2017-2018年安徽省马鞍山市高二上学期期中数学试卷及答案

2017-2018学年安徽省马鞍山市高二（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）已知直线经过点A（0，0），B（1，﹣1），则该直线的斜率是（）A．﹣B．C．1 D．﹣1
2．（3分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于平面xoz对称的点的坐标是（）
A．（1，﹣2，3）B．（﹣1，2，﹣3） C．（﹣1，﹣2，3） D．（1，﹣2，﹣3）3．（3分）直线2x﹣3y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有（）
A．k=，b=2 B．k=﹣，b=2 C．k=，b=﹣2 D．k=﹣，b=﹣2
4．（3分）已知直线m与平面α，则下列结论成立的是（）
A．若直线m垂直于α内的两条直线，则m⊥α
B．若直线m垂直于α内的无数条直线，则m⊥α
C．若直线m平行于α内的一条直线，则m∥α
D．若直线m与平面α无公共点，则m∥α
5．（3分）已知直线l1：2x+y+1=0和l2：2x+my﹣1=0互相平行，则l1、l2间的距离是（）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是
BC的中点，则下列叙述正确的是（）
A．CC1与B1E是异面直线B．CC1与AE是共面直线
C．AE与B1C1是异面直线D．AE与BB1是共面直线
7．（3分）已知直线l：ax﹣y﹣a+3=0和圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0，则直线l和圆C的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．都有可能
8．（3分）若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）A．1：2 B．1：C．1：D．：2
9．（3分）设α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同直线，则下列结论中错误的是（）
A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
B．若m∥n，则m、n与α所成的角相等
C．若α∥β，m⊂α，则m∥β
D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
10．（3分）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABC沿AC折起后，三棱锥B﹣ACD的外接球表面积为（）
A．16πB．25πC．36πD．100π
11．（3分）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得弦长是，则a的值为（）
A．B．2 C．D．3
12．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中，正确命题的个数是（）
①三棱锥A﹣CD1P的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③平面PB1D⊥平面ACD1；
④A1P与AD1所成角的范围是．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：每小题4分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．第14
题图
13．（4分）两两相交的三条直线可确定个平面．
14．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
15．（4分）已知圆C：x2+y2=4，则过点且与圆C相切的直线方程为．
16．（4分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，那么x2+y2的最小值为．
17．（4分）已知过点A（3，﹣2）的直线l交x轴正半轴于点B，交直线l1：x﹣2y=0于点C，且|AB|=2|BC|，则直线l在y轴上的截距是．
三、解答题：本大题共5题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．
18．（8分）直线l经过直线x﹣2y+4=0和直线x+y﹣2=0的交点，且与直线x+3y+5=0垂直，求直线l的方程．
19．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，AB=AC=AA1，∠BAC=90°．
（Ⅰ）求证：BA⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）求直线BC1和平面ACC1A1所成的角的正切值．
20．（8分）已知圆心在x轴上且通过点的圆C与直线x=﹣1相切．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l经过点（0，﹣2），并且被圆C截得的弦长为，求直线l 的方程．
21．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=1，AD=2，PD与底面成30°，E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣CED的体积．
22．（10分）过点A（﹣3，4）作圆O：x2+y2=r2（r＞0）的切线，O为坐标原点，切点为B，且|AB|=3．
（Ⅰ）求r的值；
（Ⅱ）设P是圆O上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆O的切线l，且l 交x轴于点C，交y轴于点D，设，求的最小值．
2017-2018学年安徽省马鞍山市高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）已知直线经过点A（0，0），B（1，﹣1），则该直线的斜率是（）A．﹣B．C．1 D．﹣1
【解答】解：直线经过点A（0，0），B（1，﹣1），
则该直线的斜率是=﹣1
故选：D．
2．（3分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于平面xoz对称的点的坐标是（）
A．（1，﹣2，3）B．（﹣1，2，﹣3） C．（﹣1，﹣2，3） D．（1，﹣2，﹣3）【解答】解：在空间直角坐标系中，
点P（1，2，3）关于平面xoz对称的点的坐标是（1，﹣2，3）．
故选：A．
3．（3分）直线2x﹣3y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有（）
A．k=，b=2 B．k=﹣，b=2 C．k=，b=﹣2 D．k=﹣，b=﹣2
【解答】解：由直线方程2x﹣3y+6=0化为斜截式：y=x+2．
可得斜率k=，在y轴上的截距为b=2．
故选：A．
4．（3分）已知直线m与平面α，则下列结论成立的是（）
A．若直线m垂直于α内的两条直线，则m⊥α
B．若直线m垂直于α内的无数条直线，则m⊥α
C．若直线m平行于α内的一条直线，则m∥α
D．若直线m与平面α无公共点，则m∥α
【解答】解：由直线m与平面α，知：
在A中，若直线m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α，故A错误；
在B中，若直线m垂直于α内的无数条直线，
当这无数条直线都是平行线时，则m与α不一定垂直，故B错误；
在C中，若直线m平行于α内的一条直线，则m∥α或m⊂α，故C错误；
在D中，若直线m与平面α无公共点，则由直线与平面平行的定义得m∥α，故D正确．
故选：D．
5．（3分）已知直线l1：2x+y+1=0和l2：2x+my﹣1=0互相平行，则l1、l2间的距离是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵直线l1：2x+y+1=0和l2：2x+my﹣1=0互相平行，∴=≠，∴m=1，
∴直线l1：2x+y+1=0，l2：2x+y﹣1=0，
则l1、l2间的距离为=，
故选：C．
本题考查平行直线的距离公式，简单题．
6．（3分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是
BC的中点，则下列叙述正确的是（）
A．CC1与B1E是异面直线B．CC1与AE是共面直线
C．AE与B1C1是异面直线D．AE与BB1是共面直线
【解答】解：在A中，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，
∴B1E⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，
∴CC1与B1E是共面直线，故A错误；
在B中，∵AE∩平面BCC1B1=E，CC1⊂平面BCC1B1，且E∉CC1，∴CC1与AE是异面直线，故B错误；
在C中，∵AE∩平面BCC 1B1=E，B1C1⊂平面BCC1B1，且E∉B1C1，∴AE与B1C1是异面直线，故C正确；
在D中，∵AE∩平面BCC1B1=E，BB1⊂平面BCC1B1，且E∉BB1，∴AE与BB1是异面直线，故D错误．
故选：C．
7．（3分）已知直线l：ax﹣y﹣a+3=0和圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0，则直线l和圆C的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．都有可能
【解答】解：直线l恒过点M（1，3），
把M（1，3）代入圆的方程左边得12+32﹣4﹣6﹣4＜0，
∴M在圆C内部，
∴直线l与圆C相交．
故选：A．
8．（3分）若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）A．1：2 B．1：C．1：D．：2
【解答】解：若圆锥的高等于底面直径，
则h=2r，
则母线l==r，
而圆锥的底面面积为πr2，
圆锥的侧面积为πrl=πr2，
故圆锥的底面积与侧面积之比为1：，
故选：C．
9．（3分）设α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同直线，则下列结论中错误的是（）
A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
B．若m∥n，则m、n与α所成的角相等
C．若α∥β，m⊂α，则m∥β
D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
【解答】解：由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同直线，知：
在A中，若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质定理得m⊥n，故A正确；
在B中，若m∥n，则由线面所成角的概念得m、n与α所成的角相等，故B正确；
在C中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故C正确；
在D中，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α与β相交或平行，故D错误．
故选：D．
10．（3分）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABC沿AC折起后，三棱锥B﹣ACD的外接球表面积为（）
A．16πB．25πC．36πD．100π
【解答】解：如图所示；
设矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
则OA=OB=OC=OD=；
∴三棱锥B﹣ACD的外接球的直径为R=，
其表面积为S=4πR2=4π•=25π．
故选：B．
11．（3分）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得弦长是，则a的值为（）
A．B．2 C．D．3
【解答】解：圆M的圆心为（0，a），半径r=a，
∴圆心M到直线x+y=0的距离d==．
∴（）2+（）2=a2，解得a=2．
故选：B．
12．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中，正确命题的个数是（）
①三棱锥A﹣CD1P的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③平面PB1D⊥平面ACD1；
④A1P与AD1所成角的范围是．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：对于①，=，C到面AD 1P的距离不变，
且三角形AD1P的面积不变．∴三棱锥A﹣D1PC的体积不变；正确；
②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得A1P ∥平面ACD1；正确．
③连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥面ACD1 ，DB1⊂平面PB1D，从而可以证明平面PB1D⊥平面ACD1；正确．
④当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，
当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，
故A1P与AD1所成角的范围是；错误；
正确的命题个数有3个．
故选：B．
二、填空题：每小题4分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．第14题图
13．（4分）两两相交的三条直线可确定1或3个平面．
【解答】解：由平面的基本性质及推论可知：
两两相交的三条直线可以确定的平面的个数为1或3．
①a∩b=P，故直线a与b确定一个平面α，
若c在平面α内，则直线a、b、c确定一个平面；
②a∩b=P，故直线a与b确定一个平面α，
若c不在平面α内，则直线a、b、c确定三个平面；如图．
故答案为：1或3．
14．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
【解答】解：由已知中的三视图可得：
该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
底面面积S=×2×1=1，
高h=1，
故体积V=Sh=，
故答案为：
15．（4分）已知圆C：x2+y2=4，则过点且与圆C相切的直线方程为x+y﹣4=0．
【解答】解：显然点A在圆上，k AC=，
∴所求直线的斜率为﹣，
∴所求直线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0．
故答案：．
16．（4分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，那么x2+y2的最小值为6﹣2．
【解答】解：圆心（2，1）到原点（0，0）的距离为，
∴圆上的点（x，y）到原点的最小距离为=﹣1，
∴x2+y2的最小值为（﹣1）2=6﹣2．
故答案为：．
17．（4分）已知过点A（3，﹣2）的直线l交x轴正半轴于点B，交直线l1：x﹣2y=0于点C，且|AB|=2|BC|，则直线l在y轴上的截距是7．
【解答】解：当直线l斜率k不存在时，
直线l的方程为x=3，
则交x轴正半轴于点B（3，0），
交直线l1：x﹣2y=0于点C（3，），
则|AB|=2，|BC|=不符合条件．
当直线l的斜率k存在时，设l的解析式为y+2=k（x﹣3），即y=kx﹣3k﹣2，
则直线l交x轴正半轴于点B（+3，0），
交直线l1：x﹣2y=0于点C（，），
分别过A点和C点做x轴的垂线，我们发现AB：BC=y A：y C，
（两个直角三角形是相似三角形所以斜边长之比等于直角边之比），
∵|AB|=2|BC|，
∴，解得k=﹣3或k=﹣（舍），
∴k=﹣3，∴y轴上的截距为﹣3k﹣2=9﹣2=7．
故答案为：7．
三、解答题：本大题共5题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．
18．（8分）直线l经过直线x﹣2y+4=0和直线x+y﹣2=0的交点，且与直线x+3y+5=0垂直，求直线l的方程．
【解答】解：由得，
∴交点坐标为（0，2），
又直线l与直线x+3y+5=0垂直，
∴直线l的斜率为3，
∴直线l的方程为y=3x+2，
即3x﹣y+2=0
19．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，AB=AC=AA1，∠BAC=90°．
（Ⅰ）求证：BA⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）求直线BC1和平面ACC1A1所成的角的正切值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵A1A⊥平面ABC，
∴BA⊥AA1，
又∵∠BAC=90°，∴BA⊥AA1，
且A1A∩AC=A，
∴BA⊥平面ACC1A1；…4分
（Ⅱ）解：∵BA⊥平面ACC1A1，
∴AC1为斜线BC1在平面ACC1A1内的射影，
∠AC1B为求直线BC1和平面ACC1A1所成的角，
在直角△BAC 1中，∠BAC1=90°，，
∴，
∴直线BC1和平面ACC1A1所成角的正切值为．…8分
20．（8分）已知圆心在x轴上且通过点的圆C与直线x=﹣1相切．（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l经过点（0，﹣2），并且被圆C截得的弦长为，求直线l 的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心的坐标为C（a，0），
则，解得a=1，
∴C（1，0），半径r=2，
∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4．…4分
（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，
此时直线l被圆C截得的弦长为，满足条件；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，
由题意得，解得，
∴直线l的方程为3x﹣4y﹣8=0
综上所述，直线l的方程为x=0或3x﹣4y﹣8=0．…8分
21．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=1，AD=2，PD与底面成30°，E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣CED的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点O，连接OC，OE，
∵OE∥AP，OE⊄面PAB，AP⊂面PAB，∴OE∥平面PAB
同理OC∥平面PAB，又∵OE∩OC=O，
∴平面OCE∥平面PAB，又∵CE⊂平面OCE，
∴CE∥平面PAB．…5分
解：（Ⅱ）∵PD与底面成30°，∴∠ADP=30°，
又∵PA⊥底面ABCD，OE∥PA，AD=2，
∴OE⊥底面ABCD，，
∴．…10分
22．（10分）过点A （﹣3，4）作圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）的切线，O 为坐标原点，切点为B ，且|AB |=3． （Ⅰ）求r 的值；
（Ⅱ）设P 是圆O 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆O 的切线l ，且l 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，设
，求
的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）的圆心为O （0，0）， 于是|OA |2=（﹣3）2+42=25，
由题设知，△ABO 是以B 为直角顶点的直角三角形， 故有
．…5分
（Ⅱ）设直线l 的方程为，即bx +ay ﹣ab=0，
则C （a ，0），D （0，b ），∴，∴．
∵直线l 与圆O 相切， ∴
，
∴a 2+b 2≥64∴， 当且仅当时取到“=”，
∴取得最小值为8．…10分
赠送初中数学几何模型【模型一】
“一线三等角”模型：
图形特征：
运用举例：
1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；
2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则
14S S += ．
l
s 4
s 3
s 2
s 1
3
2
1
3. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；
（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
B
4.如图，已知直线112y x =
+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线21
2
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P ； （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标。

5.如图，已知正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点M 在线段BF 上（不与点B 重合），连接EM ，将线段EM 绕点M 顺时针旋转90°得MN ，连接FN ．
（1）特别地，当点M 为线段BF 的中点时，通过观察、测量、推理等，猜想：∠NFC = °，
BM
NF
= ； （2）一般地，当M 为线段BF 上任一点（不与点B 重合）时，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由；
（3）进一步探究：延长FN 交CD 于点G ，求
FM
NG
的值
第21页（共21页） G
E D
A
6..如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数k y x
(k >0)的图像与AC 边交于点E 。

(1)若BF ＝1，求△OEF 的面积；
(2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由。