南昌市2019届高考第二次模拟冲刺数学理科试题(九)含答案

数学交流试卷
数学（理）试题第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的•
4 —2i
1. 复数廿（）
（1+i）2
A. 1 -2i
B. 1 2i
C. -1 2i D . —1 — 2i
2. 已知数列,bj满足3 =1,且a n , a n 1是方程x2-^x - 2n=0的两根，则bw（）
A. 24
B. 32
C. 48
D. 64
3. 已知平面向量a,b满足a氏a+b ）= 5,且a =2 b 1 ，则向量a与b夹角的余弦值（）
A. —3 B . __3 C . 1
D
2 2
2
4. 执行如图所示的程序框图，若输人的a值为1，则输出的k值为（）
A. 1 B . 2 C . 3 D.4
5. 以下四个命题中，正确的个数是（）
①命题“若f （x）是周期函数，则f （X）是三角函数”的否命题是“若
f（x）是周期函数，则f （x）不是三角函数”；②命题“存在
R,x2—x 0 ”的否定是“对于任意R,x2-x：：：0 ”；③在ABC中，“ si nA si nB ”
是“A B ”成立的充要条件；④命题p : x = 2或y二3，命题q : x • y = 5，则p是q的必要不充分条件；
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）
2兀兀2兀16兀
A. B . C . D
3 3 9 9
/警黑/
1
A.-
4
A. (1 , +R )
B. C —*
x
11已知正数a,b 满足a • b =4，则曲线f x =1 nx 在点(a, f(a))处的切线的倾斜角
b
1
2 1
x
12.已知函数
f (x
^ kx (—"：；x 乞e 2
)，与函数g(x)=(—)2
，若f(x)与g(x)的图象上分
e
e
使得MN 关于直线y 二x 对称，则实数k 的取值范围是(
7.为了得到y=cos2x ，只需将y =sin i 2「
作如下变换(
I 3丿
A.向右平移一个单位B .向右平移一个单位C.向左平移
6
个单位D.向右平移.个单位
12 12
x 乞0
I
8•若A 为不等式组 y _ 0
y _x 乞2
，表示的平面区域，则当
a 从一2连续变化到1时，动直线
x y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为(
A. 1
2 2
9焦点在x 轴上的椭圆方程为
-
y
- =1 a b 0 ,短轴的一个端点和两个焦点相连成 b 2
a 2
一个三角形，该三角形内切圆的半径为 则椭圆的离心率为(
10. 已知点F z 足取曲线C ；
在XX 曲线C 的石支匕冃.满足 违I 为
XT 孑h 1
|F J F 2|=2|OP|T |PF I |M3|PF 小
右傑点” o 为坐标煙点.点 P 则取曲线匚的离心率的取值范
的取值范围为(
)(A ) ,::
IL 4 「31 兀) 「兀江)
(C)R (D )越
)•
1
A.[——，e] e
k-,2e] e
第n 卷(共90分)
B.
C.
(-2
,2e) D. e
[-3殉 e
、填空题（每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量 a h ［1,2 , b h ［x, -1，若 a // （a —b ），则 a b 二 . 14. 连续掷两次骰子，以先后得到的点数
m n 作为点P 的坐标（m,n ），那么点 P 在圆
2 2
x y =17内部（不包括边界）的概率是 ___________ .
15. 已知0 ：：： a …，
设函数f （x ）二
2016
x
2014
sin x x •丨-a, a ］的最大值为P,最
2
2016x +1 ‘
小值为Q 则F +Q 的值为 ________
16..如图所示，在 ABC 中， c cosA 二 a （\
2 -cosC ）， c = 2， 面积取最大值时，BD = _」
三、解答题（本大题共 5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）
17•已知函数
f （x ^2x
1，数列｛a n
｝满足a n
二f （n ）（N *
），数列｛0｝的前n 项和为T n
, 且 b =2,「7
十-2（ n*） •
（1）
分别求｛a n ｝,｛ b n ｝的通项公式；
（2） 定义x=［x 「（x ），［x ］为实数x 的整数部分，（x ）为小数部分，且0乞（x ）：：:1.记
18. 现南昌市内发放永安行共享单车共 500辆，以便促进市内环保出行和锻炼
身体等多个目
的，单车发放后每日的使用情况爆满， 假设每辆单车因特殊原因每日仅有一人使用， 且所有 单车均能出租出去。

该车行工作人员统计了某日单车的使用情况，骑行人员的年龄
（单位：
岁）主要分布在［15,25）、［25,35）、［35,45）、［45,55）、［55,65）之间，现根据当日统计结 果得如下的
内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知
D 为 AC 上一点，且 AD : DC =1:
7），求数列
｛cn ｝
的前n 项和S •
頻率
频率分布直方图：
（1）求骑行人员使用单车的年龄中位数（用分数表示）及m的值；
（2）若把年龄段位于［15,45）之间的人群称为“奋斗一族”，把年龄段位于［45,65）之间的人
群“快乐生活一族”，另考虑到新出单车的性能及不同人群的认知观念问题，使得“奋斗一
族”与“快乐生活一族”对共享单车均有不同层次的满意度，试填写下列表格中未完成的
数据，并判断有多大可能性认为“不同年龄段与共享单车使用满意度相关”。

满意程度
年龄段人群
满意不满意
奋斗一族60
快乐生活一族20
补充：独立性检验系数K2＜2.706,则无充分把握“认为两个变量间存在相关关系”
口＜3.841,则有90%勺把握“认为两个变量间存在相关关系” 代＜6.635,则有95%勺把
握“认为两个变量间存在相关关系” 代＞6.635,则有99%勺把握“认为两个变量间存在
相关关系”
19. (本题满分12分)如图所示，PA丄平面ABCD ,
△ ABC为等边三角形，PA二AB , AC丄CD ,
M为AC中点.(I )证明：BM //平面PCD ；
(II )若PD与平面PAC所成角的正切值
为一6
,求二面角C - PD- M的正切值.
2
2 2
20.(本小题满分12 分)已知椭圆X
2 爲=1(a b 0)的焦点分别为Fj-c,。

), F2(C,0),
a b
1 8
离心率为,过左焦点的直线与椭圆交于M，N两点，〔MN#：,且
3 2sinMFN二sinM N2F si n N M F( 1)求椭圆的标准方程；
(2)过点D(4,0)的直线I与椭圆有两个不同的交点A, B，且点A在D、B之间，试
求△ AOD和△ BOD面积之比的取值范围( O为坐标原点).
x
21.已知函数f x ；=mln x 1 ,g x x -1 .
x +1
(1 )讨论函数F x二f x -g x在-1, 上的单调性;
(2)若y二f x与y二g x的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22.选修4-4 :坐标系与参数方程
\x=m+t一
已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极
I y=t
轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2--2 - ■■2 cos2v -12.若曲线C的左焦点F在直
线丨上，且直线l与曲线C交于A,B两点•
23.选修4-5 :不等式选讲已知函数f (x) =| 2x -1| .
(1)求不等式f(x) |x 1h：2的解集；(2)若函数g(x)二f (x) f(X 一1)的最小值为a,
且m n = a(m
4 1
• 0,n・0)，求的最小值。

m n
(1 )求m的值并写出曲线C的直角坐标方程;
求禺申的值. |FB| FA|
FB
数学交流卷答题卷
考生须知
W 口 考号
考生答题前，在规定的地方准确填写考号和姓名。

応宀 选择题作答时，必须用 2B 铅笔填涂，如需要对答案进行修 姓名
改，应使用绘图橡皮轻擦干净，注意不要擦破答题卷。

….….......…… .…… .... .... .…… ….…......…….-非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作
答。

严格按照 ! 1答题要求，在答题卷对应题号指定的答题区域内答题，
切不
1
丨
:-:"■
二-:'
:可超出黑色边框，超出黑色边框的答案无效。

[ | S
1作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用 0.5毫米黑色墨水
_ _________ __ _ _ _ __ ________ ____J
签字笔描清楚。

保持卷面清洁，不要将答题卷折叠，弄破。

1 [A][B] [C] ID]
2 [A][B] [C] [DI
3 [A][B] [C] [DI
4 [A][B] [C] [D]
5 [A][B] [C] [D]
、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. _______________ 14. ____________________________
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
CM __1-
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.
18.
19 .
20.
21.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.
23.
数学交流试卷数学（文）试题答案
一、1
D 2 ,
D ,3 ,
C ,4 ,
B ,5 ,
C 6. ,
即sin C cos A cos C si n A =、2 si nA，si n（ A 亠C） =、_ 2 si nA，sin B =、'- sin A，b =、.
2 a，
以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，设C（x, y）得、.x2• y2 - ■■一2、（x_ 2）2• 化简得（x _4）2■ y2 =8，当C达到圆的最高点或最低点时，AABC面积达到最大值此时可求出a = 2；3，b = 2；6，
2 2 2
A b+c—a 24+4—12 cos A
2bc 2 2 2“6 3
BD2二AD2 AB2-2AD AB cos^（236）2 22 5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题
三、解答题共
b 1 b^=2
，
｛bn ｝
是以
2
为首项和
公比的等比数列，
（1）
a n = f （n ） =2n 1 ； ,,,,,,2
当 n _2 时，b n 二T n -T n4 二 b n 1 - 0,0 1 = 20 ,
b 2 -4
17•解析:
ln=1 2 c 2n 5 3 - (2)依题意,
a i a 2
b i
b 2
当n _3时
0 ： 2n 1 ：：：
2n
2n 1
2n
,3 )
1 厶3
2 17 —
4 4'
2 4 8 16
2n 1 c 、 芦(n-3).
16
2
W
ZA. 16 32
两式相减并化简得得
1 2n 19
2 n 5 ••• S n
2n
4 2n 5一
3)
• ,,,,,,1°
=
3_
22n
(n 一3),检验知，n =1不合,
• ,,,,,,1
2
2n
小一
2
C n
5 18 解析：(1)由0.008 X 10+0.04 X 10+(x-35) X 0.024=0.5,可得：x=35 —
6
故使用单车的年龄中位数为35-岁.
6
由0.008 X 10+0.04 X 10+0.024 X 10+mX 10+0.008 X 10=1,可得：m=0.02 (2) “奋斗一族”应有人数：500 X (0.008 X 10+0.04 X 10+0.024 X 10)=360 人
“快乐生活一族”应有人数：500-360=140人
2
B
奋斗一族 60 300 快乐生活一族
120
20
,有99%勺把握认为“不同年龄段与共享单车使用满意度相关”。

（II ）证明：因为四边形 ABCD 与BDEF 均为菱形,
所以 AD//BC ,DE //BF,
又 AD - DE = D , AD 平面 EAD , DE 平面 EAD , 所以平面FBC / /平面EAD 又FC 平面FBC 所以FC//平面EAD .
（川）解：因为四边形 BDEF 为菱形，且N DBF =60°,所以也DBF 为等边三角形.
因为O 为BD 中点，所以FO _ BD. 由（I ）知
F O A C FO _ 平面 ABCD .
故独立性检验系数 K 2
= 500(60 20 300 120)2 (60 300)(120 -20)(60 120)(300 20)
门
19、 19.
（本小题满分12分）
（I ）证明：设AC 与BD 相交于点O, 连结FO.
因为四边形 ABCD 为菱
AC
-BD , 又FA=FC 且O 为AC 中点.所以
AC
-FO . 因为 FO 一 BD =O,FO 平面 BDEF ,
所以AC _平面BDEF .
形，所以 易求得OF
1 10分
1
(2)因为• OFA • . OFB =180，所以k AF k BF = 0 . ( 6 分)
设A(N , yj , B(X2, y?)，直线AB 的方程为y 二kx b .
，消去y 得(k2-)x2 2kbx b2 -1 =0
=1 2
所以
即(饶 b)(x2 1) (kx2匕)(人 1) = 2kx.(x2 (k b)(x1 x2) 2b
=2k 亠1
… V A _BCF =
V a』？’*
a
3
2 2
12分
20.
【解析】（1）由已知可得,E 2，故a = - 2, b=1, ( 3 分)
a 2
所以椭圆C的标准方程为
2 X 2
2
y -1.(5分)
y = kx b 由* 2
X + 2
T+y
所以X1 X2
2kb
x(x
b2 -1
(8 分)
X
1
y1
i 1
y
2
x2 1
kx1 b kx2 b (kx「b)(X2 1) (kx? b)(x「1)
= 0
X2 1 (X1 1)(X2 1)
x( 1
20.（本小题满分
1
2kb
彳 -(k b)
2b k 2 1 2 b —2k k 2 1 2 k2 2"，
即 b _2k =0 ,即卩 b =2k ,
所以直线AB 的方程为y =kx 2k ，即y =k(x • 2) , ( 10分) 显然当x - _2时，y = 0，所以直线丨总经过定点(-2,0) .( 11分) 故对于动直线l ，存在一个定点(-2,0)，无论.OFA 如何变化，直线l 总经过此定 点.(12分) ' ' ' _2 21 解•(I) f '(x) = (x-2)'l nx (x-2)(1 nx)'・2=l nx 3 在［1,二)上为增函数， x 且 f '(x) _ f '(1)=1,故 f (x) =(x -2)ln x 2x-3 在［1,二)上为增函数， 又 f ⑴=0 2 -3 - -1 ：：：0 , f(2) =0 4-3=1 0，则函数 f (x)在［1,：：)上有唯一零 占； 八、、\ ' a a — (n) g (x) =l nx ，1 2-0 在［1,「J 上恒成立, x x 因x =1显然成立二• a 空x (ln x 1)在［1, •：：)上恒成立, x —1 x 2(ln x 1) x -1 x(2In x 3)(X -1)-X 2(Inx 1) (T^ 由(I)可知：f (x) =(x -2)ln x • 2x -3在［1, •：：)上为增函数，故 f (x)在［1, •：：)上有 唯一零点m ,
f (1.60) - -0.40 ln 1.60 0.20 =0.012 0 ,
f (1.59) = -0.41 ln 1.59 0,18 二—0.0086 ：： 0 , 则 m (1.59,1.60) , f (m)二(m 「2)ln m 2m 「3 二 0=Tn m = 2m 3 2 - m
则 x ^(1, m)n h '(x) v O n h(x)在(1,m ］为减函数，
x (m, ：：)= h (x) 0= h(x)在［m,：：)为增函数,
h '(x)= x
［(x-2
)ln x
故x =m
h(x)有最小值 h(m)= 2
m (ln m 1) m -1
a < h(x)
令 2 —m =t (0.4,0.41)，则 h(x)最小值有
41 236
因］ -6.17，则h(x)的最小值大约在6.17 - 6.4之间， 100 41
故整数a 的最大值为6.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22.选修4-4 :坐标系与参数方程 J x 二 m t
一 已知直线l 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极 I y=t
轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2'-2 - '-2 cos2v -12.若曲线C 的左焦点F 在直 线丨上，
且直线l 与曲线C 交于A,B 两点.
(1 )求m 的值并写出曲线 C 的直角坐标方程；
FA |FB|
(2 )求一+_的值.
FB| |FA|
23.选修4-5 :不等式选讲
已知函数f(x)=|2x-1| .
(1 )求不等式f (x) | x ■ 1b ：： 2的解集;
(2)若函数g(x^ f (x) f (x -1)的最小值为
最小值. 2 m 2 —m
(2 -t)2
t
=t ，_4(竺空 32 t 100 41 5 a ，且m 切
答案22.【解析】(1 )已知曲线C的标准方程为乙•工可，则其左焦点为-2】2,0
12 4
2 2
故22，曲线C 的方程存”.
2 2 与曲线C 的方程—-L =1联立, 12 4
得 t 2 -2t -2 =0，则 FA -FB\ |t ；t 2 =2 ,
2 （|FA |+|FB |）2 4 |FB 汗A
5 - J < x < , * * 2 宅2»得* A O. B （IO v* 武
塚上+不算式的解鼻为（O.yl ................................................................................... 4分 （件得旅“ =lit - II + - I ） -<2i =2,^a 仅当
r e | y.y [n4,KM/bffi.o =2 + 0P m > A =2.— & 分 乂右十士…吃+三卜孙怜步却淞启"4卜备. .......................................................................
d …8 分 浙戏土 +丄的Jtt 小債为囂当貝仅予…斗时等号成立. ......... 10 5>
JB * 3 3
$" 1 -3ar <2« > 宀扌.障•上审;
(2)直线l 的参数方程为 x~2中
FA + FB
=t ； _t 2" = J （t1+t ； ） — 4址2 = 2^3，。