夏德钤《自动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】

夏德钤《⾃动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】
第4章　线性系统的根轨迹分析
1．系统的开环传递函数试证明：点在根轨迹上，并求出相应的和系统开环增益K。

证明：根据系统的开环传递函数可知，系统的开环极点为
由闭环根轨迹的相⾓条件可得：
当时，
故点在根轨迹上。

由闭环根轨迹的幅值条件可知，此时
即相应的根轨迹增益和系统开环增益
仿真曲线如图4-1所⽰。

MATLAB程序：exe402.m
２．设单位反馈控制系统的开环传递函数为
试⽤解析法绘出K*从零变到⽆穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：（﹣2＋j0），（0＋j1），（﹣3＋j2）
解：闭环传递函数为
则闭环特征⽅程为
闭环特征根为
当。

可逐个描点得闭环根轨迹如图4-2所⽰，从图4-2
中明显可见，只有（－2，j0）在
根轨迹上。

图4-2
３．设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘制闭环根轨迹图。

解：（1）系统的开环传递函数
令为根轨迹增益。

①实轴上的根轨迹：
[0，－
2]，
[－5，－∞）。

②根轨迹的渐近线：
③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜
解得
④根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征⽅程
令s＝jω，将其代⼊上式可得
即
由于ω≠0，故可解得
则根轨迹与虚轴的交点为±j3.16。

根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-3所⽰。

图4-3 系统（1）概略根轨迹图（2）系统的开环传递函数
①实轴上的根轨迹
[0，－2]，[－3，－5]。

③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜
通过试凑可得d＝－0.89。

根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-4所⽰。

图4-4 系统（2）概略根轨迹图（3）系统的开环传递函数
①实轴上的根轨迹：[－1，－3]，[－10，－5]。

②根轨迹的渐近线：
③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜
通过试凑可得d＝－7.27。

根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-5
所⽰。

图4-5 系统（3）概略根轨迹图
（4）系统的开环传递函数
实轴上的根轨迹为[－2，－1]，系统概略根轨迹如图4-6所⽰。

图4-6 系统（4
）概略根轨迹图
仿真曲线如图4-7～图4-10所⽰。

MATTAR 程序：exe408.m。