《经济数学基础》 teaching_01_02

1.2 极限的概念
1.2.1 数列的极限
1.数列
无穷多个按一定规则排列的一串数
,,,,,,321 n x x x x
称作数列，简记作{}n x ．
(1) 1，21，31，41，…，n 1，… (2) 21，32，43，…，1+n n
，…
(3) 21，221-，321，421-，…，n n 2)1(1
+-，…
(4) 1，1-，1，1-，…，1)1(+-n ，…
(5) 1-，2+，3-，4，…，n n )1(-，…
(6) 0，1，0，21，0，31，0，41，…，n n
1
)1(+-，…
(7) 3，21
3，32
3，43
3，…，n 1
4-，…
定义1.8 对于数列{}n x ，如果当n 无限变大时，n x 趋于一个常数A , 则称
当n 趋于无穷大时，数列{}n x 以A 为极限，记作
A n x n =∞→lim 或)(∞→→n A x n ，
亦称数列{}n x 收敛于Ａ；如果数列{}n x 没有极限，就称{}n x 是发散的．
1.2.2 函数的极限
1.∞→x 时函数的极限
定义1.9 如果当x 的绝对值无限增大时，函数)(x f 趋于一个常数A ，则称当∞→x 时函数)(x f 以A 为极限．记
A x f x =∞
→)(lim 或)()(∞→→x A x f ．
定义1.9′ 如果当0>x 且无限增大时，函数)(x f 趋于一个常数A ，则称当+∞→x 时函数)(x f 以A 为极限．记
A x f x =+∞
→)(lim 或)()(+∞→→x A x f ．
定义1.9″ 如果当0<x 且x 的绝对值无限增大时，函数)(x f 趋于一个常数A ，则称函数)(x f 当-∞→x 时以A 为极限．记作
A x f x =-∞
→)(lim 或)()(-∞→→x A x f ．
例1 求)211(lim x x +∞
→．
解 函数的图象如图所示．当+∞→x 时，21x
无限变小，函数值趋于1；-∞→x 时，函数值同样趋于1，所以有1)211(lim =+∞
→x x ． 例2 求x x 3lim -∞
→．
解 当-∞→x 时，03→x ，即
03lim =-∞
→x x ． 2. 0x x →时函数的极限 例2)42(2)(--=x x x f )(x f 当2→x 时的变化情况
定义1.10 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域(点0x 本身可以除外)内有定义，如果当x 趋于0x (但0x x ≠)时，函数)(x f 趋于一个常数A ，则称当x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极．记作A x f x x =→)(lim 0
或)()(0x x A x f →→，
亦称当0x x →时，)(x f 的极限存在．否则称当0x x →时，)(x f 的极限不存在．
例3 根据极限定义说明：
(1) 0lim 0
x x x x =→，
(2)
c c x x =→lim 0．
解 (1)当自变量x 趋于0x 时，作为函数的x 也趋于0x ，于是依照定义有0lim 0
x x x x =→．
(2) 无论自变量取任何值， 函数都取相同的值c ，那么它当然趋于常数c ，所以c c x x =→lim 0
．
定义1.11 设函数)(x f y =在点0x 右侧的某个邻域(点0x 本身可以除外)内有定义，如果当0x x >趋于0x 时，函数)(x f 趋于一个常数A ，则称当x 趋于0x 时，)(x f 的右极限是A ．记作
A x f x x =+→)(lim 0
或)()(0+→→x x A x f ．
设函数)(x f y =在点0x 左侧的某个邻域(点0x 本身可以除外)内有定义，如果当0x x <趋于0x 时，函数)(x f 趋于一个常数A ，则称当x 趋于0x 时，)(x f 的左极限是A ．记作
A x f x x =-→)(lim 0
或)()(0-→→x x A x f ．
定理1.1 当0x x →时，)(x f 以A 为极限的充分必要条件是)(x f 在点0x 处左、 右极限存在且都等于A ．即
A x f x x x f x x A x f x x =+→=-→⇔=→)(lim 0
)(lim 0)(lim 0． 例4 设⎩⎨⎧<≥+=.
1,3,1,2)(x x x x x f 试判断)(lim 1
x f x →是否存在．
解 先分别求)(x f 当1→x 时的左、右极限：
33lim 1)(lim 1=-
→=-→x x x f x ，
3)2(lim 1)(lim 1=++
→=+→x x x f x ，
左、右极限各自存在且相等，所以)(lim 1x f x →存在，且3)(lim 1
=→x f x ．
例5 判断x x 1e lim 0
→是否存在．
解 当+→0x 时，+∞→x 1，∞→x 1
e ，即∞=+→x x 1e lim 0；当-→0x 时，-∞→x 1，故0e 1
→x ，即01e
lim 0=-→x x ．左极限存在，而右极限不存在,由充分必要条件可知x x 1e lim 0→不存在．。