(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.4函数y=Asinωxφ的图象及

两个相邻对称轴间的距离是半个周期.
考点一
考点二
考点三
考点四
y=Asin(ωx+φ)图象的变换(考点难度★★)
【例1】 (1)(2021课标Ⅰ高考)曲线C1:y=cos x,C2:y=sin
2π
那么下面结论正确的选项是
(
)
2 +
,
3
A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得
个单位长度
,f(x)=sin
2x+3 D.向右平移
=sin 2 x+66 个单位长度
.
∵0<φ<π,
∴φ=12
3
π
故可将函数 y=f(x)的图象向右平移6 个单位长度,即可得到 g(x)=Asin
关闭
ωx
D 的图象,故选 D.
解析
-14答案
考点一
考点二
考点三
考点四
π
(2)将函数 y=sin 4 + 3 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2
取
C k=0,得
π
x= ,故选
3
关闭
C.
解析
-12答案
考点一
考点二
考点三
考点四
方法总结1.对函数y=sin x,y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的图
象,无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位长
度,都是相应的解析式中的x变为x±|φ|,而不是ωx变为ωx±|φ|.
+ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的
A=2,
由题意得
∵函数
图象的相邻两条对称轴之间2
3
π
π
倍,再向右平移
, 6 个单位长度,得到的函数图象的一个对称中心为( )
的距离等于
2
π
π ∵ω>0,∴ω=2,
π
π
∴函数
A. f(x)
,0 的周期
B.T=π,
,0 π
C. ,0π
D. ,0
π
2
4
9
16 π
又 f(x)的图象关于直线 x=6 对称,可得6 × 2+φ=kπ+2 ,k∈Z,|φ|< 2 ,解得
π
π
π
π
函数 f(x)的图象关于直线 2x+6 =kπ+2 ,即 x= 2 + 6 ,k∈Z 对称,故 C 错;关闭
D D.
故选
解析
-17答案
考点一
考点二
考点三
考点四
反思总结利用图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主
要从以下三个方面考虑:
(1)根据最大值或最小值求出A的值.
2π
2π π
π
同的函数名,则 C2π:y=sin 2 + 3 =cos 22+ 3 - 2 =cos 2 + 6 ,则
的曲线向右平移6 个单位长度,得到曲线
C2
1
由 C1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍变为
1 y=cos 2x,再将曲线向左
D.把
π C1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到
得到函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.
(3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得函数y=Asin(ωx+φ)
在R上的图象.
-5知识梳理
双击自测
3.由函数y=sin x的图象得函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的
两种方法
-6知识梳理
双击自测
π
1.要得到函数 y=sin 4- 的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象
π
时,|φ|取得最小值
.故选
B
6
B.
解析
关闭
-21答案
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考点四
(2)已知向量 a=(sin ωx-cos ωx,sin ωx),b=(sin ωx+cos ωx,2 3cos
ωx),设函数 f(x)=a·b+λ 的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,
且 ω∈
1
2
,1 .
π
到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线 C2
6
B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得
π
关闭
到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线 C2
因为 C1 ,C2 函数名不同,所以先将曲线 C2 利用诱导公式转化成
C1 相
1
C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,再把得到
A
2
T=
ω
频率
1
ω
T
2
f= =
相位
初相
ωx+φ
φ
-4知识梳理
双击自测
2.作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图
(1)定点:如下表所示.

3
-φ
2-φ
φ
-φ
-φ
2
x
2
ω
ω
ω
ω
ω
π
3π
ωx+φ
0
π
2π
2
2
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
(2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接
π
称,在 x 轴上的投影为12,则 ω,φ 的值为(
)
关闭
π
π
π
π
A.ω=2,φ=
B.ω=2,φ=
因为在 x 轴上的投影为
3
6 ,又点 A - ,0 ,所以该函数图象的四分
6
1
π
1 π 12
π π
π
C.ω= ,φ=
D.ω= +
,φ= = .所以该函数图象的最小正周期为 π.
之一个最小正周期为
π
【例3】 (1)将函数y=cos(2x+φ)的图象向右平移 个单位,得到的函
3
数为奇函数,那么|φ|的最小值为(
)
π
π
A.12
π
B.6
C.3
5π
D. 6
关闭
π
π
函数 y=cos(2x+φ)的图象向右平移3 个单位后得 y=cos 2 - 3 +
=cos 2-
2π
3
+ ,
2π
π
7π
若此时函数为奇函数,则- 3 +φ=2 +kπ,即 φ=kπ+ 6 ,k∈Z, ∴当 k=-1
由函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象,可得 A=1,

7π
π
π
∵ 4 = 12 − 3 = 4 ,∴T=π,ω=2,f(x)=sin(2x+φ),
π
代入得πsin
2π
π
,0
+φ
=0,
将 A.向左平移
个单位长度
B.向左平移 个单位长度
3
3
12
6
π
π
ππ
C.向右平移
24
D
π
2π

·k(k∈N*),即 ω=6k(k∈N*),因此 f(x)=cos 6kx,从而 f
=cos ,可知 f
4
π
24
3
不可能等于 .
2
关闭
解析
答案
-10知识梳理
双击自测
自测点评
1.利用图象变换由函数y=sin x的图象作函数
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,假设先平移后伸缩,平移的
2
3
2
6
126 4
2π
故 ω= π =2.
π
π
又点 A - 6 ,0 是处于递增区间上的零点,所以 2× - 6 +φ=2kπ(k∈Z),
π
则 φ=2kπ+3 (k∈Z).
关闭
π
π
因为
A 0<φ<2 ,所以 φ=3 .故选 A.
解析
-20答案
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函数y=Asin(ωx+φ)及其性质的应用(考点难度★★)
双击自测
3.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如下图,那么
φ=
.
关闭
3π
5π
2π
4
3π
=
=
,解得
ω=
.将
,-1 代入
4
2

5
4
3π
3π
3π
sin
+ =-1,则 +φ= +2kπ,k∈Z,即
5
5
2
由图象可得 T=2 2πy=sin
4

5
+ ,得
9π
φ= +2kπ,k∈Z.
1
π
π
∴sin φ=2, ∵|φ|<2 , ∴φ=6 .
π
2 6
关闭
解析
-19答案
考点一
考点二
考点三
考点四
(2)已知 A,B,C,D 是函数 y=sin(ωx+φ) > 0,0 < <
π
π
2
一个周
期内的图象上的四个点,如图所示,A - 6 ,0 ,B 为 y 轴上的点,C 为图
象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心,B 与 D 关于点 E 对
(2)根据周期求出ω的值.
(3)根据函数图象上的某一特殊点求出φ的值.
-18-
考点一
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对点训练(1)函数 f(x)=2sin(ωx+φ) > 0,|| <
示,则 ω=
,φ=
π
2
的图象如图所
.
关闭
由题中图象知 T=π,
∴ω=2,把(0,1)代入 f(x)=2sin(2x+φ),得 1=2sin φ,
π
令 2x=kπ,k∈Z,可得 x= 2 ,k∈Z.
故所得函数图象的对称中心为
A
π
,0
2
关闭
,k∈Z.故选 A.
解析
-15答案
考点一
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考点四
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式(考点难度★★)
π
【例2】 (1)函数f(x)=Asin(ωx+φ) > 0, > 0,|| < 的局部图
3
(
)
π
π
A.向左平移12个单位长度
B.向右平移12个单位长度
π
π
C.向左平移3 个单位长度
D.向右平移3 个单位长度
关闭
π
π
∵y=sin 4- 3 =sin 4 - 12 ,
π
∴只需将函数 y=sin 4x 的图象向右平移12个单位即可.
关闭
B
解析
答案
-7知识梳理
双击自测
π
2.将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移 8
π
倍,再向右平移 个单位长度,得到的函数图象的一个对称中心为( )
6
A.
π
2
,0
B.
π
4
,0
C.
π
9
,0
D.
π
16
,0
关闭
将函数 y=sin 4 +
得函数 y=sin 2 +
π
π
π
3
π
3
的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,可
π
的图象,再向右平移6 个单位长度,得到函数
y=sin 2 - 6 + 3 =sin 2x 的图象.
关闭
平移12个单位得到π C2 ,故选 D.
D
的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线 C2
解析
-11答案
考点一
考点二
考点三
考点四
π
(2)(2017 浙江绍兴诸暨二模)已知函数 f(x)=sin 2 + 6 ,将其图象
π
向右平移 ,则所得图象的一条对称轴是(
π
A.x=6
6
π
π
B.x=4
)
π
C.x=3
2
象如下图,那么A=
,ω=
,φ=
.
关闭
显然 A=1;周期 T=4
5π
5π π
12 4
由 sin 3 × 12 + =-1
π
1 3 4
2π
2π
,则
ω=
=3;
3

π

和|φ|<2 ,得 φ=案
考点一
考点二
考点三
考点四
关闭
π
(2)将函数
y=sin
4f(x)=Asin(ωx+φ)
π
π
φ=6 . ∴f(x)=2sin 2x+6 .
π
π
将 y=2cos 2x 的图象向左平移12个单位,得到 y=2cos 2 x+12
π
π
=2cos 2x+6 ≠2sin 2x+ 6 ,故 A 错;
π π
π
π
π
x∈ - 6 , 6 时,- 6 ≤2x+6 ≤ 2 ,函数 f(x)的最小值不等于-2,故 B 错;
偶函数的图象,那么φ的一个可能取值为(
3π
A.
π
B.
4
C.0
4
个单位后,得到一个
)
π
D.-
4
关闭
π
8
把函数 y=sin(2x+φ)沿 x 轴向左平移 个单位后得到函数 y=sin

π
π
π
2 + 2 + 8 =sin 2 + + 4 为偶函数,则 φ 的一个可能取值是4 .
B
解析
关闭
答案
-8知识梳理
D.x=2
关闭
π
π
设 f(x)=sin 2 + 6 ,将图象向右平移6 个单位后,得到的表达式为
π
π
π
π
π
f - 6 =sin 2 - 6 + 6 =sin 2- 6 ,对于函数 y=sin 2- 6 ,令
π
π
1
π
2x-6 = 2 +kπ,得 x=2kπ+3 ,k∈Z,
1
π
∴变换后的函数图象的对称轴方程为 x=2kπ+3 ,k∈Z,
2.注意平移前后两个函数的名称是否一致,假设不一致,应用诱导
公式化为同名函数再平移.
-13-
考点一
考点二
考点三
考点四
对点训练(1)(2021合肥一中高三模拟)函数
f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如下图,为了得到g(x)=Asin