西安工业大学高数期末考试题附标准答案试题

高等数学(H)期末参考答案
、填空题(每小题 3分，共36 分)
u = ln ..x 2
• y 2
• z 2
，则它在点 M °(1, -1,1)处地方向导数地最大值为
f (x, y) =2x 2 ax xy 2
2y 在点(1, -1)处取得极值，则常数 a =「5.
7.设平面曲线L 为下半圆周y 二 - .1 - x
2
8.设匕为曲面z = . x 2 y 2
在0岂z 乞1地部分，贝U I I xdS 二0 .
10.设y 1, y 2, y 是微分方程 9 p(x)y ' q(x)y 二f (x)地三个不同地解，且 y —社=常 y 2 -
y 3
数，则微分方程地通解为
C’y , -y 2) • C 2(y 2 - y 3) * % .
2 2
1 2
，贝U [ (x + y ) ds = (1 -ds = ? 4 兀=三
5.空 线 y 2 二 2x, z 2 = 1「x 在点 (>,J 处地切线方程为
1 x --
2 1
=_y -1 .2 z ―— 2 1 一 2
i 2
2 2x _x 2
6.改变积分次序：I dx ,
f (x, y)
dy -
1 1 • 1 _y
°
dy 亠口？ f(x,
y)dx .
L 1 1.lim 1 —
X f
1 xy-
V
二 lim i 1 — xy
丿劣xy 丿 Jlim 1 丄 阚I
xy 丿
Hr 1
2.函数z
二z(x, y)由方程e^ sin 》=0确定，则 —=
x
cy
F y
F
1 y
-cos- x x xz xe
co 显
X ~2 xz x e
3.设函数
4.设函数 9.设 f (x) n -x
e
1,
--•：：： x ■ 0 ,则其以2兀为周期地傅里叶级数在处收敛于 0 岂 x ：二'
11.函数f(x) =
1 展开为x 地幕级数地形式为 a 」yx n
(-2, 2).
2—x n^2n41
1
12.微分方程y y = xe x
地通解为
Cx - xe x
x
-------
二、计算下列各题(每小题
6分，共18分)
1•设z 二f(y,e xy
)，y =
(x)，其中f,「均为一阶可微函数，求 x
解:虫=f 「
yx 2 y
f 2 e xy
( y xy)
dx
x
二
2
f 2 e xy
( (x) X : (x))
x
2.求曲面z =4
(x 2
y 2
)与平面z = 2所围立体地体积. 2
解：所围立体在xoy 面地投影域D ： x
2
• y 2
_ 4，所围立体地体积
V = M[4_；(x 2
+y 2
)] _2Rxdy = 2JJdxdy —
1 2
二.2
2
d ： r rdr =8 二-4 二-4 ■:
解：设曲面在第一卦限地切点地坐标为
M (x, y, z)，令
F (x, y,z) = x 2
2y 2
3z 2
「66，
则切平面地法向量
n = (F x , F y , F Z )M 二(2x, 4y, 6z),
已知平面x y ^1地法向量
n 1 =(1, 1, 1)
依题意n//ni ，即 空=41 =央令t
1 1 1
代入曲面方程中解地 x =6, y =3, z=2，即切点坐标为 M (6, 3, 2). 三、计算下列各题(每小题
6分，共18分)
1.设门是由锥面
.x 2 y 2与半球面z= J -x 2 -y 2围成地空间区域,
dz dx
(x 2 y 2)dxdy
D
3.在曲面x 2 2y 2
3z-66上第一卦限部分求一
点，使该点地切平面与 已知平面
2x s
(x)_ (1 _x)2 _1 x
x
2
(5 (1)
)，
1
s(2
)
二
x+ x 2
_ I X
(2n-1)于 . n 1 2 _(1 - X) 1 x=
2
边界地外侧，求曲面积分
[jxdydz- ydzdx • zdxdy .
Q(x, y,z)=y ， R(x, y,z) = z ，由高斯公式有
cP cQ
cR ■i I xdydz ydzdx zdxdy 二 (
)dv ¥ ¥
r r
r L\、
x _y
_z
= 3 ! i idv = 3 o dr °4
d [；r 2
sin ： dr
Q
=3 2 二(1 2
) [=(2-、2)二 2 3 13 5
7
2.写出级数--飞 N •…地通项，判别该级数地敛散性
.若级数收敛时，试求其和
2 2 2 2
limUnl^im 1
,
n = u n n
=2 2n —1
2
由比值审敛法知该级数收敛.令
解：已知 P(x, y,z) = x , 解：该数项级数地通项为 U n 二
2n -1 2n
;级数为正项级数，由于
s(x) oO
oo
八(2n -1) x n
= 2x'二 n
x
n -1
oO
n
=2x®(x)-s 2(x) x (—1,1)，
x :: X
o
3(t)dt 二 I 。

nt
n
」dt 八X
n =1
s i (x)
dx I 0
x
1
s1(t)dt
二厂屛，
所以 od
S 2(x) = \ x n
n =1
x 1 -
3•求微分方程y ” 一 3y 「2y = 2e x
地通解•
解：微分方程对应地齐次线性微分方程地特征方程r
2
_3r • 2 = 0地特征根为
r i =1, a =2 , f(x)=2e
x
地冬=1为特征方程地单根，则原方程地特解为
y *二Axe x
,
代入原方程中得 A - -2,齐次线性微分方程地通解为 丫二Ge
x
• C 2e
2x
，所以原方程地通解
为 b5E2RGbCAP
y =丫 y * =G e x C 2e 2x -2xe x .
四、计算下列各题(每小题
6分，共18分)
2 2
1.求函数 f (x, y)二 4(x - y) - x - y 地极值.
&
亠十上
”f x (x,y)
=0 'x=
2
解：由于
f
x
(x, y) = 4 — 2x ， f y (x, y) = —4 — 2y ，令」£/ ,得驻八、、丿 ,
f y (x, y) = 0 y = -2
又 A
= f xx (x, y) =-2 , B =
f
xy
(x,y) = 0 , C = f yy (x,y) = -2，及(B - AC)(2,_2)= -4
,
则点(2, -2)位极大值点，极大值为
f(2, -2) =4[2-(-2)] -22 -(-2)2
= 8.
r [ -2, 2)，即级数地收敛域为[-1, 3).
x
c 2z
3.设z 二sin(xy) •「(x,)，其中(u, v)具有二阶偏导数，求
’一
y
c^cy
CO
2.求幕级数7
n 经
(x-1)n
n2n 地收敛半径及收敛域
00
(x _1)n
解：令 t = X -1，则 7 '
)
oO
=11
由于
a
n 1 lim F
a
n2n
二 lim -7 n >:=(n 1)2n 1
则收敛半径R = 2 .又当t =「2时,
收敛，当t = 2时，级数J -发散，所以
解：-z = y cos(xy) 1(x, -) —2(x, —), x y y y
2
五、(本题5分)求函数f (x, y) = x 2
- y 2 2在椭圆域 ^{(x, y)| x 2 y
< 1}上地最 4
大值和最小值.
'f x (x, y) = 0
解：由于f x (x,y)=2x ，f y (x,y) = —2y ，令」 ，在D 内求得驻点(0,0).
f y (x, y) = 0
在D 地边界上，设
2
2
2
2
y
F(x, y,)二 x-y 2 …(x
1)，
4
F x (x, y,人)=2x + 28 = 0 1 *F y (x,y,九)=—2y +— 丸y =0
2
F^x, y,九) = x 2
+ 才 一1 = 0
当X 式0，由(1)得九=-1,代入(2)得y = 0 ,在代入(3)得;同理当
甘0
由于
f(0,0) =2， f(_1,0) =3，
f(0, 一2)= - 2，
所以最大值为3，最小值为- 2 .
六、(本题5分)设在上半平面 D ={( x, y)| y 0}内，函数f (x, y)具有连续偏导数，且 对任意地t 0都有f (tx,ty^t^f(x, y)，证明对D 内地任意分段光滑地有向简单闭曲线
L ,都有 .L yf (x, y) dx - xf (x, y) dy = 0 .P
1Ean q FDPw
解： 由格林公式，对D 内地任意分段光滑地有向简单闭曲线L ，
L
yf (x, y)dx -xf (x, y)dy
「![ -f (x, y) -xf x (x, y) - f(x, y) - yf y (x, y)]dxdy
D 1
由于函数f(x, y)具有连续偏导数，且对任意地
t . 0都有f (tx, ty) = < f (x,
-2
I z XX cos(xy) -xysin(xy) ^(x,—)( "
1
~2 y x 1 x ：
2(x,-) — G(X,—)( y y y x
~2 y (1
)
⑵ (*)
y)，即
t2f(x,y) = f(tx,ty)
上式两端对t求导有
2tf (x, y) =xf i(tx,ty) yf2(tx,ty)
特取t =1得
2f (x,y) =xf x(x,y) yf y(x, y)
由(*)式既有
L yf(x, y)dx -xf(x, y)dy =0
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=[-2f (x, y) -xf x(x, y) - yf y(x, y)]dxdy
D1。