2017-2018年安徽省马鞍山市高二上学期期中数学试卷及答案
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2017-2018学年安徽省马鞍山市高二(上)期中数学试卷
一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(3分)已知直线经过点A(0,0),B(1,﹣1),则该直线的斜率是()A.﹣B.C.1 D.﹣1
2.(3分)在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于平面xoz对称的点的坐标是()
A.(1,﹣2,3)B.(﹣1,2,﹣3) C.(﹣1,﹣2,3) D.(1,﹣2,﹣3)3.(3分)直线2x﹣3y+6=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则有()
A.k=,b=2 B.k=﹣,b=2 C.k=,b=﹣2 D.k=﹣,b=﹣2
4.(3分)已知直线m与平面α,则下列结论成立的是()
A.若直线m垂直于α内的两条直线,则m⊥α
B.若直线m垂直于α内的无数条直线,则m⊥α
C.若直线m平行于α内的一条直线,则m∥α
D.若直线m与平面α无公共点,则m∥α
5.(3分)已知直线l1:2x+y+1=0和l2:2x+my﹣1=0互相平行,则l1、l2间的距离是()
A.B.C.D.
6.(3分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是
BC的中点,则下列叙述正确的是()
A.CC1与B1E是异面直线B.CC1与AE是共面直线
C.AE与B1C1是异面直线D.AE与BB1是共面直线
7.(3分)已知直线l:ax﹣y﹣a+3=0和圆C:x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0,则直线l和圆C的位置关系是()
A.相交B.相切C.相离D.都有可能
8.(3分)若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为()A.1:2 B.1:C.1:D.:2
9.(3分)设α、β是两个不同的平面,m、n是两条不同直线,则下列结论中错误的是()
A.若m⊥α,n∥α,则m⊥n
B.若m∥n,则m、n与α所成的角相等
C.若α∥β,m⊂α,则m∥β
D.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β
10.(3分)在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,将△ABC沿AC折起后,三棱锥B﹣ACD的外接球表面积为()
A.16πB.25πC.36πD.100π
11.(3分)已知圆M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得弦长是,则a的值为()
A.B.2 C.D.3
12.(3分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点P在线段BC1上运动,则下列判断中,正确命题的个数是()
①三棱锥A﹣CD1P的体积不变;
②A1P∥平面ACD1;
③平面PB1D⊥平面ACD1;
④A1P与AD1所成角的范围是.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题:每小题4分,共20分.请把答案填在答题卡的相应位置.第14
题图
13.(4分)两两相交的三条直线可确定个平面.
14.(4分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.
15.(4分)已知圆C:x2+y2=4,则过点且与圆C相切的直线方程为.
16.(4分)如果实数x,y满足等式(x﹣2)2+(y﹣1)2=1,那么x2+y2的最小值为.
17.(4分)已知过点A(3,﹣2)的直线l交x轴正半轴于点B,交直线l1:x﹣2y=0于点C,且|AB|=2|BC|,则直线l在y轴上的截距是.
三、解答题:本大题共5题,共44分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.
18.(8分)直线l经过直线x﹣2y+4=0和直线x+y﹣2=0的交点,且与直线x+3y+5=0垂直,求直线l的方程.
19.(8分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,AB=AC=AA1,∠BAC=90°.
(Ⅰ)求证:BA⊥平面ACC1A1;
(Ⅱ)求直线BC1和平面ACC1A1所成的角的正切值.
20.(8分)已知圆心在x轴上且通过点的圆C与直线x=﹣1相切.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)已知直线l经过点(0,﹣2),并且被圆C截得的弦长为,求直线l 的方程.
21.(10分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=1,AD=2,PD与底面成30°,E是PD的中点.
(Ⅰ)求证:CE∥平面PAB;
(Ⅱ)求三棱锥A﹣CED的体积.
22.(10分)过点A(﹣3,4)作圆O:x2+y2=r2(r>0)的切线,O为坐标原点,切点为B,且|AB|=3.
(Ⅰ)求r的值;
(Ⅱ)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆O的切线l,且l 交x轴于点C,交y轴于点D,设,求的最小值.
2017-2018学年安徽省马鞍山市高二(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(3分)已知直线经过点A(0,0),B(1,﹣1),则该直线的斜率是()A.﹣B.C.1 D.﹣1
【解答】解:直线经过点A(0,0),B(1,﹣1),
则该直线的斜率是=﹣1
故选:D.
2.(3分)在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于平面xoz对称的点的坐标是()
A.(1,﹣2,3)B.(﹣1,2,﹣3) C.(﹣1,﹣2,3) D.(1,﹣2,﹣3)【解答】解:在空间直角坐标系中,
点P(1,2,3)关于平面xoz对称的点的坐标是(1,﹣2,3).
故选:A.
3.(3分)直线2x﹣3y+6=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则有()
A.k=,b=2 B.k=﹣,b=2 C.k=,b=﹣2 D.k=﹣,b=﹣2
【解答】解:由直线方程2x﹣3y+6=0化为斜截式:y=x+2.
可得斜率k=,在y轴上的截距为b=2.
故选:A.
4.(3分)已知直线m与平面α,则下列结论成立的是()
A.若直线m垂直于α内的两条直线,则m⊥α
B.若直线m垂直于α内的无数条直线,则m⊥α
C.若直线m平行于α内的一条直线,则m∥α
D.若直线m与平面α无公共点,则m∥α
【解答】解:由直线m与平面α,知:
在A中,若直线m垂直于α内的两条相交直线,则m⊥α,故A错误;
在B中,若直线m垂直于α内的无数条直线,
当这无数条直线都是平行线时,则m与α不一定垂直,故B错误;
在C中,若直线m平行于α内的一条直线,则m∥α或m⊂α,故C错误;
在D中,若直线m与平面α无公共点,则由直线与平面平行的定义得m∥α,故D正确.
故选:D.
5.(3分)已知直线l1:2x+y+1=0和l2:2x+my﹣1=0互相平行,则l1、l2间的距离是()
A.B.C.D.
【解答】解:∵直线l1:2x+y+1=0和l2:2x+my﹣1=0互相平行,∴=≠,∴m=1,
∴直线l1:2x+y+1=0,l2:2x+y﹣1=0,
则l1、l2间的距离为=,
故选:C.
本题考查平行直线的距离公式,简单题.
6.(3分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是
BC的中点,则下列叙述正确的是()
A.CC1与B1E是异面直线B.CC1与AE是共面直线
C.AE与B1C1是异面直线D.AE与BB1是共面直线
【解答】解:在A中,∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,
∴B1E⊂平面BCC1B1,CC1⊂平面BCC1B1,
∴CC1与B1E是共面直线,故A错误;
在B中,∵AE∩平面BCC1B1=E,CC1⊂平面BCC1B1,且E∉CC1,∴CC1与AE是异面直线,故B错误;
在C中,∵AE∩平面BCC 1B1=E,B1C1⊂平面BCC1B1,且E∉B1C1,∴AE与B1C1是异面直线,故C正确;
在D中,∵AE∩平面BCC1B1=E,BB1⊂平面BCC1B1,且E∉BB1,∴AE与BB1是异面直线,故D错误.
故选:C.
7.(3分)已知直线l:ax﹣y﹣a+3=0和圆C:x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0,则直线l和圆C的位置关系是()
A.相交B.相切C.相离D.都有可能
【解答】解:直线l恒过点M(1,3),
把M(1,3)代入圆的方程左边得12+32﹣4﹣6﹣4<0,
∴M在圆C内部,
∴直线l与圆C相交.
故选:A.
8.(3分)若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为()A.1:2 B.1:C.1:D.:2
【解答】解:若圆锥的高等于底面直径,
则h=2r,
则母线l==r,
而圆锥的底面面积为πr2,
圆锥的侧面积为πrl=πr2,
故圆锥的底面积与侧面积之比为1:,
故选:C.
9.(3分)设α、β是两个不同的平面,m、n是两条不同直线,则下列结论中错误的是()
A.若m⊥α,n∥α,则m⊥n
B.若m∥n,则m、n与α所成的角相等
C.若α∥β,m⊂α,则m∥β
D.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β
【解答】解:由α、β是两个不同的平面,m、n是两条不同直线,知:
在A中,若m⊥α,n∥α,则由线面垂直的性质定理得m⊥n,故A正确;
在B中,若m∥n,则由线面所成角的概念得m、n与α所成的角相等,故B正确;
在C中,若α∥β,m⊂α,则由面面平行的性质定理得m∥β,故C正确;
在D中,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α与β相交或平行,故D错误.
故选:D.
10.(3分)在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,将△ABC沿AC折起后,三棱锥B﹣ACD的外接球表面积为()
A.16πB.25πC.36πD.100π
【解答】解:如图所示;
设矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,
则OA=OB=OC=OD=;
∴三棱锥B﹣ACD的外接球的直径为R=,
其表面积为S=4πR2=4π•=25π.
故选:B.
11.(3分)已知圆M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得弦长是,则a的值为()
A.B.2 C.D.3
【解答】解:圆M的圆心为(0,a),半径r=a,
∴圆心M到直线x+y=0的距离d==.
∴()2+()2=a2,解得a=2.
故选:B.
12.(3分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点P在线段BC1上运动,则下列判断中,正确命题的个数是()
①三棱锥A﹣CD1P的体积不变;
②A1P∥平面ACD1;
③平面PB1D⊥平面ACD1;
④A1P与AD1所成角的范围是.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解答】解:对于①,=,C到面AD 1P的距离不变,
且三角形AD1P的面积不变.∴三棱锥A﹣D1PC的体积不变;正确;
②连接A1B,A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1,从而由线面平行的定义可得A1P ∥平面ACD1;正确.
③连接DB1,根据正方体的性质,有DB1⊥面ACD1 ,DB1⊂平面PB1D,从而可以证明平面PB1D⊥平面ACD1;正确.
④当P与线段BC1的两端点重合时,A1P与AD1所成角取最小值,
当P与线段BC1的中点重合时,A1P与AD1所成角取最大值,
故A1P与AD1所成角的范围是;错误;
正确的命题个数有3个.
故选:B.
二、填空题:每小题4分,共20分.请把答案填在答题卡的相应位置.第14题图
13.(4分)两两相交的三条直线可确定1或3个平面.
【解答】解:由平面的基本性质及推论可知:
两两相交的三条直线可以确定的平面的个数为1或3.
①a∩b=P,故直线a与b确定一个平面α,
若c在平面α内,则直线a、b、c确定一个平面;
②a∩b=P,故直线a与b确定一个平面α,
若c不在平面α内,则直线a、b、c确定三个平面;如图.
故答案为:1或3.
14.(4分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.
【解答】解:由已知中的三视图可得:
该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,
底面面积S=×2×1=1,
高h=1,
故体积V=Sh=,
故答案为:
15.(4分)已知圆C:x2+y2=4,则过点且与圆C相切的直线方程为x+y﹣4=0.
【解答】解:显然点A在圆上,k AC=,
∴所求直线的斜率为﹣,
∴所求直线方程为y﹣=﹣(x﹣1),即x+y﹣4=0.
故答案:.
16.(4分)如果实数x,y满足等式(x﹣2)2+(y﹣1)2=1,那么x2+y2的最小值为6﹣2.
【解答】解:圆心(2,1)到原点(0,0)的距离为,
∴圆上的点(x,y)到原点的最小距离为=﹣1,
∴x2+y2的最小值为(﹣1)2=6﹣2.
故答案为:.
17.(4分)已知过点A(3,﹣2)的直线l交x轴正半轴于点B,交直线l1:x﹣2y=0于点C,且|AB|=2|BC|,则直线l在y轴上的截距是7.
【解答】解:当直线l斜率k不存在时,
直线l的方程为x=3,
则交x轴正半轴于点B(3,0),
交直线l1:x﹣2y=0于点C(3,),
则|AB|=2,|BC|=不符合条件.
当直线l的斜率k存在时,设l的解析式为y+2=k(x﹣3),即y=kx﹣3k﹣2,
则直线l交x轴正半轴于点B(+3,0),
交直线l1:x﹣2y=0于点C(,),
分别过A点和C点做x轴的垂线,我们发现AB:BC=y A:y C,
(两个直角三角形是相似三角形所以斜边长之比等于直角边之比),
∵|AB|=2|BC|,
∴,解得k=﹣3或k=﹣(舍),
∴k=﹣3,∴y轴上的截距为﹣3k﹣2=9﹣2=7.
故答案为:7.
三、解答题:本大题共5题,共44分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.
18.(8分)直线l经过直线x﹣2y+4=0和直线x+y﹣2=0的交点,且与直线x+3y+5=0垂直,求直线l的方程.
【解答】解:由得,
∴交点坐标为(0,2),
又直线l与直线x+3y+5=0垂直,
∴直线l的斜率为3,
∴直线l的方程为y=3x+2,
即3x﹣y+2=0
19.(8分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,AB=AC=AA1,∠BAC=90°.
(Ⅰ)求证:BA⊥平面ACC1A1;
(Ⅱ)求直线BC1和平面ACC1A1所成的角的正切值.
【解答】(Ⅰ)证明:∵A1A⊥平面ABC,
∴BA⊥AA1,
又∵∠BAC=90°,∴BA⊥AA1,
且A1A∩AC=A,
∴BA⊥平面ACC1A1;…4分
(Ⅱ)解:∵BA⊥平面ACC1A1,
∴AC1为斜线BC1在平面ACC1A1内的射影,
∠AC1B为求直线BC1和平面ACC1A1所成的角,
在直角△BAC 1中,∠BAC1=90°,,
∴,
∴直线BC1和平面ACC1A1所成角的正切值为.…8分
20.(8分)已知圆心在x轴上且通过点的圆C与直线x=﹣1相切.(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)已知直线l经过点(0,﹣2),并且被圆C截得的弦长为,求直线l 的方程.
【解答】解:(Ⅰ)设圆心的坐标为C(a,0),
则,解得a=1,
∴C(1,0),半径r=2,
∴圆C的方程为(x﹣1)2+y2=4.…4分
(Ⅱ)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,
此时直线l被圆C截得的弦长为,满足条件;
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx﹣2,
由题意得,解得,
∴直线l的方程为3x﹣4y﹣8=0
综上所述,直线l的方程为x=0或3x﹣4y﹣8=0.…8分
21.(10分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=1,AD=2,PD与底面成30°,E是PD的中点.
(Ⅰ)求证:CE∥平面PAB;
(Ⅱ)求三棱锥A﹣CED的体积.
【解答】证明:(Ⅰ)取AD的中点O,连接OC,OE,
∵OE∥AP,OE⊄面PAB,AP⊂面PAB,∴OE∥平面PAB
同理OC∥平面PAB,又∵OE∩OC=O,
∴平面OCE∥平面PAB,又∵CE⊂平面OCE,
∴CE∥平面PAB.…5分
解:(Ⅱ)∵PD与底面成30°,∴∠ADP=30°,
又∵PA⊥底面ABCD,OE∥PA,AD=2,
∴OE⊥底面ABCD,,
∴.…10分
22.(10分)过点A (﹣3,4)作圆O :x 2+y 2=r 2(r >0)的切线,O 为坐标原点,切点为B ,且|AB |=3. (Ⅰ)求r 的值;
(Ⅱ)设P 是圆O 上位于第一象限内的任意一点,过点P 作圆O 的切线l ,且l 交x 轴于点C ,交y 轴于点D ,设
,求
的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)圆O :x 2+y 2=r 2(r >0)的圆心为O (0,0), 于是|OA |2=(﹣3)2+42=25,
由题设知,△ABO 是以B 为直角顶点的直角三角形, 故有
.…5分
(Ⅱ)设直线l 的方程为,即bx +ay ﹣ab=0,
则C (a ,0),D (0,b ),∴,∴.
∵直线l 与圆O 相切, ∴
,
∴a 2+b 2≥64∴, 当且仅当时取到“=”,
∴取得最小值为8.…10分
赠送初中数学几何模型【模型一】
“一线三等角”模型:
图形特征:
运用举例:
1.如图,若点B 在x 轴正半轴上,点A (4,4)、C (1,-1),且AB =BC ,AB ⊥BC ,求点B 的坐标;
2.如图,在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示),已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ,则
14S S += .
l
s 4
s 3
s 2
s 1
3
2
1
3. 如图,Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =2,点D 在BC 上运动(不与点B ,C 重合),过D 作∠ADE =45°,DE 交AC 于E . (1)求证:△ABD ∽△DCE ;
(2)设BD =x ,AE =y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)当△ADE 是等腰三角形时,求AE 的长.
B
4.如图,已知直线112y x =
+与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线21
2
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为 (1,0)。
(1)求该抛物线的解析式;
(2)动点P 在x 轴上移动,当△PAE 是直角三角形时,求点P 的坐标P ; (3)在抛物线的对称轴上找一点M ,使|AM -MC |的值最大,求出点M 的坐标。
5.如图,已知正方形ABCD 中,点E 、F 分别为AB 、BC 的中点,点M 在线段BF 上(不与点B 重合),连接EM ,将线段EM 绕点M 顺时针旋转90°得MN ,连接FN .
(1)特别地,当点M 为线段BF 的中点时,通过观察、测量、推理等,猜想:∠NFC = °,
BM
NF
= ; (2)一般地,当M 为线段BF 上任一点(不与点B 重合)时,(1)中的猜想是否仍然成立?请说明理由;
(3)进一步探究:延长FN 交CD 于点G ,求
FM
NG
的值
第21页(共21页) G
E D
A
6..如图,矩形AOBC 中,C 点的坐标为(4,3),,F 是BC 边上的一个动点(不与B ,C 重合),过F 点的反比例函数k y x
(k >0)的图像与AC 边交于点E 。
(1)若BF =1,求△OEF 的面积;
(2)请探索:是否在这样的点F ,使得将△CEF 沿EF 对折后,C 点恰好落在OB 上?若存在,求出点k 的值;若不存在,请说明理由。