甘肃省高台县第一中学高三数学上学期第一次月考试题 理

甘肃省高台县第一中学2014届高三数学上学期第一次月考试题 理
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集R U =,=A (2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A ．{|1}x x ≥
B ．{|12}x x ≤<
C ．{|01}x x <≤
D ．{|1}x x ≤
2.已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)
x y
i ++的值为（ ）
A. 2
B.
2i - C. 4- D.2i
3.如图2，正三棱柱111ABC A B C -的主视图 （又称正视图）是边长为４的正方形，则此正 三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为( )
A ．．
C ．．16
4. 若βα,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，βα⊥⊥a a ,；②存
在一个平面γ，βγαγ⊥⊥，
；③存在两条平行直线a b a b a ,,,,βα⊂⊂∥,b β∥α；④存在两条异面直线,,,α⊂a b a a b ,β⊂∥,b β∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5.设函数32
sin ()tan 3f x x x θθ=
++，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数)1(f '的取值
范围是（ ）
A ．[－2,2]
B ．[2，3]
C ．[3，2]
D ．[2，2]
6.若变量,a b 满足约束条件6321
a b a b a +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩
，23n a b =+，则n
取最小值时，21n x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭二
项展开式中的常数项为 （ ） A ． -80 B ．80 C ．40 D ． -20
7. 执行如图所示的程序框图，如果输出的是209，那么输入的正整数N 是（ ）
A. 415
B. 416
C. 417
D. 418
8.若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1
b
的
最小值为（ ） A.
1
4
C.
32+
D. 3
2
+ 9.如图，在等腰直角ABO ∆中，设,,1,OA a OB b OA OB C ====为AB 上靠近点A 的四
等分点，过C 作AB 的垂线l ，设P 为垂线上任一点， ,OP p =则()p b a ∙-= （ ）
A. 2
1- B. 21
C. 2
3-
D .23
10.若三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，
SA =1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）
A ．64π
B ．16π
C ．12π
D ．4π
11. 将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有（ ）种. A ．114 B ．150 C ．72 D ．100 12.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2
-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零
点，则a 的取值范围是（ ） A ．)22,
0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)6
6
,0( 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

将答案填在答题卡上。

13.已知数列{}n a 为等比数列，且2113725a a a π+=，则)cos(122a a 的值为___________. 14.圆222π=+y x 内的曲线x y sin -=与x 轴围成的阴影部分区域记为M （如图），随机往圆内投掷一个点A ，则点A 落在区域M 的概率为_________________.
15.已知F 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点，21B B 是双曲线的虚轴，M 是
1OB 的中点，过M F 、的直线交双曲线C 于A ，且2=，则双曲线C 离心率是
_________________.
16.在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、且sin2sin222,log log b a b c ><，
222b c a +=，若0AB BC ⋅<,则cos sin B C +的取值范围是 .
三．解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n =，}{n b 为等比数列，且
1141
,32
b a b ==
． （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设n
n
n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T ．
18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面
ABCD ，22,PA AD AB BM PD ===⊥于点M ．
（1）求证：PD ABM ⊥平面；
（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值.
19. (本小题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35
．
（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.（下面的临界值表供参考）
(参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)
20.（本小题满分12分）
已知)0,1(1-F 、)0,1(2F ，圆2F ：1)1(22=+-y x ，一动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆2F 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C ，曲线E 是以1F ，2F 为焦点的椭圆． （1）求曲线C 的方程；
（2）设曲线C 与曲线E 相交于第一象限点P ，且3
7
1=PF ，求曲线E 的标准方程； （3）在（1）、（2）的条件下，直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，若AB 的中点M 在曲线C 上，求直线l 的斜率k 的取值范围．
21.（本小题满分12分）
已知函数()()2
ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值.
(1)求实数a 的值； (2)若关于x 的方程()5
2
f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围；
(3)证明:对任意的正整数n ,不等式()2
341
2ln 149
n n n ++
+++
>+都成立.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，用2B 铅笔在答题卡上填涂所选题目对应的题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于B A 、两点，∠APE 的平分线和
BE AE ,分别交于点D C ,.
（1）求证：DE CE =； （2）
.CA PE
CE PB
=
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点P （-1，0），其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系。

设曲线C 的极坐标方程为2
6cos 50.ρρθ-+=
（1）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围； （2）设()y x M ,为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()|1||4|.f x x x a =++-- （1）当1,()a f x =时求函数的最小值； （2）若4
()1f x a
≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围。

+。