2019年高考全国卷Ⅲ理科数学与答案

2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共60 分。

在每小题给出的四个选项
要求的。

1 ．已知集合
A { x|1，
0，
1，2} ，B { x|x w 1}，贝y A n B=
A．{ －1 ，0，1}B．{0，1}C．{－1，1}D
2 ．若z(1 i)
2i
，
则z
A ．－1－i
B ．－1＋i C．1 －i D
3 ．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古代文学瑰宝，并称
中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 位学生，其中
梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生有80 位，阅读过《西游
-1 -1
C. a e , b 1
D. a e , b 1
3
2 x
7.函数y x x在［6,6］的图象大致为
2 2
8 . 如图，点N为正方形ABCD的中心，AECD为正三角形，平面ECD丄
面ABCD，M是线段ED的中点，贝V
A. BM = EN，且直线BM , EN是相交直线
B . BM比N，且直线BM , EN是相交直线
C. BM = EN，且直线BM , EN是异面直线
D. BM 比N，且直线BM , EN是异面直线
9 .执行右边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值为
A. 21 24
B. 2
1 25
C. 21
26
D. 21
27
22
10 .双曲线
X
C :
4
y
2
1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为
坐标原
点. 若|P0 ||PF
|，则△ PFO的面积为
A. 3 2
B.
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共20分。

13 •已知a , b 为单位向量，且
a b 0，若c
则M 的坐标为 ______________
16 •学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型•如图，该模型为长方体
ABCD - A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥 0 — EFGH 后所得的几何体，其中 0为长
的中心，E , F , G , H 分别为所在棱的中点， AB BC 6 cm , AA 1 4 cr
打印所用的原料密度为 0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的
质量为 ____________ g • 三、解答题：共 70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第
17~
都必须作答。

第
22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共 60分。

17 • （ 12 分）
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将 200
组100只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液， B 组小鼠给服乙离子溶液•每只小鼠
给
尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比•根据实验 到如下直方图:
其中所有正确结论的编号是 A .①④
B .②③
C .①②③
14 •记S n 为等差数列｛a .｝的前n 项和，若a i 0
, a
2
3a i ，则
S 5
2
5
X
15 •设F i , F 2为椭圆C :
36 2
y
1的两个焦点，
20
M 为C 上一点且在第一象限
2a - 5b ，贝U cos a ,
19 • ( 12 分)
图1是由矩形 ADEB , Rt △ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 =60 °将其沿 AB , BC 折起使得 BE 与BF 重合，连结 DG ，如图2 .
(1 )证明：图 2中的A , C , D , G 四点共面，且平面
20 . ( 12 分)
j
3 2
已知 f (x) 2x ax b .
(1)讨论f (x)的单调性；
值；若不存在，说明理由. 21 . ( 12 分)
2
已知曲线
C : y
—,D 为直线y
2
1 上的动点，过 D 作C 的两条切线
2
(1)证明 :直线 AB 过定点；
ABC 丄平面BCGI
(2)是否存在 a , b ，使得f (x)在区间［0,1］的最小值为一
1且最大值为
(2)求图2中的二面角
D -------- E
(2)若以
5
E(0,)
2
|为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按
22 .［选修4—4 :坐标系与参数方程］(10分)
如图，在极坐标系Ox中，A(2,0) , B( 2,—), C( 2,——),D(2,)，弧
4 4
60
、选择题
二、填空题 13 .
14 . 4
三、
17 .
18 .
解答题 (12 分) 由已知得 a 0.35 . 0.70 a b 1
0.05
0.15
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
15. (3, 15)
0.20 0.15，故
0.70 0.10 .
5. C
10 . A
11
.
12 . D
16 .
118.8
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2 0.15
3 0.20
4 0.30
5 0.20
乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3 0.05 4 0.10
5 0.15
(12 分)
(1) 由题设及正弦定理得
0.10
7 0.05
4.05
6 0.35
0.20
8 0.15
6.00
因为
因为
(2) sin Asin
2
C
sin B . A sin A 0，所以 sin 2 ” A C
B C 180，可得 sin ----------------
2 B 1 故sin —二一，因此 B
2 2 B
cos 0 , 2
由题设及(
B COS — 2 1 )知厶AB
C 的面积S
ABC
sin Bsin A .
B ,故 cos -
2
B 2sin — cos
2 2
所以EH 丄平面ABC .
20 . ( 12 分)
f (1)
2 a b .
若a 0，则当x ( a
,0) U( )时，
3 f (x)
0 ;当 x
故 f (x)在(，0), a
(,)单调递增，在 3
a
(0,)单调递减；
3
若 a 0 , f (x)在( ,)单调递增；
若a 0，则当x ( a
,3)U
(0,)时，
f (x)
0 ；当 x 故 f (x)在(~),
3
(0,)单调递增，在
a
(―,0)单调递减. 3
(2)满足题设条件的 a , b 存在.
(i)当a < 0时，由
(1)知，f (x)在［0,1］单调递增，所以
令 f (x) 0 ,
f(x)在[0,1]
a
(0,)
时，f C
3
a
(,0)时，f (x
3
由已知，菱形 BFGC 的边长为 2，/EBC = 60 uuu
以H 为坐标原点，HC 的方向为 x 轴的正方向，
UULT
(1,0, 3) , AC (2, ,可求得 BH 1 , EH
建立如图所示的空间直角坐标 _ uur C(1,0,0) , G(2,0, 3) , CG 1,0).
设平面ACGD 的法向量为
UULT CG n
UULT AC n
n (x,y,z)，则
0, 0, 即 x 3z
2x y
0, 0.
所以可取
(3,6,
3).
又平面BCGE 的法向量为 所以cos
m, n
m n |m|| n|
m (0,1,0). 3 2
因此二面角 B - CG - A 的大小为 30 °
(1) f (x)
2
6x 2 ax 2x(3x
a).
此时a , b满足题设条件当且仅当 b 1 , 2 a b 1，即
整理得2tX i 2y i 1 0 .
设B(X2, y2)，同理可得2tX2 2y 1 0 •
故直线AB的方程为2tx 2y 1 0 •
1
所以直线AB过定点（0, ）•
2
1 2
因此，四边形ADBE的面积S |AB|(d1 d2) (t 3) t 1 •
2
uuu uuu uuuu 2uuu
由于EM AB，而EM (t,t 2) , AB与向量(1,t)平行，所以t 当t 0时，S 3 ；当t 1时，S 4 2
因此，四边形ADBE的面积为3或4.2 •
所以M 1的极坐标方程为2cos （0 < W —），M 2的极坐标方程为
4
极坐标方程为2cos ( < < )•
4
(2 )设P（,），由题设及（ 1 )知
若0 <W —，则2cos3，解得
46
若<
A
< ——，贝U 2sin
A
3，解得或一y tx
1
2，伯2
由2可X2tx 10 •
x
y
2
2
于是x1X
22t , x1x2 1 , y1 y2t(X1X
2)1
2t 1 ,
|AB|12t | X1X2 | 1 t2厂
•（为
2
X2)4X1X2
2
2(t1)
•1
（2）由（1）得直线AB的方程为y tx •
2
设d1, d2分别为D , E至U直线AB的距离，则
2
(t 22 • （10 分）
（1）由题设可得，弧A B , 2cos , 2sin ,Be , C D所在圆的极坐标方程为
2cos •
2
2
[(x 2) (y 1) (z a)]
2 2 2
(x 2) (y 1) (z a) 2(x 2)( y 1) 2(x 2)( z a) 2( y 1)(z
w 3[(x2
2)(y21)(z
2 a)],
22(2
2
a) r r — r 4 a
由已知得(x2)(y1)(z a) > —，当且仅当x , y
3 3
22 2 「，，亠，
2
(2 a)
因此（X2)(y1)(z a）最小值为
2
3由题设知(2 a)> 1，解得a w - 3或a > 1 .
3 3。