复兴区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

复兴区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
2． 把函数y=cos （2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移
个单位，得到函数y=f （x ）的图象关于直线x=
对称，则φ的值为（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．
D ．
3． 设,,a b c 分别是ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与
sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是（ ）
A ．平行
B ． 重合
C ． 垂直
D ．相交但不垂直 4． 四面体ABCD 中,截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）
A ．AC BD ⊥
B ．A
C B
D =
C.AC PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45
5． 若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则f （
）=（ ）
A ．2或0
B ．0
C ．﹣2或0
D ．﹣2或2
6． 设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z
=2（+i ），则z=（ ） A ．﹣1﹣i B ．1+i C ．﹣1+i D ．1﹣i
7． 数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n （3n ﹣2）的前n 项和为S n ，则S 11+S 20=（ ）
A ．﹣16
B ．14
C ．28
D ．30
8． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ）
A ．S 18＝72
B ．S 19＝76
C ．S 20＝80
D ．S 21＝84
9． 集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，集合S=A ∩B ，则集合S 的子集有（ ） A ．2个 B ．3 个 C ．4 个 D ．8个
10．函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ）
A ．2sin(2)3
y x π
=+
B ．22sin(2)3y x π=+
C ．2sin()23x y π=-
D ．2sin(2)3
y x π=-
11．已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e
∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1y
x x a y e -++= 成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A.1[,]e e
B.2(,]e e
C.2(,)e +∞
D.21(,)e e e
+
【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力． 12．4
213
5
3
2,4,25a b c ===，则（ ）
A ．b a c <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
二、填空题
13．设平面向量()1,2,3,i a i =，满足1i
a =且120a a ⋅=，则12a a += ，123a a a ++的最大
值为 .
【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力. 14．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则数列的通项a n = ．
15．在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sin θ与ρcos θ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为 ．
16．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过
M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .
（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；
（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值． 17．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹
为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；
③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；
④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为＋4;
⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN
的面积不大于m。

其中真命题的序号是．（填上所有真命题的序号）
18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为
cm3．
三、解答题
19．如图，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（﹣，）．
（I）若∠AOB=α，求cosα+sinα的值；
（II）设点P为单位圆上的一个动点，点Q满足=+．若∠AOP=2θ，表示||，并求||的最大值．
20．（本题满分15分）
如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM ．
（1）求证：BM AD ⊥；
（2）若)10(<<=λλDB DE ，当二面角D AM E --大小为
3
π
时，求λ的值．
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
21．证明：f （x ）是周期为4的周期函数；
（2）若f （x ）=
（0＜x ≤1），求x ∈[﹣5，﹣4]时，函数f （x ）的解析式．
18．已知函数f （x ）=是奇函数．
22．已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|2m＜x＜1﹣m}．
（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．
23．已知数列{a n}和{b n}满足a1•a2•a3…a n=2（n∈N*），若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=3+b2．（1）求a n和b n；
（2）设c n=（n∈N*），记数列{c n}的前n项和为S n，求S n．
24．设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最大值；
（Ⅲ）当时，g（x）≤t2﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
复兴区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，
∵a4•a8=2a52，∴a62=2a52，
∴q2=2，∴q=，
∵a2=1，∴a1==．
故选：D
2．【答案】B
【解析】解：把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，
得到函数y=f（x）=cos[2（x+）+φ]=cos（2x+φ+）的图象关于直线x=对称，
则2×+φ+=kπ，求得φ=kπ﹣，k∈Z，故φ=﹣，
故选：B．
3．【答案】C
【解析】
试题分析：由直线sin0
A x ay c
++=与sin sin0
bx B y C
-+=，
则sin(sin)2sin sin2sin sin0
A b a
B R A B R A B
⋅+⋅-=-=，所以两直线是垂直的，故选C. 1
考点：两条直线的位置关系.
4．【答案】B
【解析】
试题分析：因为截面PQMN是正方形，所以//,//
PQ MN QM PN，则//
PQ平面,//
ACD QM平面BDA，所以//,//
PQ AC QM BD,由PQ QM
⊥可得AC BD
⊥，所以A正确；由于//
PQ AC可得//
AC截面PQMN，所以C正确；因为PN PQ
⊥，所以AC BD
⊥，由//
BD PN，所以MPN
∠是异面直线PM与BD 所成的角，且为0
45，所以D正确；由上面可知//,//
BD PN PQ AC，所以,
PN AN MN DN
BD AD AC AD
==，而,
AN DN PN MN
≠=，所以BD AC
≠，所以B是错误的，故选B. 1
考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和
解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.
5．【答案】D
【解析】解：由题意：函数f（x）=2sin（ωx+φ），
∵f（+x）=f（﹣x），
可知函数的对称轴为x==，
根据三角函数的性质可知，
当x=时，函数取得最大值或者最小值．
∴f（）=2或﹣2
故选D．
6．【答案】B
【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a﹣bi，
由z=2（+i），得（a+bi）（a﹣bi）=2[a+（b﹣1）i]，
整理得a2+b2=2a+2（b﹣1）i．
则，解得．
所以z=1+i．
故选B．
【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．
7．【答案】B
【解析】解：∵a n=（﹣1）n（3n﹣2），
∴S11=（）+（a2+a4+a6+a8+a10）
=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）
=﹣16，
S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）
=﹣（1+7+...+55）+（4+10+ (58)
=﹣+
=30，
∴S 11+S 20=﹣16+30=14．
故选：B ．
【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．
8． 【答案】
【解析】选B.∵3a 8－2a 7＝4， ∴3（a 1＋7d ）－2（a 1＋6d ）＝4，
即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋18×17d 2＝18（a 1＋17
2d ）不恒为常数．
S 19＝19a 1＋19×18d
2＝19（a 1＋9d ）＝76，
同理S 20，S 21均不恒为常数，故选B. 9． 【答案】C
【解析】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}， ∴集合S=A ∩B={1，3}，
则集合S 的子集有22
=4个，
故选：C ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合子集个数的求解，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．
10．【答案】B 【解析】
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质． 11．【答案】B
【
解
析
】
12．【答案】A 【解析】
试题分析：2223
5
3
4,4,5a b c ===，由于4x
y =为增函数，所以a b >.应为23
y x =为增函数，所以c a >，故
b a
c <<.
考点：比较大小．
二、填空题
13．【答案】2，21+. 【解析】∵22
2
12112221012a a a a a a +=+⋅+=++=，∴122a a +=，
而2
2
2
123
121233123()2()2221cos ,13a a a a a a a a a a a a ++=+++⋅+=+⋅⋅<+>+≤+，
∴12321a a a ++≤，当且仅当12a a +与3a 1.
14．【答案】 2n ﹣1 ．
【解析】解：∵a 1=1，a n+1=a n +2n
， ∴a 2﹣a 1=2， a 3﹣a 2=22， …
a n ﹣a n ﹣1=2n ﹣1，
相加得：a n ﹣a 1=2+22+23+2…+2n ﹣1
，
a n =2n ﹣1，
故答案为：2n
﹣1，
15．【答案】 （1，2） ．
【解析】解：由2ρcos 2θ=sin θ，得：2ρ2cos 2
θ=ρsin θ，
即y=2x 2．
由ρcos θ=1，得x=1．
联立
，解得：
．
∴曲线C 1与C 2交点的直角坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．
16．【答案】
【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为k ，其方程为y －2pt 2＝k （x －2pt ）．①
将①与拋物线x 2＝2py 联立得， x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，
解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．
由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2）， ∴k PQ ＝
2p （－k －t ）2－2p （k －t ）22p （－k －t ）－2p （k －t ）
＝－2t ，
即直线PQ 的斜率为－2t .
（2）由y ＝x 22p 得y ′＝x
p
，
∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝2pt
p ＝2t .
其切线方程为y －2pt 2＝2t （x －2pt ）， 又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0， －p
2）． ∴－p
2
－2pt 2＝2t （－2pt ）．
解得t ＝±12，即t 的值为±1
2.
17．【答案】①④⑤
解析：∵平面内两定点M （0，﹣2）和N （0，2），动点P （x ，y ）满足||•|
|=m （m ≥4），
∴
•
=m
①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；
②令y=0，可得x 2+4=m ，∴对于任意m ，曲线E 与x 轴有三个交点，不正确； ③曲线E 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称，故不正确；
④若P 、M 、N 三点不共线，|
|+|
|≥2
=2
，所以△PMN 周长的最小值为2
+4，正确；
⑤曲线E 上与M 、N 不共线的任意一点G 关于原点对称的点为H ，则四边形GMHN 的面积为2S △MNG =|GM||GN|sin ∠MGN ≤m ，∴四边形GMHN 的面积最大为不大于m ，正确． 故答案为：①④⑤． 18．【答案】 6
【解析】解：过A 作AO ⊥BD 于O ，AO 是棱锥的高，所以AO==
，
所以四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为V==6．
故答案为：6．
三、解答题
19．【答案】
【解析】
解：（Ⅰ）点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，B （﹣，）．
可得sin α=，cos α=
，∴cos α+sin α=
．
（Ⅱ）因为P （cos2θ，sin2θ），A （1，0）所以=
=（1+cos2θ，sin2θ），
所以==
=2|cos θ|，因为
，
所以=2|cos θ|∈
，
|
|的最大值
．
【点评】本题考查三角函数的定义的应用，三角函数最值的求法，考查计算能力．
20．【答案】（1）详见解析；（2）3λ=.
【解析】（1）由于2AB =，AM BM ==AM BM ⊥，
又∵平面⊥ADM 平面ABCM ，平面 ADM 平面ABCM ＝AM ，⊂BM 平面ABCM ，
∴⊥BM 平面ADM ，…………3分
又∵⊂AD 平面ADM ，∴有BM AD ⊥；……………6分
21．【答案】
【解析】（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x+2）=﹣f（x）．
从而f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．
（2）解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，
．故x∈[﹣1，0]时，．x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，
．
从而，x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式为．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．
22．【答案】
【解析】解：（1）由A⊆B知：，
得m≤﹣2，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]；
（2）由A∩B=∅，得：
①若2m≥1﹣m即m≥时，B=∅，符合题意；
②若2m＜1﹣m即m＜时，需或，
得0≤m＜或∅，即0≤m＜，
综上知m≥0．
即实数m的取值范围为[0，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，交集及其运算．解答（2）题时要分类讨论，以防错解或漏解．
23．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵数列{a n}和{b n}满足a1•a2•a3…a n=2（n∈N*），a1=2，
∴，，，
∴b1=1，=2q＞0，=2q2，
又b3=3+b2．∴23=2q2，解得q=2．
∴a n=2n．
∴=a1•a2•a3…a n=2×22×…×2n=，
∴．
（2）c n===﹣
=，
∴数列{c n}的前n项和为S n=﹣
+…+
=﹣2
=﹣2+
=﹣﹣1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由f（﹣x）=﹣f（x）得kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，
∴k=0．
（Ⅱ）∵g（x）=a f（x）﹣1=a2x﹣1=（a2）x﹣1
①当a2＞1，即a＞1时，g（x）=（a2）x﹣1在[﹣1，2]上为增函数，∴g（x）最大值为g（2）=a4﹣1．
②当a2＜1，即0＜a＜1时，∴g（x）=（a2）x在[﹣1，2]上为减函数，
∴g（x）最大值为．
∴
（Ⅲ）由（Ⅱ）得g（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为，
∴1≤t2﹣2mt+1即t2﹣2mt≥0在[﹣1，1]上恒成立
令h（m）=﹣2mt+t2，∴
即
所以t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．
【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。