2016年北京市初三数学一模试题29T新定义题汇编(学生版)

2016北京市初三数学一模新定义题汇编
（2016朝阳一模29）．在平面直角坐标系xOy 中,A （t ,0），B （
，0)，对于线段AB 和
x 轴上方的点P 给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P 为AB 的“等角点”．
（1）若,在点302C ⎛⎫
⎪⎝⎭，，D ⎫⎪⎪
⎝⎭,32E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
中,线段AB 的“等角点”是 ；
（2)直线MN 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，点M 的坐标是(6，0)，∠OMN=30°．
①线段AB 的“等角点”P 在直线MN 上，且∠ABP =90°,求点P 的坐标； ②在①的条件下，过点B 作BQ ⊥P A ，交MN 于点Q ，求∠AQB 的度数；
③若线段AB 的所有“等角点"都在△MON 内部，则t 的取值范围是 ．
3t
32t
（2016东城一模29）．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ,给出如下定义：若存在过
点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线.
（1）当⊙O 的半径为1时，
○
1分别判断在点D （，1
4
），E （0,
，F (4，0）中，是⊙O 的相邻点 有__________；
○，2请从○，1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相
邻线,并说明你的作图过程。

○
3点P 在直线3y x =-+上,若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围； （2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1
，直线3
y x =-
+与x 轴，y 轴分别交于点M ,N ,若线段．．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．
图1 备用图1
2
1
备用图2
(2016丰台一模29）．如图，点P （ x , y 1)与Q （x , y 2）分别是两个函数图象C 1与C 2上的
任一点. 当a ≤ x ≤ b 时，有—1 ≤ y 1 — y 2 ≤ 1成立，则称这两个函数在a ≤ x ≤ b 上是“相邻函数",否则称它们在a ≤ x ≤ b 上是“非相邻函数"。

例如，点P (x ， y 1）与Q （x , y 2)分别是两个函数y = 3x +1与y = 2x — 1图象上的任一点,当—3 ≤ x ≤ -1时，y 1 — y 2 = (3x + 1) — （2x - 1) = x + 2，通过构造函数y = x + 2并研究它在—3 ≤ x ≤ -1上的性质，得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1,所以—1 ≤ y 1 — y 2 ≤ 1成立,因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ —1上是“相邻函数”.
(1)判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在－2 ≤ x ≤ 0上是否为“相邻函数”，并说明理由； （2）若函数y = x 2 - x 与y = x - a 在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数"，求a 的取值范围； (3）若函数y =
x
a
与y =－2x + 4在1 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数",直接写出a 的最大值与最小值。

（2016平谷一模29）．对于两个已知图形G 1，G 2，在G 1上任取．．一点P ，在G 2上任取．．一点Q ，当线段PQ 的长度最小时，我们称这个最小长度为G 1，G 2的“密距”，用字母d 表示；当线段PQ 的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形G 1，G 2的“疏距”，用字母f 表示．例如，当(1,2)M ，(2,2)N 时，点O 与线．段．MN ．．的“密距”为5，点O 与线．段．MN ．．的“疏距”为22．
（1)已知，在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -,()0,4B ，()2,0C ，()0,1D ,
①点O 与线段AB 的“密距”为，“疏距”为;
②线段AB 与△COD 的“密距"为，“疏距"为;
（2）直线2y x b =+与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ，以()0,1C -为圆心,1为半径作圆，当
⊙C 与线段EF 的“密距"0〈d 〈1时，求⊙C 与线段EF 的“疏距”f 的取值范围．
备用图
（2016延庆一模28）．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (x ，y ）和Q (x ，y ′）,给出如下定义：
如果()
()0'0y x y y x ⎧⎪=⎨-⎪⎩
≥＜，那么称点Q 为点P 的“妫川伴侣”．
例如:点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（－5，6）的“妫川伴侣” 为点（－5，－6）．
（1)① 点（2，1)的“妫川伴侣”为 ;
② 如果点A （3，－1），B (－1，3)的“妫川伴侣"中有一个在函数3
y x
=
的图象上，那么这个点是 (填“点A ”或“点B ”）．
（2)①点M *（－1，－2）的“妫川伴侣”点M 的坐标为 ；
② 如果点N *（m +1,2）是一次函数y = x + 3图象上点N 的“妫川伴侣”, 求点N 的坐标．
（3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“妫川伴侣”Q 的纵坐标
y ′的取值范围是－4＜y ′≤4,那么实数a 的取值范围是 ．
()
（2016怀柔一模29）．29．给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点,点Q 为
G 2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值时，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的“近距离”；如果线段PQ 的长度存在最大值时，就称该最大值为两个图形G 1和G 2之间的“远距离” ．
请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题:
在平面直角坐标系xOy 中，点A （-4， 3)，B （-4，—3），C （4，—3)，D （4， 3）． （1)请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD ，直接写出线段AB 和线段CD 的“近距离”和“远距离”． （2）设直线b x y +=
3
4
（b 〉
0）与x 轴,y 轴分别交于点E ，F ，若线段EF 与四边形ABCD 的“近距离”是1,求它们的“远距离” ；
(3)在平面直角坐标系xOy 中，有一个矩形GHMN,若此矩形至少有一个顶点在以O 为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内。

将四边形ABCD 绕着点O 旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形GHMN 的“远距离"的最大值是 ；“近距离"的最小值是 ．
（2016房山一模29）．在平面直角坐标系xoy 中，对于任意三点A ，B ，C 给出如下
定义:如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A ，B ，C 三点都在正方形的内部或边界上,那么称该正方形为点A ，B ，C 的外延正方形,在点A,B ，C 所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A,B ，C 的最佳外延正方形.例如，图1中的正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2 ,A 3B 3CD 3都是点A ，B ，C 的外延正方形，正方形A 3B 3CD 3是点A ，B,C 的最佳外延正方形.
(图1） （图2)
（1)如图1,点A （-1，0），B （2,4），C （0，t ）(t 为整数）。

① 如果t =3，则点A,B,C 的最佳外延正方形的面积是 ； ② 如果点A ，B ，C 的最佳外延正方形的面积是25，且使点C 在最佳外延正
方形的一边上，请写出一个符合题意的t 值 ；
（图3 ) （图4)
x
y
1
2345–1–2–3–4–5
1
2
3
4
5
–1
–2–3
–4
–5
B 1
C 1B 2C 2C B 3
o
A 2
D 3A 1
A 3D 1
D 2A B
y
1
2345–1–2–3–4–5
1
2
3
4
5
–1
–2–3
–4
–5D
o
(2)如图3，已知点M （3，0），N （0，4），P （x ，y ）是抛物线y=x 2-2x —3上一点，求点M ，N,P 的最佳外延正方形的面积以及点P 的横坐标x 的取值范围；
（3)如图4，已知点E （m ，n ）在函数x
6
y （x 〉0)的图象上,且点D 的坐标为（1，
1），设点O ,D ，E 的最佳外延正方形的边长为a ,请直接写出a 的取值范围.
（2016海淀一模29）．在平面直角坐标系中,⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C
不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下:若为 直线PC 与⊙C 的一个交点，满足，则称 为点P 关于⊙C 的限距点,右图为点P 及其关于⊙C 的限 距点的示意图．
（1） 当⊙O 的半径为1时．
① 分别判断点M ,N ，T 关
于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；
②点D 的坐标为（2，0),DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的 边上.若点P 关于⊙O 的限距点存在，求点的横坐标的取值范围;
（2） 保持（1）中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E 的方向
运动，⊙C 的圆心C 的坐标为（1,0），半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答。

温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分,两题均答不重复计分.
问题1
问题2
若点P 关于⊙C 的限距点存在,且随点P 的运动所形成的路径长为,则r 的最小值为__________． 若点P 关于⊙C 的限距点不存在，则r 的取值范围为________。

xOy P '2r PP r '≤≤P 'P '(3,4)5
(,0)2
(1,2)P 'P 'P 'P 'r πP '
（2016燕山一模29）．在平面直角坐标系xOy 中,给出如下定义：若点P 在图形M 上,点Q
在图形N 上,称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的密距，记为d （M ,N ）．特别地，若图形M ，N 有公共点，规定d (M ，N ）＝0． （1) 如图1,⊙O 的半径为2，
①点A (0，1)，B (4,3），则d （A ,⊙O )＝ ，d （B ,⊙O )＝ ． ②已知直线l ：b x y +=
43与⊙O 的密距d （l ,⊙O ）＝5
6
，求b 的值． (2） 如图2，C 为x 轴正半轴上一点，⊙C 的半径为1，直线3
3
433+=x y －
与x 轴交于点D ,与y 轴交于点E ，线段．．DE 与⊙C 的密距d (DE ,⊙C )<2
1
．请直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围．
E 1y
x
O
D
C
图2
图1
12
y
x
O
A B
(2016石景山一模29）．在平面直角坐标系xOy 中，图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点
),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，
则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最 大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如右 图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=x l ;在y 轴 上的投影长度404=-=y l ．
（1）已知点)3,3(A ,)1,4(B ．如图1所示，若图形W
为⊙OAB ，则=x l ，=y l ．
(2）已知点)0,4(C ,点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为⊙OCD ．当y x l l =时，求
点D 的坐标．
（3）若图形W 为函数2
x y =）（b x a ≤≤的图象，其中0a b ≤<．当该图形
满足1≤=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．
图1
(2016西城一模29）．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ，如果线段OP 与图形W 无公共点，则称点P 为关于图形W 的“阳光点”；如果线段OP 与图形W 有公共点，则称点P 为关于图形W 的“阴影点"． （1）如图1,已知点()13A ，，()11B ，,连接AB
①在()11,4P ，()21,2P ，()32,3P ，()42,1P 这四个点中，关于线段AB 的“阳光点”是； ②线段A 1B 1∥AB;11A B 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段11A B 向上或向下平移时，都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”．若11A B 的长为4，且点1A 在1B 的上方，则点1A 的坐标为___________________; （2）如图2,已知点()13C ，，
C 与y 轴相切于点
D ．若
E 的半径为
3
2
,圆心E
在直线l y =+：上，且E 上的所有点都是关于C 的“阴影点”，求圆心E 的横坐标
的取值范围； （3）如图3,
M 的半径是3，点M 到原点的距离为5．点N 是M 上到原点距离最近的
点，点Q 和T 是坐标平面内的两个动点，且M 上的所有点都是关于NQT ∆的“阴影点”，
直接写出NQT ∆的周长的最小值．
图1图2图3
x
x
1
1
（2016通州一模29）．对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点,那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图,在平面直角坐标系xOy中，
矩形ABCD的顶点A
，2)，顶点C、D在x轴上,且OC=OD。

(1)当⊙P的半径为4时,
①在P1（0，3-），P2
（3)，P3
(-,1）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是_________________________；
②如果点P
在直线1
3
y x
=-+上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的
坐标;
（2)已知点P在y轴上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，如果⊙P与直线AD没有公共点，直接写出点P的纵坐标m的取值范围.
（2016门头沟一模29）．如图1，P 为∠MON 平分线OC 上一点,以P 为顶点的∠APB 两边
分别与射线OM 和ON 交于A 、B 两点，如果∠APB 在绕点P 旋转时始终满足OA ·OB =OP 2,我们就把∠APB 叫做∠MON 的关联角．
图1 图2 图3
（1)如图2,P 为∠MON 平分线OC 上一点，过P 作PB ⊥ON 于B ，AP ⊥OC 于P ，那
么∠APB ∠MON 的关联角（填“是”或“不是”）．
（2）① 如图3,如果∠MON =60°，OP =2，∠APB 是∠MON 的关联角,连接AB ，求△AOB
的面积和∠APB 的度数；
② 如果∠MON =α°（0°＜α°＜90°）,OP =m ,∠APB 是∠MON 的关联角,直接用含
有α和m 的代数式表示△AOB 的面积．
(3）如图4,点C 是函数2
y x
(x ＞0）图象上一个动点,过点C 的直线CD 分别交x 轴和y 轴于A ,B 两点，且满足BC =2CA ,直接写出∠AOB 的关联角∠APB 的顶点P 的坐标．
图4
A B
O M
N
C
P
A N M O C
P
B
A
O
M C
N
P B
O
x
y
C
（2016顺义一模29）．在平面直角坐标系xOy 中，点P （a ，b ）的“变换点”Q 的坐标定义如下：当a b ≥时,
Q 点坐标为（b ，—a ）；当a b <时,Q 点坐标为（a ,-b ）． （1）求（—2，3），(6,-1）的变换点坐标；
（2）已知直线l 与x 轴交于点A （4,0），与y 轴交于点B （0，2）．若直线l 上所有点的变换点组成一个新的图形,记作图形W ，请画出图形W ，并简要说明画图的思路;
（3）若抛物线2
34
y x c =-
+与图形W 有三个交点，请直接写出c 的取值范围．
（2016大兴一模29）． 设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就说y 是x 的函数，记作()=y f x .在函数()=y f x 中,当自变量=x a 时,相应的函数值y 可以表示为()f a 。

例如：函数2()23=--f x x x ，当4=x 时，2
(4)42435=-⨯-=f 在平面直角坐标系xOy 中，对于函数的零点给出如下定义：
如果函数()=y f x 在≤≤a x b 的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线，并且().()0f a f b ，那么函数()=y f x 在≤≤a x b 的范围内有零点，即存在c （≤≤a c b ）,使()f c =0，则c 叫做这个函数的零点，c 也是方程()0=f x 在≤≤a x b 范围内的根。

例如：二次函数2
()23=--f x x x 的图象如图所示 观察可知:(2)0-f ，(1)0,f 则(2).(1)0-f f 。

所以函数2()23=--f x x x 在21-≤≤x 范围内有零点.
由于(1)0-=f ，所以,1-是2
()23=--f x x x 的零点, 1-也是方程2230--=x x 的根。

(1) 观察函数1()=y f x 的图象，回答下列问题：
①()().f a f b ______0(“＜”“＞”或“=”）
②在≤≤a x b 范围内1()=y f x 的零点的个数是 _____.
（2）已知函数222()1)2)==----y f x a x a a 的零点为1x ,2x
且121x x .
①求零点为1x ，2x (用a 表示)；
②在平面直角坐标xOy 中,在x 轴上A, B 两点表示的数是零点1x ，2x ，点 P 为线段AB 上的一个动点（P 点与A 、B 两点不重合)，在x 轴上方作等边△APM 和等边△BPN ，记线段MN 的中点为Q ,若a 是整数，求抛物线2y 的表达式并直接写出线段PQ 长的取值范围。

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