2020年下半年教资考试初中数学真题及答案

2020年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题（初级中学）
注意事项：
1. 考试时间为120分钟，满分150分。

2. 请按规定在答题卡上填涂、作答。

在试卷上作答无效，不予评分。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。

错选、多选或未选均无分。

1. 极限x
x x
x x 2tan 3sin lim 0++→的值是（ ）。

A. 34
B. 2
3
C. ∞
D. 不存在 2. 设α为向量m = (2,2,1)和n = (-1,2,2)的夹角，则αcos 是（ ）。

A.
31 B. 94 C. 9
5
D. 33
3. 设()x
x f 1
=
，(]1,0∈x ，则下列不正确的是（ ）。

A. ()x f 在(]1,0上连续 B. ()x f 在(]1,0上一致连续 C. ()x f 在(]1,0上可导 D. ()x f 在(]1,0上单调递减 4. 空间曲面2542
2
2
=+-z y x 被平面3-=x 截得的曲线是（ ）。

A. 椭圆
B. 抛物线
C. 双曲线
D. 圆 5. 甲乙两位选手通过五局三胜制比赛争夺1000元奖金，前三局比赛结果为甲二胜一负，现因故停止比赛，设在每局比赛中，甲乙获胜的概率都是
2
1
，如果按照甲乙最终获胜的概率大小分配奖金，甲应得奖金为（ ）。

A. 500元
B. 600元
C. 666元
D. 750元
6. 已知球面方程为12
2
2
+++z y x ，在z 轴上一点P 作球面的切线与球面相切与点M ，线段PM 长为22，则在点P 的坐标(0,0,z)中，z 的值为（ ）。

A.
2 B. 2 C.
3 D. 4
7. 编制数学测试卷的步骤一般为（ ）。

A. 制定命题原则，明确测试目的，编拟双向细目表，精选试题
B. 明确测试目的，制定命题原则，精选试题，编拟双向细目表
C. 明确测试目的，制定命题原则，编拟双向细目表，精选试题
D. 明确测试目的，制定命题原则，编拟双向细目表，精选试题 8. 解二元一次方程组用到的数学方法主要是（ ）。

A. 降次
B. 放缩
C. 消元
D. 归纳
二、简答题（本大题共5 小题，每小题7分，共 35分）
9. 计算行列式
5
317317517537
531。

10. 设函数()x f 在[]b a ,上连续，证明
()()dx x f dx x b a f b
a
b a
⎰⎰=-+。

11. 设A 是3×4矩阵，其秩为 3，已知1η，2η为非齐次线性方程组AX=b 两个不同的
解，其中⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=4321x x x x X ，⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=321b b b b 。

（1）请用1η，2η构造AX=0的一个解，并写出Ax=0的通解；（4分） （2）求 AX=b 的通解。

（3 分）
12. 简述进行单元教学设计的基本流程。

13. 简述数学运算的基本内涵。

三、解答题（本大题1小题，10分）
14. 已知一束光线在空气中从点 A 到达水面上的点P ，然后折射成水下的点 B （如图
所示），射光在空气中的速度为c ，在水中的速度为c '，光线在点P 的入射角为θ，折射角为θ'。

（1）若OP 长为0x ，请写出光线从点 A 到达点B 所需时间 ()0x T 的表达式； （2）若()0x T 是光线由点A 到达点B 所需时间的极小值，证明c c
'
='θθsin sin 。

四、论述题（本大题1小题，15分）
15. 伴随着大数据时代的到来，数据分析已经深入到现代社会生活的各个方面，结合实例阐述在中学数学中培养学生数据分析能力的意义。

五、案例分析题（本大题1小题，20分）阅读案例，并回答问题。

16. 案例：“三角形中位线定理”是八年级学生的学习内容，下面是两位教师的教学片段： （一）教师甲
在讲授中位线定理这一内容时，利用“数学软件A ”作了两次测量，一次是验证三角形中位线定理，另一次是验证顺次连接四边形的中点所围成的图形为平行四边形。

教师甲发现，当他让学生动手测量的时候，有一部分学生懒散地坐着，没有刚开始接触该软件时那样积极，课后教师向几位同学询问情况，有学生说这两道题书上都有结论，早就看过了，再去测量是不是有点儿傻?
（2）教师乙
教师首先让学生探究问题，如图 2，五边形ABCDE 中，点 F 、G 、H 、I 分别是 AB 、BC 、CD 、DE 的中点，J 、K 分别是 FH 、GI 的中点，AE 与JK 有什么关系?
学生们马上打开“数学软件A ”进行测量，很快发现AE=4JK ，能不能证明发现的结论呢？学生们没有一点头绪。

教师提示说当遇到问题解决不了的时候，我们是不是进一步先解决容易的问题？教师引导学生去研究三角形中位线定理和顺次连接四边形中点所围成的图形是平行四边形两个问
A
P
B
P'
M
N
题，经过师生的共同研究，取AD 的中点L 后，学生不仅验证了AE=4JK ，而且高兴地发现 AE 和JK 还存在平行关系，如图3 。

问题：
（1）请分别对教师甲和乙的教学进行评价；（10分）
（2）请画出适用于本节课教学的“三角形中位线定理”证明的示意图（图中辅助线用虚线表示）；（5 分）
（3）结合本案例，请谈谈信息技术在数学中的作用。

（5 分）
六、教学设计题（本大题1小题，30分）
17. 针对“分式的基本性质”一课完成下列教学设计。

（1）写出教学重点；（6 分）
（2）设计新知识（性质均分）的导入和探索过程；（16 分） （3）设计一个运用分数基本性质的问题，并给出解答。

（8分）
2020年下半年中小学教师资格考试
图2
图3
数学学科知识与教学能力试题（初级中学）参考答案及解析
一、选择题
1.【答案】A 。

解析：本题可用等价无穷小求极限。

3
4
232tan 3sin lim 0=++=++→x x x x x x x x x 故本
题选A 。

2.【答案】B 。

解析：本题考查空间向量数量积的运算。

42122)1(2=⨯+⨯+-⨯=⋅n m Θ，
3122222=++=m ，322)1(222=++-=n ，9
4
334cos =⨯=⋅⋅=
∴n m n m α。

故本题选B 。

3.【答案】B 。

解析：本题考查函数的连续性及一致连续性，可导及单调性。

A 选项，因为函数()x
x f 1
=
是初等函数，它在区间(]1,0上有定义，所以在(]1,0上是连续的，正确；B 选项，根据一致连续的定义可知，在区间的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到所指定的接近程度。

因为()x
x f 1
=
在区间(]1,0上的图象陡的程度大，取两个接近的数值时，不能保证函数值的接近程度在指定的范围内，所以()x f 在(]1,0上不是一致连续的，错误；C 选项，因为初等函数在定义域内都是可导的，所以函数()x x f 1=
在区间(]1,0上可导，正确；D 选项，由函数图象可知，函数()x
x f 1
=在区间(]1,0内单调递减，正确。

故本题选 B 。

4.【答案】C 。

解析：本题考查空间曲线方程的知识。

根据题意求曲线方程可以把3-=x 代入空间曲面2542
2
2
=+-z y x 得到方程1642
2
=-y z ，此曲线方程1642
2
=-y z 确定为双曲线。

故本题选 C 。

5.【答案】D 。

解析：本题考查概率求解的知识。

甲乙 2 人每局获胜的概率均为
2
1
，甲胜两局乙负局以后，那么甲要是获胜的话就只有 2种情况：（1）接下来一局，甲胜乙负，
概率为
21；（2）接下来是甲先负一局，然后甲胜，概率为41
2121=⨯。

综上，甲获胜的概率为434121=+，那么乙获胜的概率为4
1
431=-，所以按照获胜的概率来看，他们分配奖金的比例应该是 3∶1。

故本题选 D 。

6.【答案】C 。

解析：本题考查空间解析几何知识。

连接球面切点 M 与球心O ，MO ⊥PM 。

在直角三角形PMO 中，3)22(12
2
2
2
=+=+=PM OM OP ，因为P 点在 Z 轴上，所以点P 的坐标为（0,0,3）。

故本题选C 。

7.【答案】B 。

解析：本题考查课程标准。

数学试卷设计的步骤：明确测试目的，制定命题原则，精选试题，编拟双向细目录。

故本题选 B 。

8.【答案】C 。

【解析】本题考查数学教学知识。

解二元一次方程组可以用消元的方法把二元一次方程组转化为一元一次方程，其中用到的数学方法是消元。

故本题选 C 。

二、简答题
9.【答案】2048。

解析：本题考查行列式的计算。

=⨯
==53
1
1
317117517531
165
3
1
16
3171617516753165
3
1
7
317517537531
20488
-0
088-006-22
7531
162
-2-2-04
-4-4
6
-2
207531
16=⨯
=⨯
10. 【答案】见解析。

解析：令x b a t -+=，则t b a x -+=，当a x =时，b t =，b x =时，a t =，从而t 的取值范围为[]b a t ,∈，所以
()()()()()dx x f dt t f t b a d t f dx x b a f b a
b
a
a b
b
a
⎰⎰⎰⎰
=-=-+=-+
11. 【答案】（1）21ηη-；()R k k ∈-，21ηη；（2）()R k k ∈+，211-ηηη
解析：（1）∵1η、2η为非齐次线性方程组b AX =的两个不同的解，∴b A =1η①，b
A =2η②，①－②得：()021=-ηηA ，∴0=AX 的一个解为21ηη-。

∵矩阵()43<=A R ，∴0=AX 有无数多个解，
且自由未知量的个数为 1，∴0=AX 的通解为 ()R k k ∈-，21ηη。

（2）∵1η为非齐次线性方程组b AX =的一个特解，()R k k ∈-，21ηη为0=AX 的通解，∴非齐次线性方程组b AX =的通解为：()R k k ∈+，211-ηηη。

12.【参考答案】
单元教学设计的基本流程需从课前、课中、课后三个层次考虑。

课前包括：
（1）教材分析：①分析《课程标准》的要求；②分析每课教材内容在整个学期的学习内容和本单元中的地位与作用。

（2）学生分析：①分析学生已有的认知水平和能力状况； ②分析学生存在的学习问题；③分析学生的学习需要和学习行为。

（3）教学目标分析：①知识与能力目标；②过程与方法目标；③情感、态度、价值观目标。

（4）教学重点与难点：①教学重点；②教学难点。

（5）教学方式：确定进行课堂教学所要采取的教学策略、方法与技巧。

（6）教学环境和教学用具：①教学环境的设计与准备；②教学用具的设计与准备。

课中包括：
（1）课堂导入；（2）讲授新课；（3）巩固练习；（4）课堂小结；（5）布置作业。

课后包括：
（1）对学生学习效果的评价；（2）对教学设计的评价。

13. 【参考答案】
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。

主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。

数学运算是解决数学问题的基本手段。

数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础。

数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。

通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力；有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。

三、解答题
14.【参考答案】（1）()θθ''-+==
sin sin 0
00c x l c x x T ；
（2）见解析 解析：（1）由路程与时间和速度的关系式，得到光线从A 到B 所需的时间
()θθ''-+=='+
=
sin sin 0
00c x l c x c BP c
AP x T 。

（2）以P 为原点，以PP'方向为x 轴，以过点P 与x 轴垂直的直线为y 轴建立直角坐标系，设
()()
2211,,,y x B y x A ，由A 发出一束光线射向x 轴，与x 轴交点设为P （x,0），最终
经过点B ，设 2
1x x x <<，作MN ⊥x 轴于P 点，MN 为法线，入射角θ =∠APM ，折射角θ'
=∠BPN ，所以
()()2
1222121y x x y x x BP AP +-++-=
+，要使
()
0x T 取得极小值，需使
=dx dT
，()
()()()()2
222122
121121222y x x c x x y x x c
x x dx dT +-'-⋅-+
+--=，即
()()0
2
222221211
=+-'
--
+--y x x c x x y x x c
x x ，又因为
()2
1211
sin y x x x x +--=
θ()2
2222sin y x x x
x +--=
'θ，
∴c c ''
=
θθsin sin ，∴c c '='θθsin sin
四、论述题
15.【参考答案】课程标准认为数据分析观念是指：在现实生活中处理问题时先做调查研究，收集到有用的数据，分析数据中蕴含的信息并以此为依据做出判断；掌握解决问题的多种方法，能根据问题或实际情况选出合适的方法；体验数据分析中的随机性，在足够的数据中发现规律。

也就是说在数据分析观念的指导下，学生能够用适当的统计分析方法对收集的大量数据进行分析，提取有用信息或形成结论，从而对数据加以研究和概况总结。

在中学数学中，对于培养学生数据分析的能力，一定要让学生对数据分析产生兴趣，俗话说，兴趣是学习的最好老师，有了兴趣再难的事，我们也会风雨无阻，勇往直前。

然后一
定要结合学生的生活实际，毕竟数据来源于生活，这样采集的数据学生才会产生兴趣，并且容易理解，不显得那么苦噪乏味。

而且用数学知识去解决生活中的问题也是我们学习数学的的终极目标。

最后培养学生由小及大，从身边的小事具一反三，了解数据分析的意义。

为国家、为世界培养具有应用意识、实践能力、创新意识的高素质人才。

例如学生可以分析自己一个星期的生活开销。

首先我们可以问学生知道爸爸妈妈每个星期给你多少生活费吧，自己每个星期还剩多少或者超支了多少吧，那你们知道你把钱用在了什么地方吗?难道你们不想为自己制定一个收支清单吗?明白自己什么地方该用或不该用，在周末时去买自己心怡的东西吗？请同学们收集自己这个星期的生活收支，等到下个星期一起来分析数据，得出结论。

这种和学生开销密切相关的课题，学生肯定有兴趣。

而且学生在收集，整理、分析数据的过程中，学生能够了解自己的开销情况从而养成节约的传统美德。

另外游戏也可以有效激发学生的兴趣，使学生影响深刻的重要途径，比如在课堂上做"击鼓传花"的游戏，让学生分析谁得到花的次数最多或最少。

最后从游戏回归到书本，学生就能轻易理解，课堂也不再枯燥无聊。

同时也帮助学生初步掌握了数据分析的方法，掌握在生活中运用数据分析解决实际问题的重要方法。

五、案例分析题 16.【参考答案】
（1）教师甲在本节课的导入过程中，直接用简单的验证结论方式进行导入，在学生已经提前预习的情况下，这样导入不能激发学生的学习兴趣，使学生自然发生学习需求。

教师甲的导入缺乏启发性，违背了现代学生观中“以人为本”的理念。

同时，教师甲课前没有掌握学生的实际情况，违背了现代教师观中教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者。

教师乙通过创设情景，让学生在经历和体验中学习数学，而不是直接获得结论。

这样做可以激发学生学习兴趣，把学生引入环境中去，让学生身临其境，自然发生学习需求。

同时，教师乙由易到难的设计课程，也符合学生的认知规律。

（2）已知在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，求证 DE ∥BC 且等于2
BC。

证明：连接DE ，在△ADE 和△ABC 中，∠A=∠A ，2
1
==AC AE AB AD ，
可证∆ADE~∆ABC ，∠ADE=∠B ，即 DE ∥BC 。

且
2
1
=BC DE ，故2BC DE =。

所以，三角形中位线定理成立。

（3）将信息技术和数学教学的学科特点结合起来，能够提高学生的学习积极性，新课
改强调的是学生的主体地位，能否带领学生进入到预先设定好的情景当中，是衡量一节课成功与否的重要标准之一。

如本案例中利用数学软件进行测量，既解决了实际问题，也多方调动学生的积极性，给予学生多种刺激，激发他们的学习兴趣。

六、教学设计题 17.【参考答案】
（1）教学重点：理解并掌握分式的基本性质，灵活运用性质进行分式的变形。

A
B C
D
E
（2）导入环节：将
86、c
c
32进行约分，带领学生回顾分数的基本性质以及分数的约分。

探索环节：类比分数基本性质，得出分式基本性质，分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。

并用C B C A B A ⋅⋅=
，()0≠÷÷=C C
B C
A B A ，其中A 、B 、C 是整式，这种字母形式表示出来。

给出例题1：()a
b a b
=2，()y x x xy x +=+22633。

例题2：
()b a ab 21
=，()b
a a
b a 222=-。

学生通过两个例题发现当分子或分母变化时，另一个也随之变化。

引导学生掌握分式约
分的方法，即根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。

（3）习题：将
()2
xy y y x +进行约分
解析：原式分子分母的公因式为y 。

，将其约去得到()xy
y x xy y y x +=+2。