高中数学：3.1.2《指数函数》

《指数函数》教案
教学目标
1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念；
2.掌握指数函数的图象及性质；
3.初步学会运用指数函数来解决问题.
4.通过了解指数函数的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；通过展示函数图象，用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.
教学重难点
1.指数函数的定义:一般地，函数y＝a x (a>0，a≠1，x∈R)叫做指数函数.
2.指数函数y＝a x (a>0，a≠1)的图象过定点(0，1).
3.指数函数y＝a x (a>0，a≠1，x∈R)，当a>1时，在(－∞，＋∞)上是单调增函数当0<a<1时在(－∞，＋∞)上是单调减函数.
教学过程
[问题情境]印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人.这位聪明的大臣说:“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍. 直到摆满棋盘上64格”，国王说:“你的要求不高，会如愿以偿的”.于是，下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了.还没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的诺言.想一想，共需要多少粒麦子？
探究点一指数函数的概念
问题1某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，…，一个细胞分裂x次后，得到细胞的个数为y，则y与x的函数关系是什么呢？
答：x＝0，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝2×2＝4；x＝3，y＝22×2＝8，…，y＝2x.
问题2一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩留的质量约是原来的84%.这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系是怎样的？
答：设最初的质量为1，时间变化量用x表示，剩留量用y表示，则经过x年，y＝0.84x.
问题3在上述两问题关系式中，如果用字母a代替2和0.84，那么以上两个函数的解析式都可以表示成什么形式？
答：表示成y＝a x的形式.
小结：指数函数的定义:一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1，x∈R)叫做指数
函数.
问题4 指数函数的定义中为什么规定了a>0且a≠1?
答：将a 如数轴所示分为:a<0，a ＝0，0<a<1，a ＝1和a>1五部分进行讨论:
(1)如果a<0，比如y ＝(－4)x ，这时对于x ＝14，x ＝12
等，在实数范围内函数值不存在； (2)如果a ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧
当x>0时，a x ＝0，当x≤0时，a x 无意义； (3)如果a ＝1，y ＝1x ＝1，是个常值函数，没有研究的必要；
(4)如果0<a<1或a>1即a>0且a≠1，x 可以是任意实数.
例1 在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？ (1) y ＝2x ＋
2； (2)y ＝(－2)x ； (3)y ＝－2x ； (4)y ＝πx ； (5)y ＝x 2；
(6)y ＝(a －1)x (a>1，且a≠2).
解：只有(4)，(6)是指数函数，因为它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y ＝2x ·22＝4·2x ，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b ＝a －1，则y ＝b x ，b>0且b≠1，所以是.
小结：根据指数函数的定义， a 是一个常数，a x 的系数为1，且a ＞0，a≠1.指数位置是x ，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数.
跟踪训练1 指出下列函数哪些是指数函数:
(1)y ＝4x ； (2)y ＝x 4； (3)y ＝(－4)x ； (4)y ＝x x ； (5)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭
⎫a>12，且a≠1. 解：(1)、(5)为指数函数； (2)自变量在底数上，所以不
是；
(3)底数－4<0，所以不是； (4)底数x 不是常数，所
以不是.
探究点二 指数函数的图象与性质
导引为了研究指数函数的图象，我们来看下面两组指数函数的图象，第一组y ＝2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象；第二组y ＝3x ，y ＝⎝⎛⎭
⎫13x 的图象. 问题1 图象分别在哪几个象限？这说明了什么？
答：图象分布在第一、二象限，说明值域为{y|y>0}.
问题2 图象有什么特征？猜想图象的上升、下降与底数a 有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？
答：它们的图象都在x 轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x 轴；当底数大于1时图象上升，为增函数；当底数大于0小于1时图象下降，为减函数.
问题3 图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？
答：不论底数a>1还是0<a<1，图象都过定点(0，1).
问题4 函数图象有什么关系？可否利用y ＝2x 或y ＝3x 的图象画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 或y ＝⎝⎛⎭
⎫13x 的图象？
答：通过图象看出y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象关于y 轴对称，y ＝3x 与y ＝⎝⎛⎭
⎫13x 的图象也关于y 轴对称.所以能利用y ＝2x 或y ＝3x 的图象通过对称性画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 或y ＝⎝⎛⎭
⎫13x 的图象. 问题5 你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y ＝a x 的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)
答：定义域为R ，值域为{y|y>0}，过(0，1)点，a>1时为增函数，0<a<1时为减函数，没有最值，既不是奇函数也不是偶函数.
小结：指数函数的图象与性质:
例2 已知指数函数f(x)＝a x (a>0且a≠1)的图象过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.
解：将点(3，π)，代入f(x)＝a x ，得到f(3)＝π，即a 3＝π，解得:a ＝π13 ，于是f(x)＝πx
3，
所以f(0)＝π0＝1，f(1)＝π ＝3π，f(－3)＝π－1＝1π
. 小结：要求指数函数f(x)＝a x (a>0且a≠1)的解析式，只需要求出 a 的值，要求a 的值，只需一个已知条件即可.
跟踪训练2 已知指数函数y ＝(2b －3)a x 经过点(1，2)，求a ，b 的值.
解：由于函数y ＝(2b －3)a x 是指数函数，所以2b －3＝1，即b ＝2.将点(1，2)代入y ＝a x ，得a ＝2. a>1 0<a<1
图象
性质 (1)定义域:R
(2)值域:(0，＋∞)
(3)过点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1
(4)在R 上是增函数
(4)在R 上是减函数
例3 求下列函数的定义域与值域:
(1)y ＝21x －4
；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x|；(3)y ＝4x ＋2x ＋1＋1. 解：(1)令x －4≠0，得x≠4.
∴定义域为{x|x ∈R ，且x≠4}.
∵1x －4
≠0， ∴21x －4≠1，∴y ＝21x －4
的值域为{y|y>0，且y≠1}. (2)定义域为x ∈R.∵|x|≥0，∴y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x|＝⎝⎛⎭⎫32|x|≥⎝⎛⎭⎫320＝1，故y ＝⎝⎛⎭
⎫23－|x|的值域为{y|y≥1}. (3)定义域为x ∈R.
由y ＝4x ＋2x ＋
1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1＝(2x ＋1)2，
且2x >0，∴y>1.故y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为{y|y>1}.
小结：函数y ＝a f(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.求与指数函数有关的函数的值域时，要利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.
跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域:
(1)y ＝0.31x －1 ；(2)y ＝35x －1. 解：(1)由x －1≠0得x≠1，所以函数定义域为{x|x≠1}.
由1x －1
≠0得y≠1，所以函数值域为{y|y>0且y≠1}. (2)由5x －1≥0得x≥15，所以函数定义域为{x|x≥15
}. 由5x －1≥0得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}.
练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.下列各函数中，是指数函数的是
( D ) A.y ＝(－3)x B.y ＝－3x C.y ＝3x －1 D.y ＝⎝⎛⎭⎫13x
解析：只有y ＝(13
)x 符合指数函数y ＝a x (a ＞0且a≠1)的形式. 2.函数f(x)＝1－2x 的定义域是
( A ) A.(－∞，0]
B.[0，＋∞)
C.(－∞，0)
D.(－∞，＋∞)
解析：由1－2x ≥0得2x ≤1，根据y ＝2x 的图象可得x≤0，选A.
3.函数f(x)＝xa x |x|(a>1)的图象的大致形状是 ( )
解析：当x>0时，f(x)＝a x，由于a>1，函数是增函数；
当x<0时，f(x)＝－a x，与f(x)＝a x(x<0)关于x轴对称，只有选项C符合.
课堂小结：
1.判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝a x(a>0且a≠1)这一结构形式，即a x的系数是1，指数是x且系数为1.
2.指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的性质分底数a>1，0<a<1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.
3.由于指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的定义域是R，即x∈R，所以函数y＝a f(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.
4.求函数y＝a f(x)(a>0且a≠1)的值域的方法如下:
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝a t的单调性求y＝a t在t∈M上的值域.。