，2d =，
可得()21253n n n a +-=+=； （2）由123n n n b b a n +-==+，
可得()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋯+-
1
35721(24)(2)2
n n n n n =+++⋯++=
+=+， 111122n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
， 则前n 项和11111111111232435
112n T n n n n ⎛⎫=
-+-+-++
-+- ⎪-++⎝⎭
13112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭
． 【点睛】
本题主要考查等差数列的求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)
()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪
++⎝⎭；（2） 1
k
=； （3）()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭
；
（4）()1111222n n n n ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问
题，导致计算结果错误.
21．(1)
3
π
；(2)2⎤⎦.
【分析】
（1）根据三角恒等变换的公式和三角形的内角和定理，化简可得sin B B =，即可
()2由正弦定理得,a A b B ==，得到所以a c +2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
，利用三
角函数的性质，即可求解. 【详解】
（1）由题意，因为()
cos cos cos 0A B C C +=， 又由A B C π++=,则cos cos[()]cos()A B C B C π=-+=-+，
所以()
()cos cos cos B C C B C =+cos cos sin sin B C B C =-,
可得sin sin cos B C C B =，
因为(0,)C π∈，则sin 0C ≠，所以sin B B =，
即tan B =B 为锐角，可得3
B π
=
.
（2）由正弦定理
sin sin sin 3a c b A C B ===，则,33
a A
b B ==，
所以()sin sin 3a c A C +=
+=2sin sin 3A A π⎤⎛⎫+- ⎪⎥⎝⎭⎣
⎦2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为20,
,0,,,2233A C B A C ππππ⎛
⎫
⎛⎫
∈∈==- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 可得,62A ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，所以2,
633A πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，
可得sin 6A π⎛
⎫+∈ ⎪⎝⎭2⎛⎤ ⎥
⎝⎦
，所以2sin 26a c A π⎛⎫⎤+=+∈ ⎪⎦⎝⎭．
故a c +的取值范围2⎤⎦．
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用，以及正弦定理的边角互化的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 22．（1）21n a n =-,12n n b -=；（2）(23)23n n S n =-+.
【分析】
（1）由32421,7a a a =-=，求得1,a d ，得到等差数列的通项公式，又由35242()
b b b b +=+和2
22n n b b =，求得1,b q ，得到等比数列的通项公式；
（2）由（1），求得1(21)2n n c n -=-，利用乘公比错位相减法，即可求解数列{}n c 的前n 项
和. 【详解】
（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则有1122()1a d a d +=+-，137a d +=， 解得1a 1,d 2，所以21n a n =-，
设11n n
b b q -=，由35242()b b b b +=+，即24311112()b q b q b q b q +=+，
即2
4
3
22q q q q +=+，解得2q ，
由222n n b b =得，21
12112
2(2)n n b b --=， 可得11b =，所以12n n b -=.
（2）由()1知，
21n
n
c n b =-，所以1(21)2n n c n -=-， 则012
21123252(23)2(21)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+
+-+-，
两侧同乘公比2，可得123
12123252(23)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+-，
两式相减可得23
112[2222](21)2n n n S n --=++++
+--
12(12)
12(21)2(32)2312
n n n n n -⨯-=+⨯--=-⋅--
所以(23)23n n S n =-⋅+. 【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.。