2020版高考数学(文)新精准大一轮课通用版检测：第四章第6讲y=Asin(ωx+φ)图象及三角函数应用含解析

[基础题组练]
1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦
⎤－π
2，π上的简图是( )
解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－3
2，排除B ，D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C. 2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π
2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A ．－3 B ．
3
3
C ．1
D ． 3
解析：选D.由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π
3＝ 3. 3．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π
6个单位长度，则所得函数图象的解析式为( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫
x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫
x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12
D ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －7π
12 解析：选B.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象经伸长变换得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π
4的图象，再将所得图象作平移变换得y ＝sin ⎣⎡⎦
⎤1
2⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π3的图象，故选B. 4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)的部分图象如图所示，则下列为f (x )的单调递减区间
的是( )
A.⎣⎡⎦⎤－5π3
，－7π6 B.⎣⎡⎦⎤－5π6
，－π
3
C.⎣⎡⎦⎤5π6，π
D.⎣
⎡⎦⎤π，4π
3 解析：选B.由12T ＝2π3－π6＝π2，得T ＝π＝2πω，所以ω＝2.当x ＝π
6时，f (x )＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1.因为|φ|<π2，所以φ＝π
6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由图象可得f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z ，结合选项可知⎣⎡⎦⎤－5π6
，－π
3为f (x )的单调递减区间，选B. 5．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π
2，f (x )的最小正周期为π，且f (0)＝3，
则ω＝________，φ＝________．
解析：由函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π
3.
答案：2 π
3
6．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2π
ω，
所以ω＝π
2
，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6. 因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＋6， 结合表中数据得π
2＋φ＝2k π，k ∈Z ，
可取φ＝－π
2
，
所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x . 答案：y ＝6－cos π
2
x
7．(2019·河北石家庄毕业班模拟)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π
6＋1(A >0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α
2＝2，求α的值． 解：(1)因为函数f (x )的最小值为－1， 所以－A ＋1＝－1，即A ＝2.
因为函数f (x )的图象的相邻两个最高点之间的距离为π， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝π，
所以ω＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＋1.
(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1
2
. 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π
3，
所以α－π6＝π6，得α＝π
3
.
8．(2019·湖北八校联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)在它的某一个周期内的单调递减区间
是⎣⎡⎦⎤5π12，11π12.将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．
(1)求g (x )的解析式；
(2)求g (x )在区间⎣⎡⎦
⎤0，π
4上的最大值和最小值． 解：(1)T 2＝1112π－512π＝12π，所以T ＝π，ω＝2π
T ＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝1， |φ|<π2，所以φ＝－π
3，
f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3， 所以g (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π
6. (2)由正弦函数的性质可得，g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上为增函数，在⎣⎡⎦⎤π12，π
4上为减函数， 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫
π12＝1. 又g (0)＝12，g ⎝⎛⎭⎫π4＝－12，
所以g (x )min ＝－1
2
，
故函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12
. [综合题组练]
1．(2019·潍坊统一考试)函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π
2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( )
A.π12
B.π6
C.π4
D.π3
解析：选B.由题意知y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
6，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6的图象，因为g (x )为偶函数，所以2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π
6＋k π2，k ∈Z ，又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6
.
2．(2019·惠州第二次调研)函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|≤π
2，A >0的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )
A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π
12上是减函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π
12上是增函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫
π3，5π6上是减函数 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数
解析：选B.由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，所以2sin θ＝3，sin θ＝
32，又|θ|≤π2，所以θ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π
2
＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π
12
＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增，所以选项B 正确．
3．(创新型)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →
＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．
解析：由题图可知，M ⎝⎛⎭⎫
12，1，N (x N ，－1)， 所以OM →·ON →
＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0， 解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－1
2＝3. 答案：3
4．(2019·武汉部分学校调研)已知函数f (x )＝2a sin (πωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π
2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：
①该函数在[2，4]上的值域是[a ，2a ]；
②在[2，4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③该函数的最小正周期可以是8.
其中是真命题的为________(写出序号即可)．
解析：对于①，因为直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin (πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，所以结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2，4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2，4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；
对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误；
对于③，因为函数f (x )＝2a sin (πωx ＋φ)的最小正周期T ＝
2ππω＝2ω，当ω＝1
4
时，T ＝8，此时f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ，由⎩
⎪⎨⎪⎧f （2）＝a ，f （4）＝a ，解得cos φ＝22，sin φ＝－22，满足|φ|≤π2，故f (x )的最小正周期可以是8，③正确．
答案：③
5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π
6，0是函数f (x )图象的一个对称中心． (1)试求ω的值，并求出函数的单调增区间；
(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．
解：(1)因为点⎝⎛⎭⎫－π
6，0是函数f (x )图象的一个对称中心， 所以－ωπ3＋π
6
＝k π，k ∈Z ，
所以ω＝－3k ＋1
2，k ∈Z ，因为0<ω<1，
所以当k ＝0时，可得：ω＝1
2.
所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 令2k π－π2<x ＋π6<2k π＋π
2，k ∈Z ，
解得2k π－2π3<x <2k π＋π
3
，k ∈Z ，
所以函数的单调增区间为⎝
⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋π
3，k ∈Z .
(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
6，x ∈[－π，π]， 列表如下：
6．(应用型)如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0，0<φ<π)．
(1)求解析式；
(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．
解：(1)由图象知A ＝10，12·2π
ω＝14－6，
所以ω＝π
8
，
所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫πt
8＋φ＋b .① y max ＝10＋b ＝30，所以b ＝20. 当t ＝6时，y ＝10代入①得φ＝3π
4
，
所以解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫
π8t ＋3π4＋20，t ∈[6，14]． (2)由题意得，
20－52≤10sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4＋20≤20＋52， 即－
22
≤sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4≤2
2， 所以k π－π4≤π8t ＋3π4≤k π＋π
4
，k ∈Z .
即8k－8≤t≤8k－4，k∈Z，
因为t∈[6，14]，所以k＝2，即8≤t≤12，所以最佳营业时间为12－8＝4小时．。