2021年高三数学文科仿真模拟卷1

2021年高三数学文科仿真模拟卷1
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
（1）已知集合，，若，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
（2）设等比数列的公比，前项和为，则的值为
A. B. C. D.
（3）某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10个人的样本，恰好抽到了4个男生、6个女生．给出下列命题：（1）该抽样可能是简单的随机抽样；（2）该抽样一定不是系统抽样；（3）该抽样女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率．其中真命题的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3（4）已知复数和复数，则为
A． B． C． D．
（2）已知命题：抛物线的准线方程为；命题：若函数为偶
A． B. C. D.
（6）已知图象不间断函数是区间上的单调函数，且在区间上
存在零点．图1是用二分法求方程近似解的程序框图，
判断框内可以填写的内容有如下四个选择：
①；②；
③；④
其中能够正确求出近似解的是（）
A．①、③ B．②、③
C．①、④ D．②、④
（7）等差数列的首项为，公差为，前项和为．则“”是
“的最小值为，且无最大值”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
（8）曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
（9）已知三个互不重合的平面，且，，，给出下列命题：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中
正确命题个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（10）已知双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为A． B．
C． D．
（11）设，. 若当时，恒成立，则实数的取值范围是 A． B．
C． D．
（12）已知函数
3
21
,(,1]
12
()
111
,[0,]
362
x
x
x
f x
x x
⎧
∈
⎪+
⎪
=⎨
⎪
⎪-+∈
⎩
，函数(a>0)，若存在，使得成立，则实数的
取值范围是
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸相应的位置上．（13）在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为．（14）已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标、满足不等式组 . 则的取值范围是．（15）对于命题：
若是线段上一点，则有
将它类比到平面的情形是：
若是△内一点，则有．
将它类比到空间的情形应该是：
若是四面体内一点，则有．
（16）已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是等腰直角三
角形，则该三棱锥的外接球体积为．
三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）
某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图3所示，成绩不小于90分为及格．
（Ⅰ）甲班10名同学成绩标准差乙班10名同学成绩标准差（填“>”，“<”）；
（Ⅱ）从甲班4名及格同学中抽取两人，从乙班2名80分以下的同学中取一人，求三人平均分不及格的概率.
（18）（本小题满分12分）
如图4，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF:FD=21
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：BG面AFC．甲乙
25
7
36
8
24
68
7
8
9
1
89
678
123
5
1
图3
（19）（本小题满分12分）
如图5，中，
点在线段上，且，Array（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求的面积．
（20）（本小题满分12分）
设为实数，函数,.
（Ⅰ）求的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当且时，.
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当＜时，求实数取值范围．
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图6，直线AB过圆心O，交圆O于A、B，直线AF交圆O
于F（不与B重合），直线与圆O相切于C，交AB于E，且与AF
垂直，垂足为G，连接AC．
求证：（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
图6
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，将曲线（为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线. 以坐标原点为极点，的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线的方程为，求和公共弦的长度．
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
对于任意实数和，不等式|)2||1(||||2|||-+-≥-++x x a b a b a 恒成立，试求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
（1）D （2）A （3）B （4）A （5）D （6）C （7）A （8）B （9）C （10）B （11）D （12）A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13） （14）
（15） ·+ ·+ ·+ ·= （16）
三、解答题：本大题共共70分. （17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）>． …………………3分 （Ⅱ）抽取情况为：
92，94，78； 92，94，79； 92，106，78； 92，106，79；92，108，78； 92，108，79； 94，106，78； 94，106，79； 94，108，78； 94，108，79； 106，108，78； 106，108，79．
总共有12种． …………………9分 这12种平均分不及格是92，94，78； 92，94，79；共2种． …………………11分 所以三人平均分不及格的概率为． …………………12分 （18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：因为面ABCD 为菱形，且， 所以为等边三角形，
又因为是的中点，所以．……2分 又⊥平面，所以． ……3分 所以面，所以． ……5分
（Ⅱ）取中点，所以．…………………………………………6分
连接，，所以面．……………………………………8分 连接，设，连接，
所以，所以面． ·························· 10分 所以面面，所以面．…………………………………12分
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为，所以. ··························2分在中，设，
则由余弦定理可得①························5分在和中，由余弦定理可得，
．·································7分因为，
所以有，所以3＝－6 ②
由①②可得，即．···························9分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得的面积为，
所以的面积为．·························· 12分
（注：也可以设，所以，用向量法解决；或者以为
原点，为轴建立平面直角坐标系，用坐标法解答；或者过作平行线交延长线于，
用正余弦定理解答．具体过程略）
（20）（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由知。

…………………2分
令，得。

于是，当变化时，和的变化情况如下表：
……………………………4分故的单调递减区间是，单调递增区间是。

在处取得极小值。

极小值为…………………6分
（Ⅱ）证明：设，于是。

由（Ⅰ）知当时取最小值为
于是对任意,都有，所以在R内单调递增。

…………8分
于是，当时，对任意，都有，而…………10分
从而对任意，都有。

即故…12分
（21）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意知， 所以．
即． ································ 2分 又因为，所以，．
故椭圆的方程为． ·························· 4分 （Ⅱ）由题意知直线的斜率存在. 设：，，，，
由得.
，. ································· 6分 ，.
∵，∴，，
1212214[()4](12)
y y k
y k x x k t t t k +-=
=+-=+. ∵点在椭圆上，∴，
∴. ································· 8分 ∵＜，∴，∴ ∴，
∴，∴. ······························ 10分 ∴，∵，∴， ∴或，
∴实数取值范围为. ························· 12分 (注意：可设直线方程为，但需要讨论或两种情况)
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 证明：（Ⅰ）连结，是直径， ，．………2分
切圆于，
． ………4分 ．……………………………………5分
（Ⅱ）连结， 切圆于， 图6 ．……………………………………6分
又∽．……………8分
． ································· 10分
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解：曲线（为参数）上的每一点纵坐标不变， 横坐标变为原来的一半得到， ······················ 1分 然后整个图象向右平移个单位得到， ··················· 2分 最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到， ·············· 3分 所以为， ······························· 4分 又为，即， ······························ 5分 所以和公共弦所在直线为， ······················· 7分 所以到距离为， 所以公共弦长为． ·························· 10分
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
解：原式等价于，设，
则原式变为对任意恒成立． ······················· 2分
因为⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
-≤-<<-+-≥=-++132112213121t ,t t ,t t ,t |t ||t |，最小值为时取到，为． ····· 6分
所以有≥解得． ········· 10分D37133 910D 鄍24185 5E79 幹 |q22399 577F 坿-.25886 651E 攞20613 5085 傅E`eR。