关于不定积分教学
数学分析教案
数学分析教案教案题目：求不定积分的基本方法一、教学目标：1. 了解不定积分的基本概念和计算方法；2. 掌握基本函数的不定积分；3. 能够利用积分计算解析式。
二、教学重点：1. 不定积分的基本概念和计算方法；2. 基本函数的不定积分。
三、教学难点：1. 积分常数的引入；2. 积分计算解析式的应用。
四、教学过程：1.预习导入（5分钟）通过提问复习定积分的基本概念和计算方法，引导学生思考什么是不定积分。
2. 由浅入深（15分钟）首先，讲解不定积分的概念，即函数的原函数族，并引入不定积分的符号“∫”。
然后，介绍不定积分的基本计算方法，包括基本积分公式和基本积分法则。
3. 讲解基本函数的不定积分（30分钟）讲解几个基本函数的不定积分，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，引导学生熟练掌握积分计算的方法和技巧。
4. 拓展与应用（30分钟）引导学生通过积分计算解析式，例如利用积分计算曲线的弧长、曲线下的面积、顶点、对称轴等问题。
5. 总结与讨论（10分钟）总结不定积分的基本概念和计算方法，强调积分常数的引入和解析式的应用，与学生一起回顾本节课的主要内容。
并鼓励学生举一些生活中的例子，讨论积分在实际中的应用。
6. 作业布置（5分钟）布置一些练习题作为课后作业，巩固所学内容。
可以包括求不定积分的练习题和应用题。
五、教学反思：本节课以求不定积分的基本方法为教学内容，通过引导学生认识不定积分的概念、掌握基本函数的不定积分和积分计算解析式的应用，培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
通过讲解、示范和练习等多种教学手段，能够提高学生的学习兴趣和积极性，有效地促进学生的学习成果。
浅谈不定积分教学中的几点思考
浅谈不定积分教学中的几点思考1. 引言1.1 引言不定积分作为高等数学教学中的重要内容之一，其教学方法和策略一直备受关注。
在教学过程中，教师们不仅需要传授知识，还需要引导学生独立思考和探索。
本文将就不定积分教学中的几个关键点进行探讨，从而探讨如何更好地提高学生学习的效果和积极性。
在教学中，不定积分的基本概念是学生理解和掌握的首要内容。
教师需要通过生动具体的例子和练习，帮助学生理解不定积分的定义和性质。
教师还需要采取多种方法，例如讨论、分组合作等，激发学生学习的兴趣和积极性。
教师还应引导学生养成良好的学习习惯和方法，帮助他们掌握不定积分技巧，提高计算的准确性和速度。
教师需要耐心倾听学生的困惑和问题，并给予及时有效的指导和帮助，从而帮助学生克服困难，取得更好的学习效果。
2. 正文2.1 不定积分的基本概念不定积分是微积分中的重要内容，是求函数的原函数的逆运算。
在教学中，学生需要首先了解不定积分的基本概念，才能进一步掌握不定积分的技巧和方法。
1. 原函数：不定积分是对给定函数进行求导的逆运算。
如果函数F(x)在区间[a, b]上可导，并且导函数为f(x)，那么f(x)的不定积分就是F(x)加上任意常数C，即∫f(x)dx=F(x)+C。
2. 不定积分符号：∫表示不定积分，后面加上被积函数和微元变量dx。
∫x^2dx表示对函数x^2进行不定积分。
3. 不定积分的性质：不定积分具有线性性质和常数因子法则。
即对于任意常数a、b和函数f(x)、g(x)，有∫(af(x)+bg(x))dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx。
4. 基本积分公式：不定积分的基本公式是一系列常见函数的不定积分结果。
∫xdx=x^2/2+C；∫sinxdx=-cosx+C等。
了解这些基本概念是进行不定积分教学的基础，学生应该掌握这些内容并能灵活运用于解决问题。
通过理论的学习和实践的练习，学生可以逐渐提高对不定积分的理解和运用能力，为进一步深入学习微积分打下坚实的基础。
不定积分的概念教案
不定积分的概念教案Lesson Plan on the Concept of Indefinite Integral教学目标：1.了解不定积分的基本概念及意义。
2.掌握不定积分的符号表示和性质。
3.学会计算基本的不定积分。
教学内容：Introduction:In this lesson, we will introduce the concept of indefinite integral and understand its significance.We will also explore the notation and properties of indefinite integrals.引入：本节课我们将介绍不定积分的基本概念及其意义。
我们将探讨不定积分的符号表示和性质。
Section 1: Definition and Significance of Indefinite Integral1.1 Definition:An indefinite integral of a function f(x) is a function whose derivative is f(x), and it is denoted by ∫f(x)dx.The process of finding an indefinite integral is called antiderivative.1.2 Significance:Indefinite integrals play a crucial role in calculus.They are used tosolve problems involving area, volume, and accumulation.They also provide the foundation for calculating definite integrals, which are used to find exact values of functions.1.1 定义：函数f(x)的不定积分是一个导数为f(x)的函数，用符号∫f(x)dx表示。
微积分 不定积分 教案
微积分不定积分教案一、教学目标1. 理解不定积分的概念和物理意义。
2. 掌握基本积分公式和积分方法。
3. 能够运用不定积分解决实际问题。
二、教学内容1. 不定积分的定义和性质。
2. 基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的积分。
3. 换元积分法：代数换元、三角换元。
4. 分部积分法。
5. 积分在物理、经济学等领域的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：不定积分的概念、性质和基本积分公式。
2. 难点：换元积分法、分部积分法的运用。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法，讲解不定积分的概念、性质和积分方法。
2. 利用多媒体课件，展示积分过程和应用实例。
3. 引导学生通过讨论、练习，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：介绍不定积分的定义、性质和基本积分公式。
2. 第二课时：讲解换元积分法。
3. 第三课时：讲解分部积分法。
4. 第四课时：举例分析不定积分在实际问题中的应用。
5. 第五课时：课堂练习和总结。
六、教学评估1. 课堂练习：布置相关的不定积分题目，检查学生对基本积分公式和积分方法的掌握程度。
2. 课后作业：布置综合性的不定积分题目，要求学生在课后完成，以检验学生对课堂内容的理解和应用能力。
3. 课堂讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，提问和解答问题，评估学生对不定积分概念的理解和分析问题的能力。
七、教学资源1. 教材：选用权威的微积分教材，提供系统的理论知识。
2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，通过图像、动画等形式展示积分过程，增强学生的直观理解。
3. 练习题库：整理一套丰富的练习题库，包括不同难度层次的题目，以满足不同学生的学习需求。
4. 应用案例：收集一些实际问题，用于讲解不定积分在实际中的应用。
八、教学建议1. 强化基础知识：在学习不定积分之前，确保学生掌握了函数、极限、导数等基本概念，以便能够顺利理解不定积分的性质和计算方法。
2. 逐步引导：从简单的积分公式开始，逐步引导学生掌握更复杂的积分方法，避免一开始就给出复杂的公式和方法，让学生能够逐步建立信心。
高数下教案模板范文
教学对象：大学本科一年级教学目标：1. 理解不定积分的概念，掌握不定积分的计算方法。
2. 熟练运用不定积分解决实际问题，如求解函数的微分方程、计算定积分等。
3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
教学重点：1. 不定积分的概念和计算方法。
2. 不定积分在实际问题中的应用。
教学难点：1. 不定积分的计算方法。
2. 不定积分在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入1. 复习不定积分的定义和性质。
2. 引入不定积分在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲授1. 不定积分的概念- 引入不定积分的定义，解释不定积分的几何意义。
- 通过实例说明不定积分在几何中的应用。
2. 不定积分的计算方法- 介绍基本积分公式和积分技巧。
- 通过实例讲解不定积分的计算方法。
3. 不定积分在实际问题中的应用- 求解函数的微分方程。
- 计算定积分。
三、课堂练习1. 基本积分公式的应用。
2. 不定积分的计算。
3. 求解函数的微分方程。
4. 计算定积分。
四、课堂小结1. 总结本节课的重点内容。
2. 强调不定积分在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 完成课后练习题。
2. 预习下一节课的内容。
教学评价：1. 课堂练习题的正确率。
2. 课后作业的完成情况。
3. 学生对不定积分的理解和应用能力。
教学反思：1. 本节课是否达到了教学目标。
2. 学生对不定积分的理解程度。
3. 教学过程中是否存在难点，如何改进。
教学资源：1. 教材：《高等数学》（下册）2. 多媒体课件3. 练习题集注：以上教案模板仅供参考，教师可根据实际情况进行调整。
不定积分的概念和性质教案13
因此所求曲线方程为y=x2+1。
二、不定积分的性质
性质1不定积分与求导或微分互为逆运算。
（1）［∫f（x）dx］′=f（x）或d［∫f（x）dx］=f（x）dx
（2）∫F′（x）dx=F（x）+C或∫dF（x）=F（x）+C
性质2被积分式中的非零常数因子可以移到积分号前。
∫kf（x）dx=k∫f（x）dx（k≠0，k为常数）
性质3两个函数代数和的不定积分等于两个函数积分的代数和。
∫［f（x）±g（x）］dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx
三、基本积分表
（1）∫kdx=kx＋C (k是常数);
（2）∫xαdx=＋C (α∈R，α≠-1）;
（3）∫dx=ln|x|＋C；
（4）∫axdx=＋C（a>0，a≠1）;
（5）∫exdx =ex＋C;
3.不定积分的几何意义
通常我们把一个原函数F(x)的图象称为f(x)的一条积分曲线，其方程为y=F(x)，因此，不定积分∫f(x)dx在几何上就表示全体积分曲线所组成的积分曲线族，它们的方程是y=F(x)+C。
例2设曲线过点（１，２），且斜率为2x，求曲线方程。
解设所求曲线方程为y=y(x)。
依题意，有=2x，故y=∫2xdx=x2+C.又因为曲线过点（1，2），故点（1，2）适合此方程，于是
2.不定积分
Байду номын сангаас定义2
若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则F(x)+C（C为任意常数）称为f(x)在该区间上的不定积分，记为∫f(x)dx，即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中符号“∫”称为不定积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，或称被积分式，x称为积分变量，C称为积分常数。
不定积分课程思政教学设计
不定积分课程思政教学设计引言：在当前高校普遍注重培养学生创新创业能力的教育背景下，如何将思政教育与专业课程教学有机结合起来，成为了当前教育界亟待解决的问题之一。
不定积分作为高等数学的重要内容之一，不仅是培养学生的逻辑思维和问题解决能力的重要途径，同时也是一个可以将思政教育融入其中的有效途径。
本文将从教学目标、教学内容、教学方法和教学评价四个方面，对不定积分课程思政教学设计进行探讨。
一、教学目标不定积分课程思政教学的目标是培养学生的思想道德品质、科学精神和创新能力。
具体包括：1. 培养学生的爱国主义情感和家国情怀，激发学生对国家发展的热爱和参与意识；2. 培养学生的科学思维和数学思维，提高学生的逻辑思维和问题解决能力；3. 培养学生的创新意识和创新能力，培养学生在数学领域的创新能力；4. 培养学生的合作意识和团队精神，培养学生在团队中的合作能力和领导能力。
二、教学内容1. 不定积分的基本概念和性质：引导学生了解不定积分的定义和主要性质，培养学生对不定积分的理解能力；2. 不定积分的计算方法：通过教学案例和实例分析，让学生学会不定积分的基本计算方法，并能够熟练运用；3. 不定积分在实际问题中的应用：通过实际问题的引入，将不定积分与实际问题相结合，让学生了解到不定积分在实际问题中的应用；4. 不定积分的数学方法和思想：通过对不定积分的研究和讨论，引导学生探索不定积分的数学方法和思想，培养学生的创新意识和思考能力。
三、教学方法1. 课堂讲授与案例分析相结合：通过讲授不定积分的基本概念和性质，结合实际案例进行分析讨论，引导学生主动思考和参与讨论；2. 小组合作学习：将学生分成小组，进行小组合作学习，通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神；3. 课外拓展活动：组织学生参加课外拓展活动，如参观科技公司、参加科技竞赛等，培养学生的创新意识和实践能力。
四、教学评价1. 课堂表现评价：针对学生的课堂参与情况、课堂答问能力、课堂讨论表现等方面进行评价，激励学生积极参与课堂活动；2. 作业和实验报告评价：通过布置作业和实验，评价学生对不定积分的掌握程度和应用能力；3. 课外活动评价：对学生参加课外科技活动的积极性、表现和成果进行评价，鼓励学生积极参与科技活动。
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
不定积分概念教学设计
不定积分概念教学设计不定积分是数学中重要的概念之一，也是微积分学中必修的内容之一。
教师在教授不定积分相关知识时，必须有合适的教学设计，通过恰当的学习方式，为学生提供更好的学习环境，进而提高学习效率。
本文将分析不定积分的教学设计，并针对相关课程提出改进建议。
一、不定积分的定义不定积分是在广义微积分中引进的一类特殊函数，用于表示某类函数与变量之间的关系。
它可以帮助学生理解某类函数的发展趋势，以及预测函数的变化行为。
二、不定积分的概念教学1.在对不定积分的概念进行教学时，教师首先应该从函数的概念出发，提出什么是函数，以及它与变量之间的关系，然后讲述不定积分的定义，引出不定积分的意义和用途，让学生尽快熟悉不定积分的概念。
2.接下来，教师可以以实例的形式展示不定积分的用法，利用函数曲线图进行说明，让学生更直观地理解其用法。
同时也可以利用计算机，使学生在计算机平台上进行实践，帮助学生掌握不定积分的计算方法。
3.教师还可以利用一些练习给予学生一定的指导，以演练的形式帮助学生更好地理解不定积分的定义，以及它的实际运用。
三、不定积分的概念教学的改进建议1.教师可以多利用视频、图片等虚拟现实媒介资源，丰富学生的学习环境，提高学习的体验。
2.教师还可以采取小组合作的方式，鼓励学生自主探究，让学生用自己的思考来领悟不定积分的概念，深入分析其特点。
3.教师还可以及时与学生进行交流，为学生提出解决问题的建议，帮助学生及时复习，更好地记忆不定积分的概念。
结论不定积分是微积分学中的重要知识点，教师在设计教学时，应该从函数的概念出发，让学生理解不定积分的定义，做到实践结合，让学生更好地掌握不定积分的概念。
此外，教师还可以利用虚拟现实媒介资源，以小组合作的形式来提高学生的学习兴趣，帮助学生更好地掌握不定积分的知识。
“不定积分的概念与性质”教案
“不定积分的概念与性质”教案教案：不定积分的概念与性质一、教学目标1.理解不定积分的概念，能够正确地定义不定积分。
2.掌握不定积分的基本性质，能够正确地应用不定积分求解一些简单的函数积分。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力。
二、教学重点1.不定积分的概念和定义。
2.不定积分的基本性质。
三、教学难点1.不定积分的概念和定义的理解。
2.不定积分的基本性质的掌握和应用。
四、教学过程1.引入（5分钟）请学生回顾在微积分第一节课中所学的导数的概念和定义，提醒学生导数与积分的关系。
2.概念讲解（20分钟）解释不定积分的概念，即初等函数的原函数。
示意图解，帮助学生理解不定积分的几何意义。
引导学生注意不定积分的一般形式f(x)dx中，f(x)的变量是x，x是积分变量。
3.定义说明（25分钟）通过具体的例子和讲解，引导学生理解不定积分的定义并能够正确地定义不定积分。
4.基本性质的讲解（20分钟）讲解不定积分的一些基本性质，如线性性质、常数性质、分部积分法等。
通过具体的例子演示和讲解，引导学生掌握这些基本性质，并能够正确地应用。
5.练习（20分钟）布置一些基本性质练习题，让学生独立完成。
通过做题，巩固和拓展学生对不定积分的理解和掌握。
6.拓展延伸（10分钟）让学生思考不定积分与定积分的关系，引导学生思考什么条件下不定积分可以变成定积分。
7.总结与反思（10分钟）对本节课内容进行总结，检查学生对不定积分概念和性质的掌握情况。
针对学生可能存在的困惑和问题进行解答和引导。
五、作业布置1.完成课堂练习题。
2.预习下一节课内容。
六、板书设计不定积分的概念与性质概念：不定积分的定义性质：1.线性性质2.常数性质3.分部积分法七、教学反思本节课通过引入导数和积分的关系，让学生能够更容易理解不定积分的概念。
通过具体的例子和讲解，引导学生正确地定义不定积分，并能够掌握不定积分的基本性质。
通过练习题的布置，巩固和拓展学生对不定积分的理解和应用能力。
《高数》不定积分》课件
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
不定积分分部积分法教学小记
不定积分分部积分法教学小记不定积分分部积分法是高等数学中一个重要的概念，用于解决复杂的积分问题。
在教学过程中，如何有效地让学生掌握这一方法成为了教师们的一项重要任务。
本文将结合自己的教学实践，分享一些关于不定积分分部积分法教学的经验和心得。
一、引入方法在教学不定积分分部积分法时，首先要让学生了解这一方法的基本原理。
通过举例说明，让学生理解分部积分法的实质是对不定积分进行分解，然后再进行适当的组合，以简化或者化简原积分式。
例如可以通过求解\int udv = uv - \int vdu 的方法让学生了解分部积分法的基本原理，这样学生在学习过程中就能够更加理解不定积分分部积分法。
二、应用范围在教学中，要让学生认识到不定积分分部积分法在解决复杂函数的积分方面有很大的应用价值。
同时通过一些典型的例子，可以引导学生逐步掌握分部积分法的应用技巧。
例如对于一些复杂的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数的积分，采用分部积分法可以事半功倍，这些都是要向学生重点强调的。
三、案例分析在教学实践中，通过一些经典的积分例子，让学生逐步领会不定积分分部积分法的实际应用。
可以引导学生计算\int x e^x dx，通过适当的分解和组合，让学生掌握分部积分法的具体操作流程。
通过反复训练和应用，让学生掌握不定积分分部积分法的解题技巧。
四、难点突破在教学不定积分分部积分法时，往往会遇到一些难点问题。
对于一些混合函数的积分问题，学生很容易迷失在具体的计算过程中。
在教学中，需要针对这些具体的问题，进行系统的讲解和训练。
可以通过一些分步骤演算的方式，引导学生逐步理解和掌握分部积分法的具体操作技巧。
五、巩固训练在教学不定积分分部积分法后，需要给学生一定的时间进行课后作业的巩固训练。
通过一些典型的计算题目，让学生在课后进行综合性的训练和巩固。
可以组织一些小组讨论和比赛，让学生在实际操作中进一步巩固和提升自己的不定积分分部积分法的技能。
六、拓展应用在教学不定积分分部积分法后，可以引导学生进一步了解不定积分分部积分法在实际问题中的应用。
不定积分的优秀教学设计
不定积分的优秀教学设计引言不定积分是高等数学中的重要概念之一，作为微积分的基础知识，不定积分的学习对学生的数学素养和解决实际问题的能力起着至关重要的作用。
然而，在教学过程中，不定积分的抽象性和复杂性常常会给学生带来困扰。
为了提高不定积分的教学效果，本文将介绍一种优秀的不定积分教学设计，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、教学目标1. 让学生了解不定积分的基本概念和性质；2. 培养学生运用不定积分解决实际问题的能力；3. 提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
二、教学内容1. 不定积分的定义和性质；2. 基本不定积分法和常见的不定积分公式；3. 利用不定积分解决实际问题的应用。
三、教学步骤1. 导入环节通过一个生活中的例子引出不定积分的概念，例如汽车行驶的速度问题。
让学生思考在已知汽车的速度函数的情况下，如何求出汽车行驶的路程。
2. 知识讲解介绍不定积分的定义和基本性质，引导学生理解不定积分的本质是求取一个函数的原函数。
讲解基本不定积分法和常见的不定积分公式，如导数与不定积分的关系、幂函数、三角函数等的不定积分公式。
3. 案例分析选取一些具有实际意义的问题，如速度与加速度之间的关系、曲线下的面积计算等，通过具体的案例分析，引导学生运用不定积分解决实际问题。
让学生参与思考和讨论，锻炼他们的数学思维能力和逻辑推理能力。
4. 练习与巩固布置一定数量的练习题目，既涵盖了基本的不定积分计算，又包含了一些应用题。
让学生通过练习提升他们的计算能力和综合运用能力。
5. 总结与拓展对本节课的内容进行总结，重点回顾不定积分的基本概念和性质。
同时，引导学生在不定积分的基础上，拓展更深层次的数学知识，如定积分、微分方程等，培养学生对数学的兴趣和探索精神。
四、教学方法在教学过程中，可以采用多种教学方法，如讲述法、示范法、探究法和综合运用法等。
通过一些具体的例子和案例分析，激发学生的学习兴趣和思维活跃性，并结合实际问题，引导学生将数学知识与实际问题相结合。
不定积分的概念与基本公式教案
不定积分的概念与基本公式教案引言：不定积分是微积分的重要概念之一，是对函数求导运算的逆运算。
本教案将介绍不定积分的概念、性质以及基本公式，并提供一些练习题来帮助学生巩固所学知识。
一、不定积分的概念不定积分是对函数进行求导运算的逆运算，也可以理解为找到一个函数，使得它的导数等于给定的函数。
记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)为不定积分的结果，C为常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：∫[a*f(x) + b*g(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a和b为常数。
2.可积性：如果函数f(x)在区间[a,b]上有不定积分，则在该区间上f(x)一定可积。
3. 反常积分：如果函数f(x)在其中一点x=c处不连续，其中c为[a,b]上的端点，则∫f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。
三、基本不定积分公式1.幂函数的不定积分：(1) ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1(2) ∫1/x dx = ln，x， + C。
(3) ∫e^x dx = e^x + C。
(4) ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠12.三角函数的不定积分：(1) ∫sinx dx = -cosx + C。
(2) ∫cosx dx = sinx + C。
(3) ∫sec^2x dx = tanx + C。
(4) ∫csc^2x dx = -cotx + C。
3.指数函数与三角函数的不定积分：(1) ∫e^ax*sinbx dx = (e^ax)*(asinbx/b - bcosbx/b^2) + C。
(2) ∫e^ax*cosbx dx = (e^ax)*(acosbx/b + bsinbx/b^2) + C。
四、练习题1.求函数y=3x^2的不定积分。
2. 求不定积分∫(4x^3 + 2x - 5)dx。
高等数学教案ch 4 不定积分.
高等数学教案第四章不定积分教学目的：第四章不定积分1、理解原函数概念、不定积分的概念。
2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。
3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。
教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。
§4. 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一x∈I, 都有F '(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.例如因为(sin x)'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数.又如当x ∈(1, +∞)时,因为(x)'=1, 所以x是1的原函数. 2x2x提问:cos x和1还有其它原函数吗？ 2x原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一x ∈I 都有F '(x)=f(x).简单地说就是: 连续函数一定有原函数.两点说明:第一, 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数,F(x)+C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数.第二, f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则Φ(x)-F(x)=C (C为某个常数).高等数学课程建设组1高等数学教案第四章不定积分定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作⎰f(x)dx.其中记号⎰称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即⎰f(x)dx=F(x)+C.因而不定积分⎰f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数.例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以⎰cosxdx=sinx+C.因为x是1的原函数, 所以 2x例2. 求函数f(x)=1的不定积分. x解：当x>0时, (ln x)'=1, x⎰1dx=lnx+C(x>0); x当x<0时, [ln(-x)]'=1⋅(-1)=1, -xx⎰1dx=ln(-x)+C(x<0). x合并上面两式, 得到⎰1dx=ln|x|+C(x≠0). x例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解设所求的曲线方程为y=f(x), 按题设, 曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为y'=f'(x)=2x,,即f(x)是2x 的一个原函数.因为⎰2xdx=x2+C,高等数学课程建设组2 ⎰1dx=x+C. x高等数学教案第四章不定积分故必有某个常数C使f(x)=x 2+C, 即曲线方程为y=x 2+C.因所求曲线通过点(1, 2), 故2=1+C, C=1.于是所求曲线方程为y=x2+1.积分曲线: 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.从不定积分的定义, 即可知下述关系: d[⎰f(x)dx]=f(x), dx或 d[⎰f(x)dx]=f(x)dx;又由于F(x)是F '(x)的原函数, 所以⎰F'(x)dx=F(x)+C,或记作⎰dF(x)=F(x)+C.由此可见, 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号⎰表示）是互逆的. 当记号⎰与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数.二、基本积分表(1)⎰kdx=kx+C(k是常数), (2)⎰xμdx=1xμ+1+C, +1(3)⎰1dx=ln|x|+C, x(4)⎰exdx=ex+C, x(5)⎰axdx=a+C, lna(6)⎰cosxdx=sinx+C,(7)⎰sinxdx=-cosx+C, (8)⎰1dx=sec2xdx=tanx+C, ⎰cos2x(9)⎰12=⎰csc2xdx=-cotx+C, sinx高等数学课程建设组3高等数学教案第四章不定积分(10)⎰1=arctanx+C, 1+x(11)⎰1=arcsinx+C, -x2(12)⎰secxtanxdx=secx+C,(13)⎰cscxcotdx=-cscx+C,(14)⎰sh x dx=ch x+C,(15)⎰ch x dx=sh x+C.例4例5 ⎰xdx=⎰x-3dx=-3+1x-3+1+C=-2x+C.111⎰x2xdx=⎰5x2dx7+1122=x+C=x2+C=2x3+C. +17725例6 ⎰dx=⎰xx-4x3dx=-4+1x3-+13+C-1=-3x3+C=-3+C. 三、不定积分的性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即⎰[f(x)+g(x)]dx=⎰f(x)dx+⎰g(x)dx.这是因为, [⎰f(x)dx+⎰g(x)dx]'=[⎰f(x)dx]'+[⎰g(x)dx]'=f(x)+g(x).性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即⎰kf(x)dx=k⎰f(x)dx(k是常数, k ≠0).例7. ⎰x(x-5)dx=⎰5x2dx-725(x21-5x2)dx 5x2dx-51x2dx =⎰⎰15x2dx3=⎰⎰22 =x2-5⋅x2+C. 7332(x-1)3x-3x+3x-1=(x-3+3-1)dx 例8 ⎰dx=⎰⎰22xx2xx=⎰xdx-3⎰dx+3⎰1dx-⎰1=1x2-3x+3ln|x|+1+C. x2xx高等数学课程建设组4高等数学教案第四章不定积分例9 ⎰(ex-3cosx)dx=⎰exdx-3⎰cosxdx=ex-3sinx+C. 例10 ⎰2xexdx=⎰(2e)xdx=xx(2e)x+C=2e+C. ln(2e)1+ln22x+(1+x2)1+x+x 例11 ⎰=⎰=⎰(12+1)dx 22x(1+x)x(1+x)1+xx=⎰12dx+⎰1dx=arctanx+ln|x|+C. x1+x44(x2+1)(x2-1)+1xx-1+1 例12 ⎰=⎰=⎰dx 1+x21+x21+x2=⎰(x2-1+1dx=⎰x2dx-⎰dx+⎰11+x1+x=1x3-x+arctanx+C. 3例13 ⎰tan2xdx=⎰(sec2x-1)dx=⎰sec2xdx-⎰dx= tan x - x + C .例14 ⎰sin2x dx=⎰1-cosxdx=1⎰(1-cosx)dx 222=例15 1(x-sinx)+C. 2⎰1=4⎰12=-4cotx+C. sinxsin2cos222高等数学课程建设组5高等数学教案第四章不定积分 §4. 2 换元积分法一、第一类换元法设f(u)有原函数F(u), u=ϕ(x), 且ϕ(x)可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有d F[ϕ(x) ]=d F(u)=F '(u)d u= F' [ϕ(x) ] dϕ(x)= F '[ϕ(x) ]ϕ'(x)d x ,所以 F '[ϕ(x)]ϕ'(x)dx= F '[ϕ(x)] dϕ(x)= F '(u)d u= d F(u)=d F[ϕ(x) ],因此⎰F'[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰F'[ϕ(x)]dϕ(x)=⎰F'(u)du=⎰dF(u)=⎰dF[ϕ(x)]=F[ϕ(x)]+C.即⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰f[ϕ(x)]dϕ(x)=[⎰f(u)du]u=ϕ(x)=[F(u) +C] u = ϕ(x) = F[ϕ(x)]+C.定理1 设f(u)具有原函数, u=ϕ(x)可导, 则有换元公式⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰f[ϕ(x)]dϕ(x)=⎰f(u)du=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C .被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待, 从而微分等式ϕ'(x)dx =du可以应用到被积表达式中.在求积分⎰g(x)dx时, 如果函数g(x)可以化为g(x)= f[ϕ(x)]ϕ'(x)的形式, 那么⎰g(x)dx=⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=[⎰f(u)du]u=ϕ(x).例1. ⎰2cos2xdx=⎰cos2x⋅(2x)'dx=⎰cos2xd(2x)=⎰cosudu=sinu+C=sin 2x+C .例2. ⎰3+2x=2⎰3+2x(3+2x)'dx=2⎰3+2xd(3+2x) 11111=1⎰1dx=1ln|u|+C=1ln|3+2x|+C. 2u22例3. ⎰2xexdx=⎰ex(x2)'dx=⎰exd(x2)=⎰eudu=eu+C=ex+C.例4. ⎰x-x2dx=1⎰-x2(x2)'dx=1⎰-x2dx2 22=-1⎰-x2d(1-x2)=-1⎰u2du=-1u2+C 223=-1(1-x2)2+C. 3高等数学课程建设组6 3132222高等数学教案第四章不定积分例5. ⎰tanxdx=⎰sinxdx=-⎰1dcosx cosxcosx =-⎰1du=-ln|u|+C u=-ln|cos x|+C .=-ln|coxs|+C. 即⎰tanxdx类似地可得⎰cotxdx=ln|sinx|+C.熟练之后, 变量代换就不必再写出了.例6. ⎰a+xdx=a⎰111dx1+(2a=1⎰1x=1arctanx+C. a1+()2aaaa即 n+C. ⎰a2+x2=aarcta11x例7. ⎰chx=a⎰chxx=a shx+C. aaaa例8. 当a>0时,1=111xdx=⎰dx=arcs+C. ⎰aaaxxa2-x222-(-(aa⎰即⎰1=arcsx+C. 22a-x例9. ⎰x2-a2dx=2a⎰x-a-x+a)dx=2a[⎰x-adx-⎰x+adx] 1111111=1[⎰1d(x-a)-⎰1(x+a)] 2ax-ax+a=1[ln|x-a|-ln|x+a|]+C=1ln|x-a|+C. 2a2ax+a即⎰x-a=2aln|x+a|+C.⎰x(1+2lnx)=⎰1+2lnx=2⎰dxdlnx1d(1+2lnx) 1+2lnx11x-a 例10.=1ln|1+2lnx|+C. 2高等数学课程建设组7高等数学教案第四章不定积分例11. ⎰e=2⎰ed=2⎰e3xdx 3x=2e+C. 3含三角函数的积分:例12. ⎰sin3xdx=⎰sin2x⋅sinxdx=-⎰(1-cos2x)dcosx=-⎰dcosx+⎰cos2xdcosx=-cosx+1cos3x+C. 3例13. ⎰sin2xcos5xdx=⎰sin2xcos4xdsinx=⎰sin2x(1-sin2x)2dsinx=⎰(sin2x-2sin4x+sin6x)dsinx=1sin3x-2sin5x+1sin7x+C. 357例14. ⎰cos2xdx=⎰1+cos2xdx=1(⎰dx+⎰cos2xdx) 22=1⎰dx+1⎰cos2xd2x=1x+1sin2x+C. 2424例15. ⎰cos4xdx=⎰(cos2x)2dx=⎰[1(1+cos2x)]2dx 2=1⎰(1+2cos2x+cos22x)dx 4=1⎰3+2cos2x+1cos4x)dx 422=1(3x+sin2x+1sin4x)+C 428=3x+1sin2x+1sin4x+C. 8432例16. ⎰cos3xcos2xdx=1⎰(cosx+cos5x)dx 2=1sinx+1sin5x+C. 2101dx 例17. ⎰cscxdx=⎰1dx=⎰sinx2sincos22高等数学课程建设组8高等数学教案第四章不定积分dxdtanx=ln|tanx|+C=ln |csc x -cot x |+C . =⎰=⎰2tancos2tan222xdx 即⎰csc=ln |csc x -cot x |+C .例18. ⎰secxdx=⎰csc(x+πdx=ln|csc(x+ π)-cot(x+ π)|+C 222=ln |sec x + tan x | + C.xdx 即⎰sec=ln |sec x + tan x | + C.二、第二类换元法定理2 设x =ϕ(t)是单调的、可导的函数, 并且ϕ'(t)≠0. 又设f [ϕ(t)]ϕ'(t)具有原函数F(t), 则有换元公式⎰f(x)dx=⎰f[ϕ(t)]ϕ'(t)dt=F(t)=F[ϕ-1(x)]+C.其中t=ϕ-1(x)是x=ϕ(t)的反函数.这是因为{F[ϕ-1(x)]}'=F'(t)dt=f[ϕ(t)]ϕ'(t)1=f[ϕ(t)]=f(x). dxdt例19. 求⎰2-x2dx(a>0).解: 设x=a sin t , - π<t< π, 那么a2-x2=2-a2sin2t=acost, 22dx =a cos t d t , 于是⎰a2-x2dx=⎰acost⋅acostdt=a2⎰cos2tdt=a21t+1sin2t)+C. 24因为t=arcsin22x, sin2t=2sintcost=2x⋅a-x, 所以 aaa⎰2a11a-xdx=a(t+sin2t)+C=arcsinx+1xa2-x2+C. 2a224222解: 设x=a sin t , - π<t< π, 那么 22高等数学课程建设组9高等数学教案第四章不定积分⎰a2-x2dx=⎰acost⋅acostdt2 =a2⎰cos2tdt=a21t+1sin2t)+C=aarcsinx+1xa2-x2+C. 2a224提示:2-x2=a2-a2sin2t=acost, dx=acos tdt .22提示: t=arcsinx, sin2t=2sintcost=2x⋅-x. aaa例20. 求⎰dx(a>0). x2+a2解法一: 设x=a tan t, - π<t< π, 那么 22x2+a2=2+a2tan2t=a+tan2t=a sec t , dx=a sec 2t d t , 于是⎰2dxasect=sectdt= ln |sec t + tan t |+C . =⎰⎰asectx2+a222因为sect=x+a, tant=x, 所以 aa⎰dx= ln |sec t + tan t |+C=ln(x+x2+a2)+C=ln(x+x2+a2)+C, 1aax2+a2其中C 1=C-ln a .解法一: 设x=a tan t, - π<t< π, 那么 22⎰dx=asec2tdt=sectdt=ln|sect+tant|+C ⎰asect⎰x2+a222xx+a =+)+C=ln(x+x2+a2)+C1, aa其中C 1=C-ln a .提示:x2+a2=2+a2tan2t=asect , dx=a sec 2t dt ,22提示:sect=x+a, tant=x. aa解法二: 设x=a sh t , 那么高等数学课程建设组10高等数学教案第四章不定积分⎰dx=⎰ach t=⎰dt=t+C=arshx+C ach tax2+a2 ⎛⎫ =ln x+(x)2+1⎪+C=ln(x+x2+a2)+C1, a⎝a⎭其中C 1=C-ln a .提示: x2+a2=2sh2t+a2=a ch t , dx =a ch t d t .例23. 求⎰dx(a>0). x2-a2解: 当x>a 时, 设x=a sec t (0<t< π), 那么 2x2-a2=a2sec2t-a2=a2t-1=a tan t ,于是⎰dx=⎰asecttant=⎰sectdt= ln |sec t + tan t |+C . atantx2-a222因为tant=x-a, sect=x, 所以 aa⎰dx= ln |sec t + tan t |+C =ln|x+x2-a2|+C=ln(x+x2-a2)+C, 1aax2-a2其中C 1=C-ln a .当x<a 时, 令x=-u , 则u>a, 于是⎰dx=-⎰du=-ln(u+2-a2)+C x2-a22-a2=-ln(-x+x2-a2)+C=ln(-x-x2-a2)+C1,22-x-x-a=ln+C=ln(-x-x2-a2)+C1, a其中C 1=C-2ln a .综合起来有⎰dx=ln|x+x2-a2|+C. x2-a2解: 当x>a 时, 设x=a sec t (0<t< π), 那么 2高等数学课程建设组11高等数学教案第四章不定积分⎰dx =⎰asecttant=⎰sectdt22atantx-a22 =ln|sect+tatn|+C=lnx+x-a)+C aa(+x2-a2)+C, =lnx其中C 1=C-ln a .当x<-a 时, 令x=-u , 则u>a, 于是⎰dx=-⎰du=-ln(u+2-a2)+C x2-a22-a22222-x-x-a =-ln(-x+x-a)+C=ln+C a =ln(-x-x2-a2)+C1,其中C 1=C-2ln a .提示:x2-a2=2sec2t-a2=a2t-1=atant .22x-a提示:tant=, sect=x. aa综合起来有⎰dx=ln|x+x2-a2|+C. x2-a2补充公式:(16)⎰tanxdx=-ln|cosx|+C,(17)⎰cotxdx=ln|sinx|+C,(18)⎰secxdx=ln|secx+tanx|+C,(19)⎰cscxdx=ln|cscx-cotx|+C, (20)⎰(21)⎰(22)⎰(23)⎰1=1x+C, aaa+x221=1ln|x-a|+C,2ax+ax-a1=arcsinx+C, aa2-x2 dx=ln(x+x2+a2)+C, x2+a2高等数学课程建设组12高等数学教案第四章不定积分(24)⎰dx=ln|x+x2-a2|+C. x2-a2§4. 3 分部积分法设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为(uv)'=u'v+uv',移项得 uv'=(uv)'-u'v.对这个等式两边求不定积分, 得⎰uv'dx=uv-⎰u'vdx, 或⎰udv=uv-⎰vdu,这个公式称为分部积分公式.分部积分过程:⎰uv'dx=⎰udv=uv-⎰vdu=uv-⎰u'vdx= ⋅⋅⋅.例1 ⎰xcosxdx=⎰xdsinx=xsinx-⎰sinxdx=x sin x-cos x+C .例2 ⎰xexdx=⎰xdex=xex-⎰exdx=xex-ex+C.例3 ⎰x2exdx=⎰x2dex=x2ex-⎰exdx2=x2ex-2⎰xexdx=x2ex-2⎰xdex=x2ex-2xex+2⎰exdx=x2ex-2xex+2ex+C =ex(x2-2x+2 )+C.例4 ⎰xlnxdx=1⎰lnxdx2=1x2lnx-1⎰x2⋅1dx 222x=1x2lnx-1⎰xdx=1x2lnx-1x2+C. 2224例5 ⎰arccosxdx=xarccosx-⎰xdarccosx=xarccosx+⎰x1 -x21- =xarccosx-1⎰(1-x2)d(1-x2)=xarccosx--x2+C. 2例6 ⎰xarctanxdx=1⎰arctanxdx2=1x2arctanx-1⎰x2⋅1dx 2221+x=1x2arctanx-1⎰(1-1dx 221+x高等数学课程建设组13高等数学教案第四章不定积分 =1x2arctanx-1x+1arctanx+C. 222例7 求⎰exsinxdx.解因为⎰exsinxdx=⎰sinxdex=exsinx-⎰exdsinx=exsinx-⎰excosxdx=exsinx-⎰cosxdex=exsinx-excosx+⎰exdcosx=exsinx-excosx+⎰exdcosx=exsinx-excosx-⎰exsinxdx,所以⎰exsinxdx=1ex(sinx-cosx)+C. 2例8 求⎰sec3xdx.解因为⎰sec3xdx=⎰secx⋅sec2xdx=⎰secxdtanx=secxtanx-⎰secxtan2xdx=secxtanx-⎰secx(sec2x-1)dx=secxtanx-⎰sec3xdx+⎰secxdx=secxtanx+ln|secx+tanx|-⎰sec3xdx,cxdx=1(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C. 所以⎰se32例9 求In=⎰dx, 其中n为正整数. (x+a) 解 I1=⎰2dx2=1x+C; ax+aa当n>1时，用分部积分法, 有2dxxx ⎰=+2(n-1)⎰ (x+a)(x+a)(x+a)高等数学课程建设组14高等数学教案第四章不定积分 =x1a2dx, +2(n-1)[-⎰(x+a)(x+a)(x+a)x+2(n-1)(In-1-a2In), 22n-1(x+a)即 In-1=于是 In=1[x+(2n-3)In-1]. 2a(n-1)(x+a)以此作为递推公式, 并由I1=例10 求⎰edx. 1xarctan+C即可得In. aa解令x =t 2 , 则 , dx=2tdt. 于⎰edx=2⎰tetdt=2et(t-1)+C=2e(x-1)+C.⎰edx=⎰ed(x)2=2⎰xed=2⎰xdex=2xex-2⎰exdx=2xe-2e+C=2e(x-1)+C.第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰f[ϕ(x)]dϕ(x)令ϕ(x)=u⎰f(u)du,⎰u(x)v'(x)dx=⎰u(x)dv(x) =u(x)v(x)-⎰v(x)du(x).哪些积分可以用分部积分法？⎰xcosxdx, ⎰xexdx, ⎰x2exdx;⎰xlnxdx, ⎰arccosxdx, ⎰xarctanxdx;⎰exsinxdx, ⎰sec3xdx.⎰2xexdx=⎰exdx2=⎰eudu= ⋅⋅⋅ ,⎰x2exdx=⎰x2dex=x2ex-⎰exdx2= ⋅⋅⋅ .高等数学课程建设组15 22高等数学教案第四章不定积分 §4. 4 几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数:P(x)a0xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x+an , =Q(x)b0xm+b1xm-1+⋅⋅⋅+bm-1x+bm其中m和n都是非负整数; a0, a1, a2, ⋅⋅⋅ , an及b0, b1, b2, ⋅⋅⋅ , bm都是实数, 并且a0≠0, b0≠0. 当n<m时, 称这有理函数是真分式; 而当n≥m时, 称这有理函数是假分式.假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如x3+x+1=x(x2+1)+1=x+1. x2+1x2+1x2+1真分式的不定积分:求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 例1 求⎰解 x+3dx. x2-5x+6x+3⎰x-5x+6dx=⎰(x-2)(x-3)dx=⎰(x-3-x-2)dx x+365=⎰6dx-⎰5dx=6ln|x-3|-5ln|x-2|+C. x-3x-2提示: (A+B)x+(-2A-3B)x+3, =A+B=(x-2)(x-3)x-3x-2(x-2)(x-3)A+B=1, -3A-2B=3, A=6, B=-5.分母是二次质因式的真分式的不定积分:例2 求⎰解 x-2dx. x+2x+32⎰x2+2x+3dx=⎰2x2+2x+3-3x2+2x+3)dx x-212x+21=1⎰22x+2-3⎰21 2x+2x+3x+2x+3d(x2+2x+3)d(x+1)1 =⎰2 -3⎰2x+2x+3(x+1)2+()2=1ln(x2+2x+3)-3arctanx+1+C. 21(2x+2)-3x-2=1⋅x-2-3⋅1=提示: .x+2x+3x+2x+32x+2x+3x+2x+3例3 求⎰1dx. x(x-1)2高等数学课程建设组16高等数学教案第四章不定积分解⎰x(x-1)2dx=⎰[x-x-1+(x-1)2dx 1111=⎰1dx-⎰1dx+⎰12dx=ln|x|-ln|x-1|-1+C. xx-1x-1(x-1)提示: 1=1-x+x=-1+1 x(x-1)(x-1)2x(x-1)2x(x-1)2=-1-x+x+12=1-1+12. x(x-1)(x-1)xx-1(x-1)二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式.用于三角函数有理式积分的变换:把sin x、cos x表成tanx的函数, 然后作变换u=tanx: 222tanx2tanx==2u, sinx=2sinxcosx=22sec21+tan21+u2221-tan2x=1-u2. cosx=cos2x-sin2x=22sec21+u2变换后原积分变成了有理函数的积分.例4 求⎰1+sinxdx. sinx(1+cosx)2x2u2du. 1-u 解令u=tan, 则sinx=, cosx=, x=2arctan u , dx=2221+u1+u1+u2(1+2u)2du=1(u+2+1)du 于是⎰1+sinxdx=⎰sinx(1+cosx)2⎰u2u(1+1-u1+u1+u1+u21u=(+2u+ln|u|)+C=1tan2x+tanx+1ln|tanx|+C. 2242222解令u=tanx, 则 2高等数学课程建设组17高等数学教案第四章不定积分(1+2u2 ⎰1+sinxdx=⎰⋅22du 2sinx(1+cosx)2u(1+1-u1+u1+u21+u22 =1u+2u+ln|u|)+C=1⎰(u+2+1du 222u=1tan2x+tanx+1ln|tanx|+C. 42222说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如, 三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去.例5 求⎰x-1dx. x解设x-1=u, 即x=u2+1, 则⎰1+sinxdx=⎰1+sinxd(1+sinx)=ln(1+sinx)+C. cosx1⎰x-1dx=u⋅2udu=2u2⎰u2+1⎰u2+1x=2⎰(1-1)du=2(u-arctanu)+C 1+u=2(x-1-arctanx-1)+C.例6 求⎰dx. 1+x+2 解设x+2=u. 即x=u3-2, 则dx=1⋅3u2du=3u2-1+1du ⎰1++2⎰1+u⎰1+u2 =3⎰(u-1+1du=3(u-u+ln|1+u|)+C 1+u2=3x+2)2-x+2+ln|1+x+2|+C. 2例7 求⎰dx. (1+x)x 解设x=t 6, 于是dx =6t 5d t , 从而高等数学课程建设组18高等数学教案第四章不定积分 dx6t5dt=6t2=6(1-1)dt=6(t-arctant)+C=⎰(1+x)x⎰(1+t2)t3⎰1+t2⎰1+t2=6(x-arctanx)+C.例8 求⎰1+xdx. xx解设+x=t, 即x=21, 于是 xt-1-2t ⎰1+xdx=⎰(t2-1)t⋅xx(t-1)2 =-2⎰tdt=-2⎰(1+1)dt t-1t-1=-2t-ln|t-1|+C t+1=-2+x-ln+x-x+C. x+x+练习1. 求⎰dx. 2+cosx1-t2x2 解: 作变换t=tan, 则有dx=, x=dt, cos1+t221+t22dt221tdx1=⎰1+t2=2⎰⎰ =ddt⎰2t1-t2+cosx3+t31+()22+1+t23=2arctant3+C=231xtan)+C. 232. 求⎰sin5xdx. 4cosx4(1-co2sx)2sin5xsinx 解: ⎰dx=-⎰dcosx=-⎰dcosx cos4xco4sxco4sx21 =-⎰(1-+)dcosx cos2xcos4x=-cosx-3. 求⎰3x+1dx. x2-3x+221++C. 3cosx3cosx高等数学课程建设组19高等数学教案第四章不定积分解: ⎰3x+13x+174=dxdx=(-⎰(x-2)(x-1)⎰x-2x-1)dx x2-3x+211dx-4⎰dx x-2x-1=7ln|x-2|-4ln|x-1|+C.§4.5积分表的使用积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂. 为了实用的方便, 往往把常用的积分公式汇集成表, 这种表叫做积分表. 求积分时, 可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后, 在表内查得所需的结果.积分表一、含有ax+b的积分 =7⎰1．⎰dx=1ln|ax+b|+C ax+ba2．⎰(ax+b)μdx=3．⎰1(ax+b)μ+1+C(μ≠-1) a(μ+1)xdx=1(ax+b-bln|ax+b|)+C ax+ba224．⎰xdx=13[1(ax+b)2-2b(ax+b)+b2ln|ax+b|]+C ax+ba25．⎰6．⎰7．⎰8．⎰9．⎰dx=-1lnax+b+C x(ax+b)bxdx1+alnax+b+C =-x2(ax+b)bxb2xx1(ln|ax+b|+b)+C dx=(ax+b)2a2ax+bx2dx=1ax+b-2bln|ax+b|-b2)+C (ax+b)2a3ax+bdx11lnax+b+C =-x(ax+b)2b(ax+b)b2xxdx. (3x+4)2例1求⎰解: 这是含有3x+4的积分, 在积分表中查得公式x1b⎰(ax+b)2dx=a2(ln|ax+b|+ax+b)+C.高等数学课程建设组20高等数学教案第四章不定积分现在a=3、b=4, 于是x14⎰(3x+4)2dx=9ln|3x+4|+3x+4)+C. 二、含有+b的积分1．⎰ax+bdx=2ax+b)3+C 3a2．⎰x+bdx=22(3ax-2b)ax+b)3+C 15a3．⎰x2+bdx=4．⎰5．⎰2(15a2x2-12abx+8b2)ax+b)3+C 105a3xdx=2(ax-2b)+b+C 3a2+bx2dx=2(3a2x2-4abx+8b2)+b+C 15a3+b1ln+b-+C (b>0)ax+b+ 2arctanax+b+C (b<0)-b-b⎧⎪6．⎰dx=⎨x+b⎪⎩7．⎰dx=-+b-a⎰dx bx2bx+bx2+b8．⎰+bdx=+b+b⎰dx xx+b9．⎰2+bdx=-+b+a⎰dx xx2x+b三、含x2±a2的积分1．⎰2．⎰3．⎰x2+a2dx=1arctanx+C aadxx2n-3dx =+⎰(x2+a2)n2(n-1)a2(x2+a2)n-12(n-1)a2(x2+a2)n-1dx=1lnx-a+C x2-a22ax+aax+C (b>0)b x-b+C (b<0)x+b四、含有ax2+b(a>0)的积分⎧1arctandx=⎪1．⎰2⎨ax+b⎪1ln⎩2ab2．⎰xdx=1ln|ax2+b|+C ax2+b2a高等数学课程建设组21高等数学教案第四章不定积分 3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰7．⎰x2dx=x-bdx ⎰2ax+baaax2+bdx1lnx2+C =x(ax2+b)2b|ax2+b|dxx2(ax2+b)1dx =-1-a⎰2bxbax+bdxaln|ax2+b|-1+C =x3(ax2+b)2b2x22bx2dx=x11dx+⎰(ax2+b)22b(ax2+b)2bax2+b五、含有ax2+bx+c (a>0)的积分六、含有x2+a2 (a>0)的积分1．⎰2．⎰3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰7．⎰8．⎰dx=arshx+C=ln(x+x2+a2)+C a1x2+a2dxx+C x2+a2)3a2x2+a2x=x2+a2+Cx2+a2x1dx=-+C x2+a2)3x2+a2x2=xx2+a2-a2ln(x+x2+a2)+C 22x2+a2x2xdx=-+ln(x+x2+a2)+C 22322x+a)x+a22dx=1lnx+a-a+C |x|xx2+a2ax22+a2dx=-x2+C ax2+a2 9．⎰x2+a2dx=xx2+a2+aln(x+x2+a2)+C 222例3求⎰dx. xx2+9dxdx=1⎰, xx2+92xx2+(322解: 因为⎰所以这是含有x2+a2的积分, 这里a=3. 在积分表中查得公式 2高等数学课程建设组22高等数学教案第四章不定积分 dx1ln2+a2-a+C. =⎰xx2+a2a|x|x2+(3)2-3dx+C=1lnx2+9-3+C. 于是⎰=1⋅2ln|x|32|x|xx2+923七、含有x2-a2(a>0)的积分1．⎰2．⎰3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰7．⎰8．⎰dx=xarch|x|+C=ln|x+x2-a2|+C 1ax2-a2|x|dxx=-+C x2-a2)3a2x2-a2xdx=x2-a2+C 22x-ax1dx=-+C x2-a2)3x2-a2x2dx=xx2-a2+a2ln|x+2-a2|+C 22x2-a2x2xdx=-+ln|x+x2-a2|+C x2-a2)3x2-a2dx=1arccosa+C |x|xx2-a2ax222dx=x2-a+C ax2-a29．⎰2-a2dx=xx2-a2-aln|x+x2-a2|+C 222八、含有2-x2(a>0)的积分1．⎰2．⎰3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰dx=arcsinx+C a2-x2dxx=-+C a2-x2)3a22-x2xdx=2-x2+C 22-xx1dx=+C a2-x2)32-x2x2dx=-x2-x2+a2arcsinx+C 22a2-x2x2xdx=-arcsinx+C aa2-x2)32-x2高等数学课程建设组23高等数学教案第四章不定积分 7．⎰8．⎰22dx=1lna--x+C |x|x2-x2ax222dx=-2-x+C ax2-x229．⎰a2-x2dx=x2-x2-aarcsinx+C 22a九、含有ax2+bx+c(a>0)的积分十、含有±x-a或x-a)(x-b)的积分 x-b十一、含有三角函数的积分1．⎰secxdx=ln|secx+tanx|+C2．⎰cscxdx=ln|cscx-cotx|+C3．⎰secxtanxdx=secx+C4．⎰cscxcotxdx=-cscx+C5．⎰sin2xdx=x-1sin2x+C 246．⎰cos2xdx=x+1sin2x+C 247．⎰sinnxdx=-1sinn-1xcosx+n-1⎰sinn-2xdx nn8．⎰cosnxdx=1cosn-1xsinx+n-1⎰cosn-2xdx nn9．⎰sinaxcosbxdx=-1cos(a+b)x-1cos(a-b)x+C 2(a+b)2(a-b)1sin(a+b)x+1sin(a-b)x+C 2(a+b)2(a-b)10．⎰sinaxsinbxdx=-11．⎰cosaxcosbxdx=1sin(a+b)x+1sin(a-b)x+C 2(a+b)2(a-b)atanx+bdx2=arctan+C (a2>b2) 12．⎰2222a+bsinxa-b-b高等数学课程建设组24高等数学教案第四章不定积分atanx+b-2-a2dx=213．⎰ln+C (a2<b2) a+bsinx2-a2atan+b+2-a2214．⎰dxa+barctan(a-btanx)+C (a2>b2) =2a+bcosxa+ba-ba+b2a+b+C (a2<b2) a+bb-atanx+dxa+bln14．⎰=2a+bcosxa+bb-atanx-2例2求⎰dx. 5-4cosxdx2a+barct(a-btax)+C (a2>b2). a-ba+b25+(-4)5-(-4)x)+C arct(ta5-(-4)5+(-4)2解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式 =⎰a+bcoxsa+bdx2这里a=5、b=-4, a 2>b2, 于是 =⎰5-4coxs5+(-4)=2arctan(3tanx)+C. 32例4 求⎰sin4xdx.解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式⎰sinnxdx=-1sinn-1xcosx+n-1⎰sinn-2xdx, ⎰sin2xdx=x-1sin2x+C. nn24这里n=4, 于是⎰sin4xdx=-1sin3xcosx+3⎰sin2xdx=-1sin3xcosx+3x-1sin2x)+C. 444424高等数学课程建设组25。
浅谈不定积分教学中的几点思考
浅谈不定积分教学中的几点思考不定积分是高等数学中的重要内容，它是微积分学的一个重要分支，也是数学分析中的基本概念。
在不定积分的教学中，教师要注意引导学生正确掌握不定积分的概念、性质和计算方法。
也要重视学生的实际应用能力和解题技巧的培养。
在教学实践中，我对不定积分教学有了一些思考，希望能够与大家分享一下。
不定积分的概念和性质是不定积分教学的重点。
在教学中，我发现学生在掌握不定积分的概念和性质时常常存在一些困惑和误解。
在教学中，我强调对不定积分的概念和性质进行深入浅出的讲解，使学生能够从概念上正确理解不定积分的含义和作用。
我结合具体的例子和图表，引导学生理解不定积分的几何意义和物理意义，使他们能够通过不定积分来求曲线下的面积、物体的体积和质心等。
我还注重对不定积分的性质进行详细的分析和讲解，使学生能够清楚地了解不定积分的线性性、积分中值定理、换元积分法和分部积分法等重要性质，从而为后续的计算方法打下坚实的基础。
不定积分的计算方法是不定积分教学的关键。
在教学中，我发现学生在学习不定积分的计算方法时常常感到困惑和疑惑。
我通过举一反三、由浅入深的方式，对不定积分的计算方法进行逐步讲解。
我首先从基本函数的不定积分开始，让学生掌握常见函数的不定积分表达式和性质，然后引导学生掌握积分换元法、分部积分法、有理函数的积分、三角函数的积分等高级计算方法，使他们能够熟练灵活地运用这些方法解决实际问题。
我还通过大量的例题和练习，让学生加深对不定积分计算方法的理解和掌握，培养他们的解题能力和应用能力。
不定积分与定积分、微分方程等内容的结合是不定积分教学的提升点。
在教学中，我发现学生对不定积分与定积分、微分方程等内容的联系和区别理解不够深入，从而影响了他们对不定积分的整体把握。
在教学中，我注重通过引入与不定积分相关的定积分应用题目，让学生理解不定积分与定积分之间的内在联系和区别，使他们能够通过不定积分求解定积分、利用定积分求解不定积分。
浅谈不定积分教学中的几点思考
浅谈不定积分教学中的几点思考
在不定积分的教学中，我们需要注意以下几点：
一、认清不定积分的概念和意义
不定积分是一种计算原函数的方法，是微积分中的基本概念之一。
但是，很多学生只是把不定积分当成一个符号，不知道它的实际意义。
因此，在教学中需要强调不定积分的概念和意义，并结合实际问题，让学生理解不定积分的含义和作用。
二、重点讲解基本积分公式
基本积分公式是不定积分中最基础的内容，也是学习不定积分的必备知识点。
在教学中，我们需要重点讲解基本积分公式、几何意义以及运用方法。
同时，我们还需要教给学生如何推导基本积分公式，让学生理解公式的来源和内涵。
三、注重几何意义的讲解
不定积分的几何意义是指原函数的图像与被积函数图像之间的关系。
在教学中，我们需要注重几何意义的讲解，让学生通过绘制函数图像来理解原函数的概念和性质。
此外，我们还可以通过图形面积、拐点和极值点等来帮助学生深入理解原函数的几何意义。
四、引导学生思考
不定积分是一种比较抽象的概念，需要学生进行一定的思考和探索。
在教学中，我们需要引导学生思考不定积分与定积分的关系、不定积分的性质以及不同函数的不定积分求法等问题。
通过鼓励学生思考和探索，可以帮助他们深入理解不定积分的概念和原理。
总之，不定积分是微积分中的基础概念，也是一个比较抽象的概念。
在教学中，我们需要认真讲解不定积分的概念和意义，注重几何意义的解释，重视基本积分公式的讲解和推导，同时引导学生思考，培养学生的思维能力和创造性。
浅谈不定积分教学中的几点思考
浅谈不定积分教学中的几点思考
不定积分是高中数学中较为复杂和抽象的内容之一，也是学生们普遍较难掌握的部分。
在教学中，我们需要关注以下几个方面来帮助学生更好地理解和应用不定积分。
教师要注重基础知识的讲解和概念的引入。
不定积分的概念和性质是学生学习的基础，只有对这些内容有清晰的认识，才能更好地理解不定积分的意义和作用。
教师可以通过生
动的例子和实际应用，帮助学生建立直观的认识。
教师要注重与学生的互动和实践。
在课堂上，教师可以设立一些问题和练习，引导学
生进行思考和讨论。
学生在解决问题的过程中，既能够巩固所学知识，又能够培养分析和
解决问题的能力。
教师还可以组织实验和实践活动，让学生通过实际操作来体会不定积分
的意义。
教师还要注意灵活运用多种教学方法和资源。
不同的学生有不同的学习方式和习惯，
教师可以采用讲解、演示、讨论、实验等多种教学方法，满足学生的不同需求。
教师还可
以利用多媒体资源、网络资源和教辅材料，丰富教学内容，提高教学效果。
教师要注重实用性和应用性的培养。
不定积分作为数学的一个分支，在实际应用中有
着广泛的用途。
教师可以通过引入实际问题和案例，让学生理解不定积分的应用场景和意义。
教师还可以鼓励学生利用不定积分解决实际问题，提高学生的应用能力。
不定积分教学中需要教师关注基础知识的讲解、互动和实践、灵活运用多种教学方法
和资源，以及实用性和应用性的培养。
只有这样，才能够帮助学生更好地理解和应用不定
积分，提高数学学习的效果。
浅谈不定积分教学中的几点思考
浅谈不定积分教学中的几点思考
一、基础知识的讲解
在讲解不定积分之前，我们需要首先讲解导数的概念。
只有理解了导数的概念，才能
更好地理解不定积分。
另外，在讲解不定积分时，需要重点强调常见函数的积分形式和性质，如多项式、指数函数、三角函数等。
只有掌握了这些基础知识，才能更好地理解和应
用不定积分。
二、分类讲解概念
不定积分的概念繁杂，而且形式多样。
在教学中，我们需要将不定积分的概念分类讲解，便于学生更好地理解和掌握。
例如，可以将不定积分分为基本积分公式、换元积分法、分部积分法、偏微分方程法等，然后逐个进行讲解和练习，从而帮助学生更好地理解和应
用不定积分。
三、注重实例演练
不定积分的难点在于应用方法，因此，教学中需要注重实例演练，引导学生通过大量
的练习来掌握不定积分的应用方法。
在演练中，应注意引导学生形成正确的思考习惯，帮
助他们理解问题的本质，熟悉基本积分公式和积分方法，掌握应用技巧，从而熟能生巧。
四、加强技巧指导
不定积分的应用技巧非常重要，许多问题本质上就是技巧问题。
因此，教学中需要加
强对技巧的指导和讲解。
例如，在讲解换元积分法时，需要引导学生如何选择合适的换元
变量，如何选择适当的初等函数和怎样判断积分号位置等等。
只有掌握了这些技巧，才能
更好地解决不定积分问题。
总之，保持扎实的数学基础和认真的思考精神是掌握不定积分的关键。
通过分类讲解、实例演练和技巧指导等方法，我们可以更好地帮助学生掌握不定积分的应用方法，提高他
们的数学思维和解决问题的能力。
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【 收稿 日期】 ０７ ０ １ ２０ —１ — ９
＝Ｊ ＝ ｃ ． ｅ ｅ＋ ２
【 作者简介 】 蒋红英（９ ５ 。 。 １６ ～） 女 云南普洱人。 思茅师范 高等专科 学校数学 系讲师。
４ ８
维普资讯
蒋红英 ： 关 于不 定积 分教学
Ｆ（ ）＝Ｏ Ｆ（ ）
即 ： Ｃ ＝一１ ｌ 令 Ｃ ＝ ，Ⅱ ｌ ２＋ １＋ ２ ＋Ｃ， ２ Ｃ贝 Ｃ ＝ Ｃ
因此 Ｆ ） ｆ ｅ ＋ ， ≥Ｏ （ ２一 一 ｃ
… 一 ， 、
导， 故上 述解 法正确 。 例２ ．求 ，
ｘ 、
ｌ ，， ＜ ｏ
压
兰一 的定 义域 为
－
ｄ ． ～ｄ ｘ＝ｒ ｘ＝一 ＋ ｅ ｅ ｃ ｄ ＝ｒ ｄ ｅ ＋ ｘ ． ｘ＝ ｃ ｅ
．
．
ｉ － ，ｄ ｅ ＩＩ ｘ＝
所得分 段 函数
ｒ— ｅ一 ＋ｃ， １ ＞０
而这样 的解 答 是 错 误 的。 为说 明 其 错 误 所
在， 让我 们 回顾 有关 的定 义 ：
具有连 续 性 及 可 导 性 （ 果 没 有 特 定 条 件 限 制 ， 如 那么就 应该 在 函数厂 ） 定义 的 区间上讨论 ） （ 有 。 至此 ， 我们 可 以 回头 来 审 视 一 下 上 述 解 法 。
学 生往往作 出这样 的解答 ：
当 ≥０时 ， 当 ＜ ０时 ，
（ ）＋ 。 Ｃ
些很关 键 的地 方 。本 文 从 例 子人 手 ， 出关 于 得
计 算不定 积分应 注 意 的 问题 ， 函数 的原 函数 为 即
分段 函数 的 问题 。
１例 ： 求不定 积分 Ｊ ． ｅ
由此 可见 ， 正确计 算不 定 积 分 工（ ， 要 厂 ） 关 键在 于寻求 被积 函数 ｆ ） （ 的原 函数 Ｆ（ ） 而 函 ｘ ， 数 Ｆ ｘ 必 须保证 在被 积 函数 厂 ） （） （ 的定 义 区 间上
： ｎ１ ． ｓ （＋） ｇ
＝
上＋ ｎ１ ． ＝ ＋ ： ｓ （一） ’ ｇ ； 。
了使函数 Ｆ ｘ 在点 ＝ 连续 ， （） Ｏ 须
／ ／ ｍ
．
÷［ １ （ ＋ ） Ｊ 一 Ｊ １ ］ ｃ ｆ ＋ Ｊ １ ＋ （ 一 ） ＋ １
经 检查 ， 个 函数在 点 ＝ 一１ ＝１， 这 ， 处均 可
关 于 不 定 积 分 教 学
蒋红 英
（ 茅师范 高等 专科 学校 数 学 系， 思 云南 普洱 ６５０ ） ６００
【 摘 要 】 针对不定积分的概念及计算问题 ， 归纳出解决不定积分应注意的几个问题 。 【 关键词 】 不定积分 ； 定义区间； 分段 函数 ； 函数 原 【 中国分类号】 １５５ 【 Ｏ ７ ． 文献标识码 】 【 Ａ 文章编号】０８ ８ ５ （０７ ０ — ０ ８ ０ １０ — ０ ９ ２０ ）６ ０４ — ２
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２０ ０ ７年 ｌ ２月
第２ ３卷 第 ６期
思 茅师范 高等专科 学校 学报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｉ ｏＴ ａ ｈ ｒ ｓＣ ｌ ｇ ｏ ｒａ ｍａ ｅ ｃ ｅ ’ ｏｌ ｅ ｏＳ ｅ
Ｄｅ ． ｏ ７ ｃ２ ０
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ． １２ ６
这里 被积 函数为 戈 一 其定 义域为 ）＝１， （一∞ ，） ０， ０ Ｕ（ ＋∞ ） ，不难求 出
作 换 ÷则 ＝ 代 ＝ ， 一 得
Ｆ ＝【 （） ｛
ｅ ＋ Ｃ ， ＜０
１１设函数， ） 区间 ， ． （ 在 有定 义 ， 存在 函数 Ｆ ｘ 。 （ ）
在点 ＝ 不连续 ， ０ 从而在 点 ＝ ０不可导 ，
故不 能充 当原 函数 。正 确 的解 法应 当是 ： 当 ≥０时 ， ． 引 ＝Ｊ Ｊ ｅ ． ｅ
√３ 一２ ｘ一１
在点 ＝ Ｏ连续 ， 从而（一 ＋∞） ∞， 在连续。 显然 ，函数 ｆ（ ） ｘ 在点 ＝ ０可导 ， 必在 （一∞， ＋∞） 可导 。
解： 被积 函数—
（ 一∞， 了 ｕ（ ＋∞） 一１］ １
，
故
理解 它呢？
＝ ｛
。。
２ 分 式 给 ， ＝ Ｉ Ｃ 该 样 积公表 出警训 ＋应 怎 ｔ
ｆ—ｅ ＋ｃ ， 一 ｌ ≥Ｏ
Ｆ ｘ ＝ （） ｛ 【
ｅ ＋ｃ ２， ＜Ｏ
＝ ｇ （ ＋ ， １ ） （ ）＋ ｇ （ ） （ ｓｎ １ ） （ ＋ ｄ １＋ ｓｎ １一 ， １一 ）（ 一 ｄ １ ）
对 于任 意的 Ｃ， 在 点 ＝ Ｃ ２ Ｏ一般 不 连续 ， 为
当 ＜ ０时 ，ｅ Ｊ ． 由于分段 函数
若Ｖ ｌ ＝ （）则称函数 Ｆ ｘ 是在厂 ） ｘ Ｆ （） 厂 ， ｅ （） （ 区
间， 的原函数 ， 或简称 Ｆ ） （ ） （ 是ｆ ｘ 的原 函数 。
＝一 ＋ｃ ｅ ｌ
１２若函数厂 ） ． （ 在区间 ， 连续 ， 则函数 厂 在区 （ ）
一
１３若 Ｆ ｘ 是 函数 厂 ） 区间 ，的一 个 原 函数 ， ． （） （ 在
则 函数 厂 ） （ 的无 限多 个 原 函数仅 限于 Ｆ（ ）＋Ｃ ｘ （ ＶＣ∈Ｒ 的形 式 。 ）
１４函数 厂 ） 所 有 的原 函 数 Ｆ（ ）＋Ｃ（ ． （ 的 ｘ ＶＣ∈ Ｒ） 为 函数 ｆ ｘ 的不 定 积分 ， 为 工（ ｄ 称 （） 表 厂 ）ｘ＝Ｆ
不定积分是《 数学分析》 这门课 中的一个重
要 内容 ， 是积 分学 中最 基 本 的 问题 之 一 。能否 熟 练地 计 算 不定 积分 是 学 好 定 积 分 、 积 分 、 积 重 线 分 、 积分 以及 常 微分 方 程 等后 继 知 识 的 关键 。 面 不定积分 这一章 虽 然概 念 不 多 ， 但往 往容 易忽 视