高考数学二轮复习 考前专题一 集合与常用逻辑用语、不等式 第1讲 集合与常用逻辑用语讲学案 理

第1讲 集合与常用逻辑用语
1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题．
2．高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．
热点一 集合的关系及运算 1．集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U . (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．集合运算中的常用方法
(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解． (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解． (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解．
例1 (1)(2017届湖南师大附中月考)已知集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{y |y ＝2x
，x ≥0}，则A ∩B 等于( ) A ．∅
B ．{x |1<x <2}
C ．{x |1≤x <2}
D ．{x |1<x ≤2} 答案 C
解析 由已知可得A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥1}⇒A ∩B ＝{x |1≤x <2}，故选C.
(2)(2017届潍坊临朐县月考)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“理想集合”．给出下列4个集合：
①M ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫(x ，y )⎪⎪⎪
y ＝
1x ；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x }；③M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}；④M ＝{(x ，y )|y ＝lg x }．
其中所有“理想集合”的序号是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 答案 B
解析 由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又由x 1x 2＋y 1y 2＝0可知，OA →⊥OB →
.①项，y ＝1x
是以x ，
y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，所以当点A ，B 在同一支上时，∠AOB <90°，
当点A ，B 不在同一支上时，∠AOB >90°，不存在OA →⊥OB →
，故不正确；②项，通过对其图象的分析发现，对于任意的点A 都能找到对应的点B ，使得OA →⊥OB →
成立，故正确；③项，由图象可得直角始终存在，故正确；④项，由图象可知，点(1,0)在曲线上，不存在另外一个点使得OA →⊥OB →
成立，故错误．综合②③正确，故选B.
思维升华 (1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn 图或数轴求解．
(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．
跟踪演练1 (1)(2017届云南曲靖一中月考)已知集合A ＝{x ∈N |x 2
－5x ＋4≤0}，B ＝{x |x 2
－4＝0}，下列结论成立的是( ) A ．B ⊆A B ．A ∪B ＝A C ．A ∩B ＝A D ．A ∩B ＝{2}
(2)用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B )，
若A ＝
{1,2}，B ＝{x |(x 2
＋ax )(x 2
＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值构成的集合是S ，则C (S )等于( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 答案 (1)D (2)B
解析 (1)A ＝{x ∈N |1≤x ≤4}，
B ＝{x |x ＝±2}⇒A ∩B ＝{2}，故选D.
(2)由A ＝{1,2}，得C (A )＝2， 由A *B ＝1，得C (B )＝1或C (B )＝3. 由(x 2
＋ax )(x 2
＋ax ＋2)＝0， 得x 2
＋ax ＝0或x 2
＋ax ＋2＝0.
当C (B )＝1时，方程(x 2
＋ax )(x 2
＋ax ＋2)＝0只有实根x ＝0，这时a ＝0；
当C (B )＝3时，必有a ≠0，这时x 2
＋ax ＝0有两个不相等的实根x 1＝0，x 2＝－a ，方程x
2
＋ax ＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x 1＝0，x 2＝－a .由Δ＝a 2
－8＝0，得a ＝±22，可验证均满足题意，故S ＝{－22，0,22}，故C (S )＝3. 热点二 四种命题与充要条件
1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．
2．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．例2 (1)(2017届抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．在下列四个命题中，为p的逆否命题的是( )
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分
答案 C
解析根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p：若及格分低于70分，则A，B，C 都没有及格，p的逆否命题是：若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分．故选C.
(2)(2017届四川雅安中学月考)“m≤ʃ21(4－3x2)d x”是“函数f(x)＝2x＋1
2x+m
的值不小于4”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析m≤ʃ21(4－3x2)d x＝(4x－x3)|21＝－3，
f(x)≥22x·1
2x+m
＝22－m，若f(x)的值不小于4，
则22－m≥4，解得m≤－2，故选A.
思维升华充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p ⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
跟踪演练2 (1)有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”
B．命题“∃x0∈R，使得2x20－1<0”的否定是：“∀x∈R,2x2－1<0”
C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题
(2)(2017届湖南长沙一中月考)在△ABC 中，“A <B <C ”是“cos 2A >cos 2B >cos 2C ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 (1)C (2)C
解析 (1) 对于A 选项，命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ≠0，则x ≠0”，否命题是条件和结论的双重否定，故A 错误；对于B 选项，命题“∃x 0∈R ，使2x 2
0－1<0”的否定是“∀x ∈R,2x 2
－1≥0”，故B 错误；选项C 的逆命题为真命题，故C 正确；选项D 的原命题是假命题，则逆否命题与之对应，也是假命题，故D 错误，故选C. (2)由正弦定理，可得在△ABC 中，若A <B <C ， 则sin A <sin B <sin C ，则sin 2
A <sin 2
B <sin 2
C ， 由倍角公式可得1－cos 2A 2<1－cos 2B 2<1－cos 2C 2，
可得cos 2A >cos 2B >cos 2C ，反之也成立．
所以在△ABC 中，“A <B <C ”是“cos 2A >cos 2B >cos 2C ”的充要条件，故选C. 热点三 逻辑联结词、量词
1．命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．
2．命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．
3．“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”．
例3 (1)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
，x <0，
m －x 2
，x ≥0，给出下列两个命题：
命题p ：若m ＝1
4
，则f (f (－1))＝0；
命题q ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解． 那么，下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．(綈p )∧q
C ．p ∧(綈q )
D ．(綈p )∧(綈q )
(2)(2017届安徽百校论坛联考)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－2
2x >0，则下列叙
述正确的是( )
A ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－2
2x ≤0
B ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－2
2x <0
C ．綈p ：∃x 0∈(－∞，1]，log 3(x ＋2)－2
2
x ≤0
D ．綈p 是假命题 答案 (1)C (2)D
解析 (1) 若m ＝1
4
，则f (f (－1))＝f
⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12＝0，
故命题p 为真命题．当x <0时，f (x )＝2x >0；当x ≥0时，若m <0，f (x )＝m －x 2
<0.故∀m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0无解，从而命题q 为假命题，所以p ∧(綈q )为真命题，故选C.
(2)綈p ：∃x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－22x ≤0，又函数f (x )＝log 3(x ＋2)－2
2x 在(1，＋∞)
上是增函数，所以f (x )>f (1)＝0，故p 是真命题，即綈p 是假命题．故选D.
思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立．
(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．
跟踪演练3 (1)(2017届黑吉两省八校期中)已知：命题p ：若函数f (x )＝x 2
＋|x －a |是偶函数，则a ＝0；命题q ：∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx 2
－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中，为真命题的是( ) A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④
(2)(2017届徐州丰县民族中学调研)若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为_________． 答案 (1)D (2)[－1,3]
解析 (1) 因为f (－x )＝f (x )，所以1＋|a ＋1|＝1＋|a －1|，解得a ＝0，故命题p 为真命题；又因为当Δ＝4－4m ≥0，即m ≤1时，方程有解，所以q 为假命题． 所以p ∨q 与(綈p )∨(綈q )为真命题，故选D. (2)由题设可得(1－a )2
－4≤0，解得－1≤a ≤3.
真题体验
1．(2017·北京改编)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝_________. 答案 {x |－2<x <－1}
解析 ∵A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}， ∴A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．
2．(2017·天津改编)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要 解析 ∵⎪
⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12， ∴－π12<θ－π12<π12，即0＜θ＜π
6.
显然当0＜θ＜π6时，sin θ＜1
2
成立．
但当sin θ＜12时，由周期函数的性质知，0＜θ＜π
6不一定成立．
故0＜θ＜π6是sin θ＜1
2
的充分不必要条件，
即“⎪
⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分不必要条件． 3．(2017·山东改编)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2
－x ＋1≥0；命题q ：若a 2
<b 2
，则a <b .下列命题为真命题的是______．(填序号)
①p ∧q ； ②p ∧(綈q )； ③(綈p )∧q ； ④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②
解析 ∵一元二次方程x 2
－x ＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2
－4×1×1＜0，∴x 2
－x ＋1＞0恒成立， ∴p 为真命题，綈p 为假命题．
∵当a ＝－1，b ＝－2时，(－1)2
＜(－2)2
，但－1＞－2， ∴q 为假命题，綈q 为真命题．
根据真值表可知，p ∧(綈q )为真命题，p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )为假命题． 4．(2016·浙江改编)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *
，使得n ≥x 2
”的否定形式是____________． 答案 ∃x 0∈R ，∀n ∈N *
，使得n ＜x 2
解析 原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *
，使得n ≥x 2
，其否定形式为特称命题(存在性命题)，条件中改量词，并否定结论． 押题预测
1．若集合A ＝{x |1≤2x
≤8}，B ＝{x |log 2(x 2
－x )>1}，则A ∩B 等于( )
A ．(2,3]
B ．[2,3]
C ．(－∞，0)∪(0,2]
D ．(－∞，－1)∪[0,3]
押题依据 集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题．集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇． 答案 A
解析 A ＝[0,3]．又log 2(x 2
－x )>log 22，即x 2
－x >2， 解得x <－1或x >2，所以B ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 所以A ∩B ＝(2,3]．
2．已知“x >k ”是“
3
x ＋1
<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1]
押题依据 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念． 答案 A 解析 由
3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2
x ＋1
<0， 所以x <－1或x >2. 因为“x >k ”是“
3
x ＋1
<1”的充分不必要条件，所以k ≥2. 3．给出下列四个命题，其中正确的命题有( )
①函数y ＝sin 2x ＋cos 2x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π8；
②a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，集合A ＝{x |a 1x ＋b 1>0}，B ＝{x |a 2x ＋b 2>0}，则“a 1a 2＝b 1
b 2
”是“A ＝B ”的必要不充分条件；
③若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题；
④命题“∃x 0∈R ，x 2
0＋x 0＋1<0”的否定为“∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1<0”． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
押题依据 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题． 答案 C
解析 ①y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
(k ∈Z )，
又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因此函数的单调递增区间是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π8；
②充分性不成立，如a 1＝1，b 1＝1，a 2＝－1，b 2＝－1，满足a 1a 2＝b 1
b 2
，但A ＝{x |x ＋1>0}＝(－1，＋∞)，B ＝{x |－x －1>0}＝(－∞，－1)，A ≠B ； 必要性成立：A ＝B ⇒a 1a 2>0⇒－b 1a 1＝－b 2a 2⇒a 1a 2＝b 1b 2
；
③当p ∨q 为真命题时，p ，q 不一定全真，因此p ∧q 不一定为真命题； ④命题“∃x 0∈R ，x 2
0＋x 0＋1<0”的否定应为“∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1≥0”． 所以①②为真，故选C.
4．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的一个拓扑的集合τ是______．(填序号)
押题依据以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口．
答案②④
解析①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，所以①错；②④都满足集合X上的一个拓扑集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，所以③错．
A组专题通关
1．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于( ) A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}
答案 C
解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B，
∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.
2．设集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，B＝{x|y＝lg(－x)}，则A∩B等于( )
A．(0,1] B．[－1,0)
C．[－1,0] D．(－∞，1]
答案 B
解析因为A＝[－1,1]，B＝(－∞，0)，
所以A∩B＝[－1,0)．故选B.
3．(2017届河南息县第一高级中学检测)已知集合A＝{x|x2－4<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A ∩(∁R B)等于( )
A．(－2,0) B．(－2，－1)
C．(－2，－1] D．(－2,2)
答案 C
解析 A ＝{x |x 2
－4<0}＝{x |－2<x <2}， 因为B ＝{x |－1<x ≤5}， 所以∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}， 所以A ∩(∁R B )＝(－2，－1]，故选C.
4．(2017·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2
＋y 2
＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B
解析 集合A 表示以原点O 为圆心，1为半径的圆上的所有点的集合， 集合B 表示直线y ＝x 上的所有点的集合． 结合图形可知，直线与圆有两个交点， 所以A ∩B 中元素的个数为2. 故选B.
5．(2017·山东)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2
＞b 2
.下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧(綈q )
C ．(綈p )∧q
D ．(綈p )∧(綈q ) 答案 B
解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．
∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12
＝1，(－2)2
＝4， 此时a 2
＜b 2
，
∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题．
∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题． 故选B.
6．(2017·全国Ⅰ)设有下面四个命题：
p 1：若复数z 满足1
z ∈R ，则z ∈R ；
p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －
2； p 4：若复数z ∈R ，则z －
∈R .
其中的真命题为( )
A ．p 1，p 3
B ．p 1，p 4
C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4 答案 B
解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，
z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．
对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i
a 2＋
b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题；
对于p 2，若z 2
∈R ，即(a ＋b i)2
＝a 2
＋2ab i －b 2
∈R ， 则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ， 所以p 2为假命题；
对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇏a 1＝a 2，b 1＝－
b 2，所以p 3为假命题；
对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B. 7．(2017届安徽淮北一中模拟)“a 2
＝1”是“函数f (x )＝ln(1＋ax )－ln(1＋x )为奇函数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件 答案 B
解析 当a ＝1时，f (x )＝0(x >－1)为非奇非偶函数， 当a ＝－1时，f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )为奇函数， 故为必要不充分条件． 8．下列四种说法中：
①命题“∃x 0∈R ，x 2
0－x 0>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2
－x <0”； ②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件； ③已知幂函数f (x )＝x a 的图象经过点⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
2，
22，则f (4)的值等于12； ④已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，则向量a 在向量b 方向上的投影是2
5.
其中说法错误的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C
解析 ①项，命题“∃x 0∈R ，x 2
0－x 0>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2
－x ≤0”，故①项错误；②项，充分性：“p 且q 为真”，则p 真，q 真，故p 或q 为真，充分性成立；必要性：“p 或
q 为真”，则p 与q 其中一个命题可以为假命题，故命题“p 且q 为真”不一定成立，故必要性不成立，故“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件，故②项错误；③项，幂函数f (x )＝x a 的图象经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，22，则f (2)＝2a ＝22⇒a ＝－12，则f (4)＝12，故③项正确；④项，向量a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，则a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a·b |b |＝25
＝255，故④项错误．故选C.
9．(2017届汕头期末)下列判断错误的是( )
A ．命题“∃x 0>1，x 20－1>0”的否定是“∀x >1，x 2－1≤0”
B ．“x ＝2”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件
C ．若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 均为假命题
D ．命题“若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0”的否命题为“若a ·b ≠0，则a ≠0且b ≠0” 答案 C
解析 A 中，由特称命题(存在性命题)的否定为全称命题知A 正确；B 中，由x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1，所以“x ＝2”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，故B 正确；C 中，“p ∧q ”为假命题，则p ，q 中可能一真一假，也可能p ，q 均为假命题，故C 错；D 中，由否命题的概念知，D 正确，故选C.
10．设全集U ＝R ，函数f (x )＝lg(|x ＋1|＋a －1)(a <1)的定义域为A ，集合B ＝{x |cos πx ＝1}，若(∁U A )∩B 恰好有两个元素，则a 的取值的集合为__________．
答案 {a |－2<a ≤0}
解析 由|x ＋1|＋a －1>0，可得x >－a 或x <a －2，故∁U A ＝[a －2，－a ]．而B ＝{x |x ＝2k ，
k ∈Z }，注意到[a －2，－a ]关于x ＝－1对称，所以由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥0，－a <2，
即－2<a ≤0.
11．已知m ∈R ，命题p ：对任意实数x ，不等式x 2－2x －1≥m 2
－3m 恒成立，若綈p 为真命题，则m 的取值范围是__________．
答案 {m |m <1或m >2}
解析 对任意x ∈R ，不等式x 2－2x －1≥m 2－3m 恒成立，所以[(x －1)2－2]min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，
解得1≤m ≤2.因为綈p 为真命题，所以m <1或m >2.
12．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______________．
答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 0≤a ≤12
解析 p ：|4x －3|≤1，∴12
≤x ≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，∴a ≤x ≤a ＋1. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，
∴q 是p 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12
，a ＋1≥1，
∴0≤a ≤12
. B 组 能力提高
13．(2017届重庆市巴蜀中学期中)已知集合A ＝{x |x >2}，集合B ＝{x |x >3}，以下命题正确的个数是( )
①∃x 0∈A ，x 0∉B ；②∃x 0∈B ，x 0∉A ；③∀x ∈A 都有x ∈B ；④∀x ∈B 都有x ∈A .
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
答案 C
解析 因为A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x >3}，所以B ⊆A ，即B 是A 的子集，①④正确，②③错误，故选C.
14．(2017届湖南师大附中月考)如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，例如
[3.27]＝3，[0.6]＝0，那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |<1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由[x ]的定义，当[x ]＝[y ]时，则|x －y |<1，若|x －y |<1时，比如x ＝3.5，y ＝2.9，此时[x ]＝3，[y ]＝2，[x ]≠[y ]，所以“[x ]＝[y ]”是“|x －y |<1”的充分不必要条件．
15．(2017届河南百校联盟质监)命题“∃x 0∈R ，a sin x 0＋cos x 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围是_________．
答案 (－3，3)
解析 由题命题“∀x ∈R ，a sin x ＋cos x <2为真命题， 则a 2＋1<2，∴－3<a <3，即实数a 的取值范围是(－3，3)．
16．(2017届福建连城县二中期中)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，a b
∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题：
①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；④数域必为无限集．
其中正确的命题的序号是________．
答案 ①④
解析 当a ＝b 时，a －b ＝0，a b ＝1∈P ，故可知①正确；当a ＝1，b ＝2，12
∉Z 不满足条件，故可知②不正确；对③，当M 中多一个元素i 则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知③不正确；根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确．。