山东大学2019-2020学年第一学期数学系《线性代数》试卷

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山东大学2019-2020学年第一学期数学系《线性代数》试卷
一、（24 分）填空题：
1. 设n 阶方阵 A 的行列式 A = 2 ，则 A
-1 2
⋅ A = 1
2
2. 设 A 为n 阶可逆阵，则下列 C 恒成立。

（A） (2 A )-1
= 2 A -1
（C）
ϒ( A -1
)
-1
/T
= ϒ( A T )
-1 /
-1
（B ） (2 A -1 )T
= (2 A T )
-1 （D）
ϒ( A T )
T /-1
= ϒ( A -1
)
-1
/
T
≤'
∞ƒ '≤
∞ƒ
≤'
∞ƒ '≤ ∞ƒ
3. 若向量组a 1, a 2 ,·, a r （A ） r ≤ s
可由另一向量组b 1, b 2 ,·, b s 线性表示，则 C。

（B ） r ≥ s
（C ） a 1, a 2 ,·, a r 的秩≤ b 1, b 2 ,·, b s 的秩
（D ） a 1, a 2 ,·, a r 的秩≥ b 1, b 2 ,·, b s 的秩
♣kx 1 + kx 2 + x 3 = 0
4. 当k 满足
时，齐次线性方程组♦2x 1
+ kx 2 + x 3 = 0 有非零解。

♠kx - 2x + x = 0 ♥ 1 2 3
5. 若齐次线性方程组的一个基础解系为ξ1, ξ2 , ξ3 ，则 D
也是该其次线性方程组的基础解
系。

（A） ξ1 + ξ2 , ξ2 + ξ3 , ξ3 - ξ1
（C） ξ1 - ξ2 , ξ2 + ξ3 , ξ3 + ξ1
（B） ξ1 + ξ2 , ξ2 - ξ3 , ξ3 + ξ1
（D） ξ1 + ξ2 , ξ2 + ξ3 , ξ3 + ξ1
6. 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随阵 A * 的秩为 0。

0 0 1 7． 矩阵 A =
0 1 0 的三个特征值为 1，1，-1 。

1 0 0
8. 二次型 f ( x , x , x ) = x 2 + 2x x
1 1 0 + 3x 2
的矩阵 A = 1 3
0 。

1 2 3 1 1 2 2
0 0 0
二、（8 分）计算 4 阶行列式
D = 0
a 0 a 0
b 0 b 0 b
a
a 0 0
b = 0 a b 0 0 b a 0 b
a
=(a 2 - b 2 )
2
1 0 2
三、（10 分）设 A = 0 0 1 ，计算 A 2n - A 2 （ n 为正整数）。

0 1 0
1 2 2 A 2
=
0 1 0
0 0 1 1 4 4 A 2 = 0 1 0 0 0 1 1 2n 2n A 2n = 0 1 0
0 0 1
0 2n - 2 2n - 2
A 2n - A 2 = 0 0 0
0 0 0
0 1 0 1 0 0 1 -4 3
四、（8 分）设 1 0 0 X 0 0 1 = 2 0 -1 ，求 X 。

0 0 1 0 1 0 1 -2 0
0 1 0 -1
1 -4 3  1
0 0 -1
X =
1 0 0 2
0 -1  0
0 1

0 0 1 1 -2 0  0
1 0
 0 1 0 1 -4 3  1 0 0 =
1 0 0 
2 0 -1  0 0 1  
0 0 1  1 -2 0  0 1 0  
2 -1 0 =
1 3 -4 1 0 -2
3 -1 2 0 1 2 3 五、（10 分）设向量组α =
4 , α
= k
, α = 1 线性相关，求常数k ；并找出一组最大 1 2 3
无关组以及用该最大无关组表示其余向量。

大无关组
六、（14 分
）已知线性方程组为 ♣x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 ♠x + 3x + 5x + x = 3 ♠ 1
2 3 4 ♦x - x - 3x + 5x = 3
♠ 1 2
3 4 ♥
♠x 1 - 5x 2 -11x 3 +12x 4 = k 求k ，使得上述方程组有解，并求出所有的解。

1 1 1 1 1 1 3 5 1 3
B =
1 -1 -3 5 3 1 -5 -11 1
2 k 1 0 -1 0 -1 0 1 2 0
1
~
0 0 0 1 1
0 0 0 0 k -16 k = 16 时上述方程组有解
1 -1 -
2 1 x =c +
1 0 0 1
2 0
七、（16 分）设对称矩阵 A = 0 3 1 1. 求 x 和另一个特征值λ3 ； 2. 求 A 的所有特征向量；
1 ，已知 A 有二重特征值λ1 = λ
2 = 2 ，
1 2 3
α1, α2 , α3 = 4 k 1 = 0
3 -1 2
k = -3
1 2 α = 4 ， α = -3 是最 1 2 3 -1 α3 = α1 + α2
x
2 λ1 3. 求一个正交矩阵 P ，使得 P -1
AP = λ λ
3
正 八、（10 分）证明题：
1. 设向量 a 1, a 2 ,·, a s 都是非齐次线性方程组 Ax = b
的解，数 k 1, k 2 ,·, k s 满足
k 1 + k 2 +· + k s = 1，则向量k 1a 1 + k 2a 2 +· + k s a s 也是该方程组的解。

A (k 1a 1 + k 2a 2 +· + k s a s ) = k 1 Aa 1 + k 2 Aa 2 +· + k s Aa s = k 1b + k 2b +· + k s b
= (k 1 + k 2 +· + k s )b = b
2. A 为n 阶方阵， x , y 是n 维列向量，并且 Ax = 0 ， A T y = 2 y ，证明 x 与 y 正交。

交 。

2 0 0
A = λ1λ2λ3 , 0 3 1 = 2 ⋅ 2 ⋅ λ3
0 1 x
a 11 + a 22 + a 33 = λ1 + λ2 + λ3 ， 2 + 3 + x = 2 + 2 + λ3 x = 3, λ3 = 4
1 0 λ = λ =
2 对应的特征向量 p = 0 ， p = -1
1 2 1 2
0 1 0 λ = 4 对应的特征向量 p =
1 3 3
1
1 0 0 λ1 交矩阵 P = 0 - 1 1 可使 P -1
AP = λ 2 2 2 λ
1
1 3 0
2 2
[ x , y ] = x T y = x T 1
A T y
2
= 1 ( x T A T ) y = 1 ( Ax )T y 2 2 = 1 (0)T
y = 0 ，所以 x 与 y 正 2。