2021-2022学年上海市格致中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)

2021-2022学年上海市格致中学高二上学期10月月考数学试题
一、填空题
1．22i -的虚部是_____． 【答案】2-
【分析】利用复数的概念求解.
【详解】解：因为复数为22i -，
所以其虚部是2-， 故答案为：2-
2．如果()1sin 2A π+=-，那么cos 2A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 【答案】12
- 【分析】条件和要求的式子分别先运用诱导公式化简，然后再代值即可.
【详解】由()11sin sin ,sin 22
π+=-=-∴=A A A ， 而1cos sin 22A A π⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭
． 故答案为：12
-. 3．如图所示，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的A B C '''∆，已知6A C ''=，4B C ''=，则AB 边的实际长度是______.
【答案】10
【详解】由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC ＝6，BC ＝4×
2＝8，则AB 2210AC BC +=.
点睛：1.用斜二测法得直观图：“保平行，横不变，纵减半”是画图的标准；
2.平面多边形的斜二测画法的直观图与原图的面积关系：一个平面多边形的面积为S 原，它的斜二测画法直观图的面积为S 直，则有S 直2原(或S 原＝2直). 4．已知A ，B 是圆心为C 55AB =AC CB ⋅________.
【答案】52- 【分析】由题设可得60ACB ∠=︒，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，圆C 的半径为5，且5AB =，可得60ACB ∠=︒，
∴15||||cos 5522
CA CA AC CB CB C A B B C ⋅=-⋅=-∠=-⨯⨯=-. 故答案为：52
-. 5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，12BB =，则异面直线1A B 和1AD 所成角为______．
【答案】4arccos 5
【分析】连接111、A C BC ，由11//AD BC 可得11A BC ∠是异面直线1AD 与1A B 所成角，在11A BC 中由余弦定理可得答案.
【详解】连接111、A C BC ，因为11//AD BC ，可得11A BC ∠是异面直线1AD 与1A B 所成角，
又2211125A B C B ==+=，112AC =
， 由余弦定理得222111*********cos 25
255+-+-∠===⋅⋅⋅⋅A B BC AC A BC A B BC ， 故异面直线1A B 和1AD 所成角为4arccos 5
． 故答案为：4arccos 5
．
6．过长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有
________条．
【答案】12
【详解】试题分析：在平面的一侧，、、、的中点分别为E 、F 、G 、H ，则可得到平面
，所以EF 、FG 、GH 、HE 、EG 都是平面EFGH 的直线，所以他们都与面平行，共六条，同理，平面的另一侧也有六条直线与平面平行，
共有12条．
【解析】直线与平面的位置关系．
7．在四面体ABCD 中，8AB CD ==，且棱AB 与CD 所成的角为60︒，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则MN =______．
【答案】4或43 【分析】BD 中点P ，连接PN ，MP ，在MPN △中利用余弦定理解三角形，得MN 的长.
【详解】取BD 中点P ，连接PN ，MP ，
因为M ，N 分别为BC 和AD 的中点，
所以PN 和MP 分别是ABD 和BCD 的中位线
所以NP 平行且等于12
AB ，MP 平行且等于12CD ， 所以4NP =，4MP =，因为AB 与CD 成60︒角，所以60MPN ∠=︒或120︒，
由余弦定理得2222cos MN MP NP MP NP MPN =+-⨯⨯∠，
所以216162440.516MN =+-⨯⨯⨯=，或216162440.548MN =++⨯⨯⨯=，
所以4MN =或43．
8．如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，AO α⊥，O 为垂足，BC 为α内的一条直线，60ABC ∠=︒，45OBC ∠=︒，则斜线AB 和平面α所成角是___________.
【答案】45︒
【分析】过O 作OD BC ⊥于D ，连接AD ，则可证BC AD ⊥，设BD a =，则利用特殊角的性质得出2AB a =，2OB a =.从而求得cos ABO ∠，即可得解.
【详解】过O 作OD BC ⊥于D ，连接AD ，如图所示：
因为AO α⊥，BC α⊂，
所以AO BC ⊥，又OD BC ⊥，AO OD O ⋂=，所以BC ⊥平面AOD ，
因为AD ⊂平面AOD ，所以BC AD ⊥.
设BD a =，因为60ABC ∠=︒，45OBC ∠=︒，
所以22OB BD a =，22AB BD a ==.
所以在RT ABO 中，2cos OB ABO AB ∠==45ABO ∠=︒. 因为AO α⊥，所以ABO ∠为AB 与平面α所成的角.
所以AB 与平面α所成的角为45︒.
故答案为：45︒.
9．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，217CD =，则该二面角的大小为________． 【答案】60︒ 【分析】利用向量运算表示CD ,结合条件的垂直关系和长度关系可求. 【详解】由条件，知0CA AB ⋅=，0AB BD ⋅=，
CD CA AB BD =++.
∴2222222CD CA AB BD CA AB AB BD CA BD
=+++⋅+⋅+⋅()2
222648268cos ,217CA BD =+++⨯⨯=. ∴1cos ,2
CA BD =-，又∵0,180CA BD ︒≤≤︒，∴,120CA BD =︒，∴二面角的大小为60︒. 故答案为：60︒.
【点睛】本题主要考查二面角的求解，二面角大小的求解首选向量法，明确向量夹角与二面角之间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
10．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱1BB ，1DD 上的动点，且1BE D F λ==102λ⎛
<≤⎫ ⎪⎝⎭
．设EF 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，则αβ+的最小值为_____．
【答案】90︒
【分析】在1AA 上取,M N ，找出与α、β相等的角，进而根据三角形全等证得αβ=.在Rt EMF △中，可求2tan 1(12)1αλ=+-≥，所以min 45α=︒，即可得出答案.
【详解】
在1AA 上取,M N ，使AM BE =、11=A N FD ，连接MF 、NE .
因为AM BE =，11//AA BB ，所以四边形ABEM 是平行四边形，所以//EM AB ，且=1ME AB =，所
以MEF ∠即为EF 与AB 所成的角，即MEF α∠=，
同理可得，111FN A D ==，EFN β∠=.
由已知可得，AB ⊥平面11ADD A ，FM ⊂平面11ADD A ，所以AB FM ⊥，
又//EM AB ，所以EM FM ⊥，所以EMF 为直角三角形.
同理可得，ENF △为直角三角形.
由=1ME FN =，EF EF =，可得EMF ≌FNE ，所以MEF EFN ∠=∠，即αβ=．
又在MFE 中，1ME =，2221(12)MF MN NF λ=+=+-.
则在Rt EMF △中，有2tan 1(12)1M M F E
αλ==+-≥，所以min 45α=︒， 因此min min ()(2)90αβα+==︒．
故答案为：90︒.
11．如图，三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥底面ABC ，90ACB ︒∠=，16,2,===AC BC CC P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值是_______．
【答案】52
【分析】把平面11A C B 沿着1BC 展开与1CBC △在同一平面上，利用余弦定理进行求解即可.
【详解】把平面11A C B 沿着1BC 展开与1CBC △在同一平面上，
连接1A C ，则1CP PA +的最小值是1A C ，
因为90ACB ︒∠=，三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱，
16,AC BC C C ===1A B =
12BC ==，
因为2221111A C BC A B +=，所以111AC BC ⊥，
所以111190,6AC B AC ︒∠==，
所以114590135CC A ︒︒︒∠=+=，
由余弦定理得22211111112cos13550AC AC CC AC CC ︒=+-⋅=，
所以1
AC =1CP PA +的最小值是
故答案为：12．在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，M 是棱1CC 的中点，N 是侧面11B BCC 内的动点，且满足直线1//A N 平面1AD M ，当直线1A N 与平面11B BCC 所成角最小时，记过点D M N ，，的平面截正方体1111—ABCD A B C D 所得到的截面为Ω，所有Ω的面积组成的集合记为S ，则S =_______．
【答案】98⎫
⎪⎬⎪⎪⎩⎭ 【分析】取E 为1BB 中点，F 为11C B 中点，进而证明平面1//A EF 平面1AMD ，故N 在EF 上，再根据直线1A N 与平面11B BCC 所成角的正弦值为11111sin A B A NB A N
∠=得N 与,E F 重合时，直线1A N 与平面11B BCC 所成角最小，再分别讨论N 的两种位置情况即可得答案.
【详解】取E 为1BB 中点，F 为11C B 中点，
如图，由正方体的性质得11//EM A D ，11EM A D =
所以四边形11A EMD 是平行四边形，所以11//A E MD ，
因为1A E ⊄平面1AMD ，1MD ⊂平面1AMD ，所以1//A E 平面1AMD ；
由中位线性质得：1//EF BC ，又因为11//AD BC ，所以1//EF AD ，因为EF ⊄平面1AMD ，1AD ⊂平面1AMD ，所以//EF 平面1AMD ，
又因为1A E EF E ⋂=，所以平面1//A EF 平面1AMD ，
所以N 在EF 上，
又因为直线1A N 与平面11B BCC 所成角为11A NB ∠，11111sin A B A NB A N
∠=
，
所以当1A N 最大时，直线1A N 与平面11B BCC 所成角最小，
即N 与,E F 重合时，直线1A N 与平面11B BCC 所成角最小，
当N 与E 重合时，过点D M N ，，的平面截正方体1111—ABCD A B C D 所得到的截面为四边形AEMD ，其面积为52； 当N 与F 重合时，过点D M N ，，的平面截正方体1111—ABCD A B C D 所得到的截面为梯形1A FMD ，该梯形为等腰梯形，上底为
22，下底为2，腰为52，其面积为98； 故59,28S ⎧⎫
⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
． 故答案为：59,28⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭
【点睛】本题考查线面所成角，面面平行的判定，正方体中的截面问题，考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意寻找N 在平面11B BCC 内的轨迹EF ，进而根据线面角的概念求解.
二、单选题
13．设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要的条件
C ．必要不充分的条件
D ．既不充分也不必要的条件
【答案】C
【分析】利用线面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.
【详解】若l a ⊥，l b ⊥，当//a b 时，直线l 可以与平面α平行，此时//l α，不能推出l α⊥， 若l α⊥，,a b 是平面α内两条不同的直线，则l a ⊥，l b ⊥，
所以“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的必要不充分的条件.
故选：C
14．关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：
①可能是0︒的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180︒的角； 其中正确判断的个数是（ ）
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
【答案】A
【分析】结合直角的各种位置由投影的概念判断．
【详解】直角AOB 在定平面a 内的射影有下列几种情况：
当角所在的平面与平面α垂直时，直角的射影可能是0︒的角，可能是180︒的角，如图1，图2，故①⑤正确；
直角AOB ∠在平面β内，//βα，则直角AOB 在定平面a 内的射影是直角，如图3，故③正确；
当角所在的平面与平面α不平行也不垂直时，平面（或角）转到一定程度，
直角的射影可能是锐角或钝角如图4图5，，故②④正确．
故选：A ．
15．已知平面l αβ=，B ，C l ∈，A α∈，且A l ∉，D β∈，且D l ∉，则下列叙述错误的是（ ）
A ．直线AD 与BC 是异面直线
B ．直线CD 在α上的射影可能与AB 平行
C ．过A
D 有且只有一个平面与BC 平行
D ．过AD 有且只有一个平面与BC 垂直
【答案】D
【分析】利用反证法判断选项A 正确；举例说明选项B 正确；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断选项C 正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项D 错误．
【详解】对于选项A ，若直线AD 与BC 是共面直线，设AD 与BC 共面γ，
不共线的三点B ，C ，D 均在β与γ内，β∴与γ重合，
又不共线的三点A ，B ，C 均在α与γ内，α与γ重合，则α与β重合，与l α
β=矛盾， 故直线AD 与BC 是异面直线，所以选项A 正确；
对于选项B ，当AB l ⊥，CD l ⊥，且二面角l αβ--为锐二面角时，直线CD 在α上的射影与AB 平行，所以选项B 正确；
对于选项C ，在AD 上任取一点，过该点作BC 的平行线l '，则由AD 与l '确定一个平面，该平面与BC 平行，
若过AD 另外有平面与BC 平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC 外的一点A 有两条直线与BC 平行，
与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项C 正确；
对于选项D ，只有当AD 与BC 异面垂直时，过AD 有且只有一个平面与BC ，否则，不存在过AD 与BC 垂直的平面，故选项D 错误．
故选：D ．
【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
16．某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21方向，且塔顶的仰角为81，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39方向，则
该塔的高度约为（ ） A ．265米 B ．279米 C ．292米 D ．306米
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度． 【详解】如图所示，
△ABC 中，AB ＝1000，∠ACB ＝21°+39°＝60°，∠ABC ＝90°﹣39°＝51°； 由正弦定理得，1000
5160AC sin sin =︒︒
， 所以AC 10005160sin sin ⋅︒
=
︒
；
Rt △ACD 中，∠CAD ＝18°， 所以CD ＝AC •tan 18°
10005160sin sin ⋅︒
=⨯︒
tan 18°10000.77710.8660⨯=⨯0.3249≈292（米）；
所以该塔的高度约为292米． 故选：C ．
【点睛】本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．
三、解答题
17．已知向量(3,2)a =，(2,1)b =-． （1）若k +a b 与ka b +平行，求k 的值； （2）若a b λ-与a b λ+垂直，求λ的值． 【答案】（1）1k =±（2）12λ=-【分析】（1）根据向量平行的坐标表示计算可得结果； （2）根据向量垂直的坐标表示计算可得结果. 【详解】（1）因为向量(3,2)a =，(2,1)b =-， 所以(32,2)a kb k k +=+-，(32,21)ka b k k +=+-，
因为k +a b 与ka b +平行，所以(32)(21)(2)(32)0k k k k +---+=，即21k =， 所以1k =±.
（2）因为向量(3,2)a =，(2,1)b =-，
所以a b λ-(32,21)λλ=-+，a b λ+(32,2)λλ=+-，
因为a b λ-与a b λ+垂直，所以(32,21)λλ-+(32,2)λλ⋅+-0=， 所以(32)(32)(21)(2)0λλλλ-+++-=，解得12λ=-±.
18．如图所示，有矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，2AD =，1AB =，1PA =，E 为BC 的中点．
（1）求点A 到平面PED 的距离d ；
（2）探究在直线PE 上是否存在点H ，使得//AH 面PCD ？若存在，求出此时PH 的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6
d =
（2）存在，且3PH =【分析】（1）求出三棱锥P ADE -的体积以及PDE △的面积，利用等体积法可求得A 到平面PED 的距离d ；
（2）分别取PA 、PD 的中点F 、G ，连接EF 、FG 、CG ，证明出四边形CEFG 为平行四边形，可得出//EF CG ，延长PE 至点H ，使得PE EH =，利用中位线的性质得出//EF CG ，进而得出//AH CG ，利用线面平行的判定定理可得出//AH 面PCD ，并求出此时PH 的长，即可得出结论.
【详解】（1）如下图所示，连接AE ，E 为BC 的中点，则1
12
ADE S AD AB =
⋅=△， 1PA =且PA ⊥平面ABCD ，故111
11333P ADE ADE V S PA -=⋅=⨯⨯=△，
PA ⊥平面ABCD ，AD 、AE ⊂平面ABCD ，则PA AD ⊥，PA AE ⊥，
由勾股定理可得222AE AB BE =+=223PE PA AE +
222DE CD CE +225PD PA AD =+=
所以，222PE DE PD +=，故DE PE ⊥，所以，16
2PDE S DE PE =
⋅=
△
故161
363A PDE PDE V S d d -=⋅==△，解得63
d =
； （2）分别取PA 、PD 的中点F 、G ，连接EF 、FG 、CG ，
F 、
G 分别为PA 、PD 的中点，则//FG AD 且1
2
FG AD =
， 因为四边形ABCD 为矩形，则//BC AD 且BC AD =，
E 为BC 的中点，则//CE AD 且1
2
CE AD =
，故//CE FG 且CE FG =， 所以，四边形CEFG 为平行四边形，所以，//EF CG ，
延长PE 至点H ，使得PE EH =，则E 为PH 的中点， 又因为F 为PA 的中点，故//AH EF ，//AH CG ∴，
因为AH ⊄平面PCD ，CG ⊂平面PCD ，故//AH 平面PCD ，此时223PH PE ==.
19．如图，在斜三棱柱111ABC A B C 中，侧面11ACC A 为菱形，1AC 与1A C 交于点O ，111AC B C ⊥，16A C =，18AC =，1
60BAC ∠=︒.
（1）求直线1BB 与1A C 所成角的正弦值；
（2）求二面角1C A B A --的正切值. 【答案】（1）45；（2）
83
9
. 【分析】(1)利用11//BB AA ，将所求角转化为1AA O ∠，然后在1AA O 中求1AA O ∠的正弦值； (2)先证明AO ⊥平面1A BC ，再过点O 作1OH A B ⊥，垂足为H ，连接AH ，再证明OHA ∠是二面角1C A B A --的平面角，最后在AOH △中求OHA ∠的正切值.
【详解】(1)因为斜三棱柱111ABC A B C ，所以11//BB AA ， 所以1AA O ∠就是直线1BB 与1A C 所成角， 又侧面11ACC A 为菱形，所以11AC AC ⊥， 因为16A C =，18AC =，所以1
3AO =，4AO =， 在直角1AA O 中，22
11
5AA AO AO =+=，所以114
sin 5
AO AA O AA ∠==， 故直线1BB 与1A C 所成角的正弦值为4
5
. (2)由(1)知11AC AC ⊥，
因为111ABC A B C 为斜三棱柱，所以11//BC B C ， 又111AC B C ⊥，所以1AC BC ⊥，
又BC ，1AC ⊂平面1A BC ，1AC BC C =， 所以1AC ⊥平面1A BC ，有AO ⊥平面1A BC . 过点O 作1OH A B ⊥，垂足为H ，连接AH .
由于AO ⊥平面1A BC ，1A B ⊂平面1A BC ，故1AO A B ⊥， 又1OH A B ⊥，OH ，AO ⊂平面AOH ，OH
O AO =，
所以1A B ⊥平面AOH ，又AH ⊂平面AOH ，所以1A B AH ⊥，
所以OHA ∠是二面角1C A B A --的平面角，
在1H A O △中，因为11
60H BAC OA ∠=∠=︒，所以133sin 2
O OA OA H H ∠==， 又AO ⊥平面1A BC ，OH ⊂平面1A BC ，故AO OH ⊥，
在AOH △中，483
tan 9332OA OHA OH ∠=
==
，
即二面角1C A B A --的正切值为83
9
. 20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，
//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >
(1)求证：CD ⊥平面11ADD A
(2)若直线1BB 与平面1AB C 所成角的正弦值为6
7
，求k 的值
(3)现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）.
【答案】(1)证明见解析 (2)1k =
(3)3种，2
257226,018
()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨
⎪+>
⎪⎩
．
【分析】（1）取DC 的中点E ，连接BE ，证明CE BE ⊥，得AD CD ⊥，再得1AA 与CD 垂直后可得证线面垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角，从而可得k 值； （3）把直棱柱的各面拼接成四边形后可得，然后计算各个表面积，比较可得()f k ．
【详解】（1）取DC 的中点E ，连接BE ， 因为//AB ED ，3AB ED k ==， 所以四边形ABED 是平行四边形， 所以//BE AD ，且4BE AD k ==，
所以222222(4)(3)(5)BE EC k k k BC +=+==， 所以90BEC ∠=︒，所以BE CD ⊥， 又因为//BE AD ，所以CD AD ⊥．
因为侧棱1AA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以1AA CD ⊥， 因为1AA AD A ⋂=，1,AA AD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ．
（2）
以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则
11(4,0,0),(0,6,0),(4,3,1),(4,0,1)A k C k B k k A k ．
所以(4,6,0)AC k k =-，1(0,3,1)AB k =，1(0,0,1)AA =． 设平面1AB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则146030
n AC kx ky n AB ky z ⎧⋅=-+=⎪⎨
⋅=+=⎪⎩，
取2y =，则6z k =-，3x =．所以(3,2,6)n k =-． 设1AA 与平面1AB C 所成角为θ， 则1121||66
sin |cos ,|7
||||3613AA n k AA n AA n k θ⋅=<>===+，解得1k =，
故所求1k =．
（3）由题意可以左侧面11ADD A 重合拼接，或右侧面11BCC D 重合拼接，或侧面11CDD C 重合拼接（这是五棱柱，舍去），或上、下底分别拼成一个平行四边形或一个矩形（与左右侧面重合拼接相同），也可以上下底面重合拼接，共3种方案，
114ADD A S k =，113ABB A S k =，115BCC B S k =，116CDD C S k =，1111
21
(36)4182
ABCD A B C D S S k k k k ==
+⨯=， 四棱柱1111ABCD A B C D -的全面积是23618S k k =+，
左侧面11ADD A 重合拼接，
1121227228ADD A S S S k k =-=+，
右侧面11BCC D 重合拼接，
1122227226BCC B S S S k k =-=+，
上下底面重合拼接，
23223636ABCD S S S k k =-=+，
2272263636k k k k +>+，518k >
，2272263636k k k k +≤+，5018
k <≤， 所以2
257226,018
()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨
⎪+>
⎪⎩
．。