王高雄版《常微分方程》习题解答4.1

习题4.1
1.设和是区间上的连续函数，证明：如果在区间上有
()t x ()t y b t a ≤≤b t a ≤≤常数或
常数，则和在区间上线形无关。

()()≠t y t x ()()
t x t y ()t x ()t y b t a ≤≤证明：假设在，在区间上线形相关
()t x ()t y b t a ≤≤则存在不全为零的常数，，使得αβ()()0
=+t y t x βα那么不妨设不为零，则有
()t x ()()β
α
-=t x t y 显然为常数，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关β
α
-
()t x ()t y b t a ≤≤2.证明非齐线形方程的叠加原理：设，分别是非齐线形方程
()t x 1()t x 2
（1）()()=+++--x t a dt
x
d t a dt x d n n n n n 111()t f 1
（2）
()()=+++--x t a dt
x
d t a dt x d n n n n
n 111()t f 2的解，则+是方程 +的解。

()t x 1()t x 2()()=+++--x t a dt
x
d t a dt x d n n n n n 111()t f 1()t f 2证明：由题可知，分别是方程（1），（2）的解
()t x 1()t x 2则： （3）
()()()()()()t f t x t a dt
t x d t a dt t x d n n n n n 111
1111=+++--
（4）
()()()
()()()t f t x t a dt
t x d t a dt t x d n n n n n 221
2112=+++-- 那么由（3）+（4）得：
+()()()()()()()
()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211
211121 ()t f 1()
t f 2
即+是方程是+的解。

()t x 1()t x 2()()=+++--x t a dt
x
d t a dt x d n n n n n 111()t f 1()t f 23.试验证0的基本解组为，并求方程的通解。

=-x dt x d 22t
t e e -,=-x dt
x d 22t cos 证明：由题将代入方程0得：-=0,即是该方程的解，
t
e =-x dt
x d 22t e t e t
e 同理求得也是该方程的解
t
e -又显然线形无关，故是0的基本解组。

t t
e e -,t
t e e -,=-x dt
x
d 22由题可设所求通解为：，则有：
()=t x ()()t
t
e t c e t c -+21解之得：()()()()2211sin cos 4
1
;sin cos 41c t t e t c c t t e t c t t ++-=+--
=-故所求通解为：()t
e c e c t x t
t cos 2
121-+=-4.试验证0有基本解组t ，，并求方程
=---+x t dt dx t t dt
x d 11
122t e t-1的通解。

=---+x t dt dx t t dt
x d 1112
2解：由题将t 代入方程0得：=---+x t dt dx t t dt
x d 11
12
2
，即t 为该方程的解0111112
2=-+-=---+t t
t t t t dt dt t t dt
t d
同理也是该方程的解，又显然t ，线形无关，
t
e t
e
故t ，是方程0的基本解组
t
e =---+x t dt dx t t dt
x d 11
122由题可设所求通解为，则有：
()()()t
e t c t t c t x 21+=()()()()⎪⎩⎪⎨⎧='-'
='+'--t e t c e t c e t c e t c t
t t t cos 021
21
()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-='+'='+'1021
21t e t c t c e t c t t c t t 解之得：()()(
)
2
211,c e te
t c c t t c t t
++-=+-=--故所求通解为()()
2
211+-+=t e c t c t x t
5.以知方程0的基本解组为，求此方程适合初始条件
=-x dt
x d 22t
t e e -,的基本解组（称为标准基本解组，即有）
()()()()10,0000,10='=='=x x x x 及()10=w 并求出方程的适合初始条件的解。

()()'
='=000,0x x x x 解：时间方程0的基本解组，故存在常数使得：
t
t e e -,=-x dt
x
d 2221,c c
()t t e c e c t x -+=21于是：()t
t
e
c e c t x --='21令t=0,则有方程适合初始条件，于是有：
()()00,10='=x x 解得： 故⎪⎩⎪⎨⎧=-=+0
1
2010
201e c e c e c e c 1c 21,212==c ()t t e e t x -+=2121又该方程适合初始条件，于是：
()()10,00='=x x 解得： 故⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1
2010
201e c e c e c e c 21,2121-==c c ()t t e e t x --=2121显然，线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：
()t x 1()t x 2， ()t t e e t x -+=
2121()t t e e t x --=2
1
21而此方程同时满足初始条件，于是：
()()'
='=000,0x x x x 解得：⎪⎩⎪⎨⎧'=-=+0
020
10
0201x e c e c x e c e c 2,2002001'-='+=x x c x x c 故满足要求的解。

()t
t e x x e x x t x -'-+'+=2
20000
6.设是齐线形方程（4.2）的任意n 个解。

它们所构成的伏朗斯行列
()t x i ()n i ,,2,1 =式记为，试证明满足一阶线形方程，因而有：
()t w ()t w ()01=+'w t a w
()()()⎰=-
t
t ds
s a e
t w t w 010()b a t ,∈ 解：()()()()()()
()
()()
n n
n n n n n n n n
n n
n n n
n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t w
1
221
1111
111111----'
'
=''+
+'
''
'
=
'又满足
()t x i ()n i ,,2,1 =()
()0
1
11=+++--i n n i n n
i
n x t a dt x d t a dt x d 即
()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-=--x t a dt x d t a dt x d n n i
n n
i
n 111()()()
121-'n k t a k t w k ，，，为，加到最后一行行都乘以中第 则：()()
()
()()
()()()()t w t a t a x x x x x x x x t w n n
n n n n
n n
11111
221
11-=-'
'='----
即
则有：
()01=+'w t a w ()()
()dt
t a t w t w 1-='()
()()()()⎰-=--=t
t ds
s a t w n t w ds s a t t t w t t 0
1010
0ln ,ln 则
积分：到两边从即：
()()()⎰=-
t
t ds
s a e
t w t w 010()
b a t ,∈7.假设是二阶齐线形方程（*）的解，这里
()01≠t x ()()021=+'+''x t a x t a x
()()t a t a 21和在区间上连续，试证：（1）是方程的解的充要条件为：[
]b a ,()t x 2；（2）方程的通解可以表示为：
[][]0,,21121=+'x x w a x x w ,其中为常数,
()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰2121110exp 1c dt ds s a x c x x t t 21,c c []
b a t t ,,0∈　证：（１）[][]0
,,21121=+'x x w a x x w ()
的解。

为即(*)0,00
2121212212121211211211211212112112121x x x a x a x x a x a x x x x a x x a x x a x x a x x x x a x x a x x x x ≠=+'
+"⇔=⎪⎭⎫ ⎝⎛+'
+"⇔='
-'++'+"⇔='
-'+'"-"⇔（２）因为为方程的解，则由刘维尔公式
21,x x
()()()()⎰='
-'
⎰=''-
-t
t t
t ds
s a ds s a e
t w x x x x e t w x x x x 010********
1
2
1
:,即
两边都乘以
则有：
，于是：
2
1
1
x ()()⎰=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-t
t ds s a e x t w dt
x x d 0121
01
2
()()1
22112221
1120
10111x c dt e x c x c dt e x c x x t
t t
t ds s a ds
s a ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎰=+⎰=--
⎰⎰即：
()()()0,
1,0,10
1012
1
2
1
2
1
1221≠⎰=''
=⎰===--
⎰
t
t t
t ds s a ds
s a e x x x x t w dt e
x x x c c 又：得：取从而方程的通解可表示为：
,其中为常数,
()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰2121110exp 1c dt ds s a x c x x t t 21,c c 。

[]b a t t ,,0∈8.试证n 阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。

证：设为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，是（4.1）
()()()t x t x t x n ,,,21 ()t x 的一个解，则： （1），均为（4.1）的
()()())())(),,,,,21t x t x t x t x t x t x t x n +++ 解。

同时（1）是线形无关的。

事实上：假设存在常数，使得：
121,,,+n c c c
()()(
)())(
)
()()(
)
)()
()())()
t x c c t x c c c t x t x c t x c t x t x c t x t x c t x t x c i i
n i i n
i i n i i n i i n i i i n
i n n n 11
1
1
11
1
1
1
1
1221100
:0
+==+=+=+==+∑∑-=≠∑=∑=∑+∑=+++++++，则有：否则，若我们说：即 （*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！
从而有()0
1
=∑=t x c i i n
i 又为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，
()()()t x t x t x n ,,,21
故有：0
:,0121=====+n n c c c c 进而有 即（1）是线形无关的。