上海市黄浦区2013届高三上学期期末教学质量调研数学理试题--含答案

黄浦区2012学年度第一学期高三年级期终考试
数学试卷(理科)（一模） 2013年1月17日
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直
接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．已知集合{|03}A x x =<<，2{|4}B x x =≥，则A
B = ．
2．若(12i)(i)z a =--(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为 ．
3. 若数列{}n a 的通项公式为21(*)N n a n n =-∈，则12lim n
n n
a a a na ∞+++=→ ．
4．已知直线1:20l x ay ++=和2:(2)360l a x y a -++=，则1l ∥2l 的充要条件是a = ． 5．91()x x
+的展开式中5x 的系数是 （用数字作答）． 6．盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个， 黄色球3个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球 颜色不同的概率等于 ． 7．已知
1cos21sin cos ααα-=，1
tan()3
βα-=-，则tan(2)βα-的值
为 ．
8．执行右边的程序框图，若10p =，则输出的S = ． 9．已知函数⎩
⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()
0(≤>x x ，且函数()()F x f x x a =+-
有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知函数sin()(0)3
y x π
ωω=+
>的最小正周期为π，若将
该函数的图像向左平移m (0)m >个单位后，所得图像关于 原点对称，则m 的最小值为 ．
11．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF
（第8题图）
D 1
C 1
B 1
A 1
E 的距离为d ，则d 的值为 ．
12．已知函数()x f x a =(0a >且1a ≠)满足(2)(3)f f >，若y =1()f x -是()y f x =的反函数，
则关于x 的不等式11(1)1f x -->的解集是 ．
13．已知F 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，O 是双曲线C 的中心，直线y =
是双曲线C 的一条渐近线．以线段OF 为边作正三角形MOF ，若点M 在双曲线C 上，
则m 的值为 ．
14．已知命题“若22()f x m x =，2()2g x mx m =-，则集合1
{|()(),1}2
x f x g x x <≤≤=∅” 是假命题，则实数m 的取值范围是 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的
相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是 （ ）
A ．菱形
B ．矩形
C ．直角梯形
D ．等腰梯形
16．若cos isin z θθ=+（R θ∈，i 是虚数单位），则|22i |z --的最小值是 （ ）
A ．22
B ．2
C ．122+
D ．122-
17．若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是
偶函数；②对任意的R x ∈都有()|()|0
f x f x -+=；③()y f x =-在(,0]-∞上单调递增； ④()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为 （ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
18．若矩阵12
3412
3
4a a a a b b b b ⎛⎫
⎪⎝⎭
满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1,2,3,4}； ②四列中至少有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为 （ ） A ．48 B ．72
C ．168
D ．312
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域
内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图所示，在棱长为2的正方体1111
ABCD A B C D -中，E ,F 分别为线段1DD ,BD 的 中点．
N
P
M
D
C
B
A
（1）求异面直线EF 与BC 所成的角； （2）求三棱锥11C B D F -的体积．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
在△ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且A , B , C 成等差数列． （1）若3,AB BC ⋅=-
且b =a c +的值； （2）若2sin 1sin C
M A
=，求M 的取值范围．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
如图所示，ABCD 是一个矩形花坛，其中AB = 6米，AD = 4米．现将矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点， 且矩形AMPN 的面积小于150平方米．
（1）设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试用解析式将S 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；
（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分6分．
给定椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，称圆心在原点O
C 的
“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；
（2）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围；
（3）在椭圆C 的“准圆”上任取一点P ，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断12,l l 是否垂直？并说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8
分．
对于函数()y f x =与常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“P 数对”；若(2)()f x af x b ≥+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“类P 数对”．设函数)(x f 的定义域为R +，且(1)3f =．
（1）若(1,1)是()f x 的一个“P 数对”，求(2)(*)N n f n ∈；
（2）若(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，且当[1,2)x ∈时()f x =23k x --，求()f x 在区间
[1,2)n (*)N n ∈上的最大值与最小值；
（3）若()f x 是增函数，且(2,2)-是()f x 的一个“类P 数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①(2)n f -与2n -+2(*)N n ∈；②()f x 与22x +((0,1])x ∈．
F
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
E
黄浦区2012学年度第一学期高三年级期终考试
数学试卷（理科）参考答案
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．[2,3)； 2．2； 3．12； 4．3； 5．36； 6．47； 7．1-； 8．9
10；
9．(,1]-∞； 10．
3π； 11．165； 12．1(1,)1a
-； 13
．3+ 14．(7,0)-． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．A 16．D 17．B 18． C
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解：（1）连1BD ，由E 、F 分别为线段1DD 、BD 的中点，
可得EF ∥1BD ，故1D BC ∠即为异面直线EF 与BC 所成的角． …………………2分 在正方体1111ABCD A B C D -中，∵BC ⊥平面11CDD C ，
1CD ⊂≠平面11CDD C ，∴1BC CD ⊥，
在Rt △1BCD 中，2BC =
，1CD =
∴11tan D C
D BC BC
∠=
1D BC ∠= 所以异面直线EF 与BC
所成的角为 6分
（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，由1BB ⊥平面ABCD ，CF ⊂≠平面ABCD ， 可知1BB CF ⊥，∵CB CD =，F 是BD 中点，
∴CF BD ⊥，又1BB 与BD 相交，∴CF ⊥平面11BDD B ， …………………………9分
又1111111
222B D F S B D BB ∆=
⋅=⨯=，
故1111114
333
C B
D F B D F V S CF -∆=⋅=⋅=，
所以三棱锥11C B D F -的体积为4
3
． ……………………………………12分
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）
A 、
B 、
C 成等差数列，∴2,B A C =+
N
P
M D C B
A 又A
B
C π++=,∴3
B π
=
， …………………………2分
由3AB BC ⋅=-得，2cos
33
c a π
⋅=-，∴6ac =① ………………………4分
又由余弦定理得2222cos
,3
b a
c ac π
=+-
∴2218a c ac =+-，∴2224a c += ② ………………………6分 由①、②得，6a c += ……………………………………8分 （2）由（1）得3
B π
=，∴23A C B ππ+=-=
，即23
A C π=-， 故2sin 1sin C M A =
=2sin sin A C -=22sin()sin 3
C C π
-- ……………………………10分
1
sin )sin 2C C C =+-
C ， …………………………12分 由203A C π=->且0C >，可得203C π<<
，∴1cos 12
C -<<，
即(2M ∈-，∴M
的取值范围为(2
-． …………………………14分
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）由△NDC ∽△NAM ，可得DN DC
NA AM
=
， ∴
46x x AM -=，即64
x AM x =-，……………………3分 故2
64x S AN AM x =⋅=-， ………………………5分
由2
61504
x S x =<-且4x >，可得2251000x x -+<，解得520x <<，
故所求函数的解析式为2
64
x S x =-，定义域为(5,20)． …………………………………8分
（2）令4x t -=，则由(5,20)x ∈，可得(1,16)t ∈，
故2266(4)16
6(8)
x t S t t t +===++ …………………………10分
8)96≥=， …………………………12分
当且仅当16
t t
=，即4t =时96S =．又4(1,16)∈，故当4t =时，S 取最小值
96．
故当AN 的长为8时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为
96平方米． …………
14分
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
解：（1）由题意知c a =1b =，
故椭圆C 的方程为2
213
x y +=，其“准圆”方程为224x y +=． ………………4分
（2）由题意，可设(,),(,)B m n D m n -(m <，则有2
213
m n +=，
又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--，
故2222
(2)44(1)3
m AB AD m n m m ⋅=--=-+--
22443
43()332
m m m =-+=-, …………………………8分
又m <<，故243
()[0,732
m -∈+，
所以AB AD ⋅的取值范围是[0,7+． …………………………10分 （3）设(,)P s t ，则224s t +=．
当s =1t =±，则12,l l 其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有12l l ⊥．
当s ≠(,)P s t 且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ， 则l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得
223[()]3x kx t ks ++-=，即222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，
由222236()4(31)[3()3]0k t ks k t ks ∆=--+--=， …………………………13分 可得222(3)210s k stk t -++-=，其中230s -≠， 设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是上述方程的两个根，
故221222
11(4)
133t s k k s s ---===---，即12l l ⊥．
综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有12l l ⊥． …… …………………………16分
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
解：（1）由题意知(2)()1f x f x =+恒成立，令2(*)N k x k =∈， 可得1(2)(2)1k k f f +=+，∴{(2)}k f 是公差为1的等差数列，
故0(2)(2)n f f n =+，又0(2)3f =，故(2)3n f n =+． ………………………………3分 （2）当[1,2)x ∈时，()|23|f x k x =--，令1x =，可得(1)13f k =-=，
解得4k =，即[1,2)x ∈时，()4|23|f x x =--， ………………………4分 故()f x 在[1,2)上的取值范围是[3,4]． 又(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，故(2)2()f x f x =-恒成立， 当1[2,2)k k x -∈(*)N k ∈时，
1
[1,2)2k x -∈，
()2()4()24x x f x f f =-==…11(2)()2
k k x
f --=-， …………………6分
故k 为奇数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[32,2]k k -+⨯；
当k 为偶数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[2,32]k k +---⨯． …………………8分 所以当1n =时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为4，最小值为3；
当n 为不小于3的奇数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为12n +，最小值为2n -；
当n 为不小于2的偶数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为2n ，最小值为12n +-．………10分 （3）由(2,2)-是()f x 的一个“类P 数对”，可知(2)2()2f x f x ≥-恒成立，
即1()(2)12f x f x ≤
+恒成立，令12k x =(*)N k ∈，可得1111
()()1222k k f f -≤+， 即1111
()2[()2]222k k f f --≤-对一切*N k ∈恒成立，
所以1211111()2[()2][()2]22242n n n f f f ---≤-≤-≤…≤11
[(1)2]22
n n f -=，
故(2)22n n f --≤+(*)N n ∈． …………………………………14分 若(0,1]x ∈，则必存在*N n ∈，使得1
11
(,]22n n x -∈， 由()f x 是增函数，故1111()()222
n n f x f --≤≤+， 又1
11
2222222n n x -+>⨯
+=+，故有()22f x x <+．…………………………………18分。