高三数学一轮复习 第1课时知能演练轻松闯关 选修45 试题

2021年高三数学一轮复习 选修4-5第1课时知能演练轻松闯关 新人教版
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……
日期：2022年二月八日。

一、填空题
1．|2x －1x
|<3的解集是________． 解析：∵|2x －1x
|<3，∴|2x －1|<3|x |， 两边平方得4x 2－4x ＋1<9x 2，
∴5x 2＋4x －1>0.
∴所求不等式的解集为{x |x <－1或者x >15
}． 答案：(－∞，－1)∪(15
，＋∞) 2．不等式|x ＋1|(2x －1)≥0的解集为________．
解析：当x ＋1＝0即x ＝－1时，
|x ＋1|(2x －1)≥0成立；
当x ＋1≠0时，|x ＋1|>0，
∴2x －1≥0，即x ≥12
. 综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥12或者x ＝－1.
答案：{x |x ＝－1或者x ≥12
} 3．(2021·高考卷)不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．
解析：当x ≥2时，原不等式化为x ＋3－(x －2)≥3，解得x ≥2；当－3<x <2时，原不等式化为x ＋3－(2－x )≥3，解得1≤x <2；
当x ≤－3时，原不等式化为－x －3－(2－x )≥3，无解．
综上，x 的取值范围为x ≥1.
答案：[1，＋∞)
4．(2021·高考卷)假设不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1x ≤－1，3－1＜x ＜2，
2x －1x ≥2，
∴f (x )≥3.
∵|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，
∴a ≤3.
答案：(－∞，3] 5．假设不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，那么实数a 的取值范围是________． 解析：∵⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1<2， 即|a －2|<1，解得1<a <3.
答案：(1,3)
二、解答题
6．(2021·高考卷)解不等式x ＋|2x －1|<3.
解：原不等式可化为
⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋2x －1<3，或者⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1<0，x －2x －1<3.
解得12≤x <43或者－2<x <12
. 所以原不等式的解集是⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2<x <43.
7．求不等式1<|x ＋1|<3的解集．
解：由1<|x ＋1|<3，得
1<x ＋1<3或者－3<x ＋1<－1，
∴0<x <2或者－4<x <－2，
∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．
8．求不等式1－3|x |x
>0的解集． 解：此题可去绝对值将不等式转化为等价的不等式组，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >01－3x x >0或者⎩⎪⎨⎪⎧ x <01＋3x x >0，
分别解之然后取并集即得不等式的解集为
⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1
3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1
3.
9．(2021·高考卷)函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.
(1)证明：－3≤f (x )≤3；
(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．
解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，
x ≤2，2x －7，2<x <5，
3，x ≥5.
当2<x <5时，－3<2x －7<3，所以－3≤f (x )≤3.
(2)由(1)可知，
当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；
当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；
当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．
综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．
10．(2021·质检)函数f (x )＝|x －4|－|x －2|.
(1)作出函数y ＝f (x )的图象；
(2)解不等式|x －4|－|x －2|>1.
解：(1)依题意可知
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2 x >4，－2x ＋6 2≤x ≤4，
2 x <2.
那么函数y ＝f (x )的图象如下图．
(2)由函数y ＝f (x )的图象容易求得原不等式的解集为⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，52. 11．如图，O 为数轴的原点，A 、B 、M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的一动点．设x 表示C 与原点的间隔 ，y 表示C 到A 间隔 的4倍与C 到B 间隔 的6倍的和．
(1)将y 表示为x 的函数；
(2)要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？
解：(1)y ＝4|x －10|＋6|x －20|,0≤x ≤30.
(2)依题意，x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 4|x －10|＋6|x －20|≤70，0≤x ≤30.
解不等式组，其解集为[9,23]．
所以要使y 值不超过70，x 的取值范围应为[9,23]．
12．(2021·质检)设不等式|2x －5|≤5的解集为A .
(1)求A ；
(2)证明：当x ∈A 时，|x |＋|x －4|≤6.
解：(1)由|2x －5|≤5得：－5≤2x －5≤5，
0≤2x ≤10,0≤x ≤5，
∴解集A ＝{x |0≤x ≤5}．
(2)证明：法一：|x |＋|x －4|
＝|x |＋|(x －5)＋1|≤|x |＋|x －5|＋1，
∵0≤x≤5，
∴|x|＋|x－5|＋1＝x＋(5－x)＋1＝6.
∴|x|＋|x－4|≤6.
法二：当0≤x≤4时，
左边＝x＋(4－x)＝4<6
当4<x≤5时，
左边＝x＋(x－4)＝2x－4≤2×5－4＝6，
综上，|x|＋|x－4|≤6.
13．函数f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4.
(1)假设函数f(x)的值不大于1，求x的取值范围；
(2)假设不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，求m的取值范围．
解：(1)由题意得f(x)≤1，即|x－3|－2≤1，得|x－3|≤3.
因为|x－3|≤3⇔－3≤x－3≤3⇔0≤x≤6，
所以x的取值范围是[0,6]．
(2)f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6，
因为x∈R，由绝对值三角不等式得
f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6＝|3－x|＋|x＋1|－6≥|(3－x)＋(x＋1)|－6＝4－6＝－2，
于是有m＋1≤－2，得m≤－3，
即m的取值范围是(－∞，－3]．
14．函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.
(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；
(2)假设函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围．
解：(1)不等式f(x)＋a－1>0，即|x－2|＋a－1>0.
当a＝1时，不等式的解集是(－∞，2)∪(2，＋∞)；
当a>1时，不等式的解集是R；
当a<1时，即|x－2|>1－a，即x－2<a－1或者x－2>1－a，即x<a＋1或者x>3－a，解集为(－∞，1＋
a)∪(3－a，＋∞)．
(2)函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，
即|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，
即|x－2|＋|x＋3|>m对任意实数x恒成立．
由于|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，故只要m<5.
所以m的取值范围是(－∞，5)．
15．a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.
(1)证明：|c|≤1；
(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；
(3)设a>0，当－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)．
解：(1)证明：∵当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，
∴取x＝0有|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1.
(2)证明：∵g(x)＝ax＋b的图象是一条直线，
∴只需证明|g(－1)|≤2，且|g(l)|≤2.
由|f(－1)|≤1，|f(l)|≤1，又由(1)知|c|≤1，
∴|g(－1)|＝|－a＋b|＝|－f(－1)＋c|≤|f(－1)|＋|c|≤1＋1＝2.
∴|g(－1)|≤2，且|g(1)|≤2.
∴当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2.
(3)∵a>0，∴g(x)在(－1,1)上是增函数．
又∵当－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，
∴g(1)＝2.
∴a＋b＝f(1)－c＝2.
∵－1≤c＝f(l)－2≤1－2＝－1，
∴c＝f(0)＝－1.
∵当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，
即f(x)≥f(0)，
∴由二次函数的性质得直线x＝0为二次函数f(x)的图象的对称轴．
∴－b
2a
＝0，即b＝0.∴a＝2.
∴f(x)＝2x2－1.
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。