山西高考二轮复习高考文科数学 第六节 对数与对数函数

=
2
(lg3 1) (lg3 2lg 2 1)
=- 3 .
2
(3)原式=log32·log43+log32·log83+log92·log43+log92·log83
= lg 2 · lg3 + lg 2 · lg3 + lg 2 · lg3 + lg 2 · lg3
lg3 2lg 2 lg3 3lg 2 2lg3 2lg 2 2lg3 3lg 2
所以m2=10,所以m= 10 .
对数函数的图象及其应用
典例2 (1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是 ( C )
(2)当0<x≤ 12 时,4x<logax(a>0且a≠1),则a的取值范围是 ( B )

A. 0,

2
2


B.

2 2
,1

C.(1, 2 ) D.( 2 ,2)
loga MN =
logaMn=
logaM-logaN ; nlogaM (n∈R);
lo gam Mn= mn logaM(m,n∈R,且m≠0).
3.对数函数的图象与性质
a>1
图象
性质
定义域:(0,+∞) 值域:R 图象恒过点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 是(0,+∞)上的增函数
3
7) 7)
= 2 log23 log23 log37 = 2 a ab . 2log23 log23 log37 2a ab
1-3 设2a=5b=m,且 1 + 1 =2,则m等于
.
ab
答案 10
解析 由2a=5b=m得a=log2m,b=log5m,
所以 1a + b1 =logm2+logm5=logm10. 因为 1a + b1 =2,所以logm10=2.
1-1 若lg x+lg y=2lg(2x-3y),则lo g32 xy 的值为
.
答案 2
解析 依题意,可得lg(xy)=lg(2x-3y)2,
即xy=4x2-12xy+9y2,
整理得4
x y
2
-13 xy
+9=0,解得 x =1或 x = 9 .
y
y4
因为x>0,y>0,2x-3y>0,所以 xy = 94 ,所以lo g32 xy =2.
1-2 已知log23=a,3b=7,则lo g3 7 2 21的值为
.
答案 2 a ab
2a ab
解析 因为3b=7,所以log37=b.又log23=a,
所以lo g3
7 2 21=lo g 63
84
=
log log
2 2
84 6332
(2)几种常见的对数
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数
特点 底数为a(a>0且a≠1) 底数为10 底数为e
记法 ⑤ logaN ⑥ lg N ⑦ ln N
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
alogaN =⑧ N ;logaaN=⑨ N .(a>0且a≠1)
(2)对数的重要公式
换底公式:⑩
(2)解法一:若a>0,则-a<0,
∴log2a>lo g12 a⇒log2a>log2 1a⇒a> 1a⇒a>1.
若a<0,则-a>0,
∴lo g12 (-a)>log2(-a)⇒log2 1a >log2(-a)⇒- 1a>-a⇒a>-1.∴-1<a<0.
综上可知a∈(-1,0)∪(1,+∞).
= 1 + 1 + 1 + 1 = 15 = 5 .
2 3 4 6 12 4
规律方法 对数运算的求解思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式, 使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运 算性质,将其转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算.
函数图象只经过第一、四象限. ( √ )
答案 (1)✕ (2)✕ (3)✕ (4)✕ (5)√ (6)√
2.化简:log29·log34= ( D )
A. 1 B. 1 C.2 D.4
4
2
答案
D
log29·log34= llgg 92
· lg 4
lg 3
= 2 lg 3
lg 2
·2 lg 2 lg 3
答案 A 当a>1时,函数y=logax的图象为选项B,D中的曲线,此时函数y =-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a>1,选项B,D中的图象都不 符合要求;当0<a<1时,函数y=logax的图象为选项A,C中的曲线,此时函数 y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0<a<1,选项A中的图象符 合要求,选项C中的图象不符合要求.
2
1 2
x, x (x), x 0,

0,
若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
( C)
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
答案 (1)D (2)C
解析 (1)由已知得c=log23,∵log23>log2e>1,b=ln 2<1,∴c>a>b,故选D.
◆探究
(变条件)若本例(2)变为方程4x=logax(a>0且a≠1)在 0, 12

上有
解,则实数a的取值范围是
.
答案 解析

0,
2
2

若方程4x=logax(a>0且a≠1)在 0, 12

上有解,则函数y=4x和函数y=
logax的图象在 0, 12
logbN
= logaN (a,b均大于0且不等于1); logab
相关结论:logab= log1ba ,logab·logbc·logcd= logad (a,b,c均大于0且不等
于1,d大于0).
(3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
loga(MN)= logaM+logaN ;
0<a<1
当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 是(0,+∞)上的减函数
▶提醒 当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进 行讨论.
4.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数 y=logax (a>0,且a≠1)互为 反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称.
=4.
3.(教材习题改编)若lg 2=a,lg 3=b,则lg 12的值为 ( C ) A.a B.b C.2a+b D.2ab 答案 C 因为lg 2=a,lg 3=b,所以lg 12=lg(4×3)=2lg 2+lg 3=2a+b.
4.函数y=log2x2的大致图象是 ( D )
答案 D 令f(x)=y=log2x2, f(-x)=log2(-x)2=log2x2=f(x), ∴y=log2x2的图象关于y轴对称,故选D.
(2)存在.理由如下:假设存在实数a,使f(x)的最小值为0. 令h(x)=ax2+2x+3,则h(x)有最小值1,
因此应有1a2a0, 4a
4

1,
解得a= 1 .
2
故存在实数a= 1 ,使f(x)的最小值为0.
2
规律方法 1.比较对数值的大小的方法 (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数 为同一字母,则需对底数进行分类讨论. (2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5
=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.
(2)原式=
(lg
3)2

2
lg
3

1
3 2
lg
3

3lg
2

3 2

(lg3 1) (lg3 2lg 2 1)
(1 lg3) 3 (lg3 2lg 2 1)
考点突破
对数式的化简与求值
典例1 计算:(1)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2;
(lg3)2 lg9 1(lg 27 lg8 lg 1 000)
(2)
;
lg 0.3 lg1.2
(3)(log32+log92)·(log43+log83).
解析 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52
5.(2018课标全国Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=
. 答案 -7 解析 由f(3)=1得log2(32+a)=1,所以9+a=2,解得a=-7.
6.(教材习题改编)函数y=loga(4-x)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点 .
答案 (3,1) 解析 当4-x=1即x=3时,y=loga1+1=1. 所以函数的图象恒过点(3,1).
答案 (1)C (2)B 解析 (1)函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B;函数y=2log4(1-x) 在定义域上单调递减,排除D.故选C. (2)易知0<a<1,函数y=4x与y=logax的大致图象如图,则由题意可知只需满
足loga 12 > 412,解得a> 22 ,∴ 22 <a<1,故选B.
解法二:特殊值验证.
令a=2, f(2)=log22=1, f(-2)=lo g1 [-(-2)]=-1,
2
满足f(a)>f(-a),故排除A、D.
令a=-2, f(-2)=log 1 [-(-2)]=-1,
2
f(-(-2))=f(2)=1,
不满足f(a)>f(-a),故排除B.
命题方向二 对数型函数的性质的应用 典例4 已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间; (2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请 说明理由.
解析 (1)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,所以a+5=4,所以a=-1,此时f(x)=log 4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0得-1<x<3,即函数f(x)的定义域为(-1,3). 令t=-x2+2x+3,x∈(-1,3), 则t=-x2+2x+3在(-1,1]上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又y=log4t在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)的单调递增区间是(-1,1], 单调递减区间是(1,3).
(3)函数y=log2x及y=lo 3 (3x)都是对数函数. ( ✕ )
(4)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数. ( ✕ )
(5)函数y=ln 11 xx与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同. ( √ )
(6)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1), 1a ,1 ,
知识拓展 对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函 数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以 下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”) (1)loga(MN)=logaM+logaN. ( ✕ ) (2)logax·logay=loga(x+yg)1. ( ✕ )
1.对数的概念
教 2.对数的性质与运算法则 材 研 3.对数函数的图象与性质 读 4. 反函数
考 考点一 对数式的化简与求值
点 突
考点二 对数函数的图象及其应用
破 考点三 对数函数的性质及应用
教材研读
1.对数的概念
(1)对数的定义 一般地,如果① ax=N(a>0,且a≠1) ,那么数x叫做以a为底N的对数,记 作② x=logaN ,其中③ a 叫做对数的底数,④ N 叫做真数.
对数函数的性质及应用
命题方向一 对数函数的单调性
典例3 (1)(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo g12 13,则a,b,c的大小
关系为 ( D )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
(2)设函数f(x)=
log log

上有交点,
由图象知0log
a 1,
a
1 2

2,
解得0<a≤ 2
2
.
方法技巧 对数函数图象的应用方法 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数的图象问题,利用数 形结合法求解.
2-1 函数y=logax与y=-x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( A)