高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战45341

文科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N ，则P 的子集共有
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
2．复数512i
i =-
A ．2i -
B ．12i -
C ． 2i -+
D ．12i -+
3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是
A ．3
y x =
B ．||1y x =+
C ．21y x =-+
D ．||
2
x y -=
4．椭圆
22
1168
x y +=的离心率为
A ．
13
B ．
12
C ．3
D ．
2 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 A ．120 B ． 720 C ． 1440 D ． 5040
6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，
每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．
13
B ．
12 C ．23
D ．34
7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=
A ． 45
-
B ．35
-
C ．
35
D ．
45
8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧
视图可以为
9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，
P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为 A ．18 B ．24 C ． 36
D ． 48
10．在下列区间中，函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为
A ．1
(,0)4
-
B ．1(0,)4
C ．11(,)42
D ．13(,)24
11．设函数()sin(2)cos(2)44
f x x x π
π
=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2
π单调递增，其图象关于直线4
x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2
π单调递增，其图象关于直线2
x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2
π单调递减，其图象关于直线4
x π=对称
D ．()y f x =在(0,
)2
π单调递减，其图象关于直线2
x π=
对称
12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2
()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函
数|lg |y x =的图象的交点共有
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．1个
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量kab 垂直，则
k=_____________．
14．若变量x ，y 满足约束条件329
69
x y x y ≤+≤⎧⎨
≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．
15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．
16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面
积是这个球面面积的
3
16
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13
q =． （I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12
n
n a S -=
（II ）设31323log log log n n b a a a =++
+，求数列{}n b 的通项公式．
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥DPBC 的高．
19．（本小题满分12分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数
8 20 42 22 8 指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 4 12 42 32 10
（I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；
（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为
2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
20．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线2
61y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （I ）求圆C 的方程；
（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．
21．（本小题满分12分） 已知函数ln ()
1a x b
f x x x
=
++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （I ）求a ，b 的值；
（II ）证明：当x>0，且1x ≠时，ln ()1
x
f x x >
-． 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲
如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2
140x x mn -+=的两个根． （I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；
（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．
23．（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y α
αα
=⎧⎨
=+⎩为参数），M 为1C 上的动
点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． （I ）求2C 的方程；
（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
πθ=
与1C 的异于极点的交
点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|．
24．（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． （I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．
（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．
普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试卷参考答案
一、选择题
（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A （7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A 二、填空题
（13）1 （14）6 （15）4315 （16）3
1
三、解答题 （17）解：
（Ⅰ）因为.3
1
)31(311n n n a =⨯=
- ,23113
11)311(3
1n
n n S -=--= 所以,2
1n
n a S --
（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=
)21(n +++-=
2
)
1(+-
=n n
所以}{n b 的通项公式为.2
)
1(+-
=n n b n (18)解：
（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，
由余弦定理得BD = 从而BD2+AD2= AB2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD
（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。

已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC 。

由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC//AD ，所以BC ⊥BD 。

故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE 。

则DE ⊥平面PBC 。

由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，
根据BE·PB=PD·BD ，得DE=
2
3
， 即棱锥D —PBC 的高为.2
3 （19）解
（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的频率为228
=0.3100
+，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为3210
0.42100
+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）由条件知用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B 配方生产的产品平均一件的利润为
68.2)442254)2(4(100
1
=⨯+⨯+-⨯⨯（元） (20）解：
（Ⅰ）曲线162
+-=x x y 与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为
（).0,223(),0,223-+
故可设C 的圆心为（3，t ），则有,)22()1(32
222t t +=-+解得t=1.
则圆C 的半径为.3)1(32
2=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(2
2
=-+-y x
（Ⅱ）设A （11,y x ），B （22,y x ），其坐标满足方程组：
⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.
9)1()3(,
02
2y x a y x
消去y ，得到方程
.012)82(222=+-+-+a a x a x
由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a
因此，,4
41656)28(2
2,1a a a x --±-=
从而
2
1
20,422121+-=
-=+a a x x a x x
①
由于OA ⊥OB ，可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a x y +=+=所以
.0)(222121=+++a x x a x x
②
由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a
（21）解：
（Ⅰ）22
1
(
ln )
'()(1)x x b x f x x x α+-=
-+
由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,
1'(1),2
f f =⎧⎪
⎨=-⎪⎩即
1,
1,22
b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩
解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1
f ()1x x x x
=
++，所以 )1ln 2(11
1ln )(22
x
x x x x x x f -+-=-= 考虑函数()2ln h x x =+
x
x 12-(0)x >，则
2
2
22
2)1()1(22)(x
x x x x x x h --=---='
所以当1≠x 时，,0)1(,0)(=<'h x h 而故 当)1,0(∈x 时，;0)(11
,0)(2
>->x h x
x h 可得
当),1(+∞∈x 时，;0)(11
,0)(2
>-<x h x
x h 可得
从而当.1
ln )(,01ln )(,1,0->>--≠>x x
x f x x x f x x 即且 （22）解：
（I ）连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD×AB=mn=AE×AC ，
即
AB
AE
AC AD =
.又∠DAE=∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C ，B ，D ，E 四点共圆。

（Ⅱ）m=4， n=6时，方程x214x+mn=0的两根为x1=2，x2=12. 故 AD=2，AB=12.
取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.
由于∠A=900，故GH ∥AB ， HF ∥AC. HF=AG=5，DF=2
1
(122)=5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为52 （23）解：
（I ）设P(x ，y)，则由条件知M(
2
,2Y
X ).由于M 点在C1上，所以 ⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ααsin 222,cos 22y x 即 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x
从而2C 的参数方程为
4cos 44sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩（α为参数）
（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。

射线3
πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3
π
ρ=， 射线3
πθ=
与2C 的交点B 的极径为28sin
3
π
ρ=。

所以21||||AB ρρ-==
（24）解：
（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为
|1|2x -≥。

由此可得 3x ≥或1x ≤-。

故不等式()32f x x ≥+的解集为
{|3x x ≥或1}x ≤-。

(Ⅱ) 由()0f x ≤ 得
30x a x -+≤
此不等式化为不等式组
30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30
x a
a x x ≤⎧⎨
-+≤⎩
即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2
x a
a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2
a
x x ≤-
由题设可得2
a
-
= 1-，故2a =
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）
A.y=
B.y=（x﹣1）2
C.y=2﹣x
D.y=log0.5（x+1）
2.（（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）
A.{0}
B.{0，1}
C.{0，2}
D.{0，1，2}
3.（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）
A.在直线y=2x上
B.在直线y=﹣2x上
C.在直线y=x﹣1上
D.在直线y=x+1上
4.（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）
A.7
B.42
C.210
D.840
5.（5分）设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）
A.2
B.﹣2
C.
D.﹣
7.（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，
0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）
A.S1=S2=S3
B.S2=S1且S2≠S3
C.S3=S1且S3≠S2
D.S3=S2且S3≠S1
8.（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）
A.2人
B.3人
C.4人
D.5人
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9.（5分）复数（）2=.
10.（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=.
11.（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为.
12.（5分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=时，{an}的前n项和最大.
13.（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种.
14.（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为.
三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
15.（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=.
（1）求sin∠BAD；
（2）求BD，AC的长.
16.（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；
场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4 23 8 客场4 18 15 主场5 24 20 客场5 25 12 （1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）.
17.（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P ﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.
（1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH 的长.
18.（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]
（1）求证：f（x）≤0；
（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值.
19.（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，
（1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.
20.（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），记T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}表示Tk﹣1（P）和a1+a2+…+ak两个数中最大的数，
（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；
（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；
（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）
参考答案与试题解析
（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）
A.y=
B.y=（x﹣1）2
C.y=2﹣x
D.y=log0.5（x+1）
【分析】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论. 【解答】解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，
由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，
由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，
由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，
故选：A.
【点评】本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题.
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.
2.（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）
A.{0}
B.{0，1}
C.{0，2}
D.{0，1，2}
【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集.
【解答】解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，
∴A∩B={0，2}
故选：C.
【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键.
3.（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）
A.在直线y=2x上
B.在直线y=﹣2x上
C.在直线y=x﹣1上
D.在直线y=x+1上
【分析】曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论.
【解答】解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x 上，
故选：B.
【点评】本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题.
4.（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）
A.7
B.42
C.210
D.840
【分析】算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值.
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，
当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，
∴跳出循环的k值为4，
∴输出S=7×6×5=210.
故选：C.
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键.
5.（5分）设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{an}不是递增数列，充分性不成立.
若an=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，
故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键.
6.（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）
A.2
B.﹣2
C.
D.﹣
【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案. 【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，
故由约束条件作出可行域如图，
当y=0，由kx﹣y+2=0，得x=，
∴B（﹣）.
由z=y﹣x得y=x+z.
由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小.
此时，解得：k=﹣.
故选：D.
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.
7.（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）
A.S1=S2=S3
B.S2=S1且S2≠S3
C.S3=S1且S3≠S2
D.S3=S2且S3≠S1
【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论.
【解答】解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，
在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=.
在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.
在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（0，1，），S3=，
则S3=S2且S3≠S1，
故选：D.
【点评】本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键.
8.（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）
A.2人
B.3人
C.4人
D.5人
【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数.
【解答】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，
语文成绩得B得也最多只有一个，
得C最多只有一个，
因此学生最多只有3人，
显然（AC）（BB）（CA）满足条件，
故学生最多有3个.
故选：B.
【点评】本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力.
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9.（5分）复数（）2= ﹣1 .
【分析】由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案. 【解答】解：（）2=.
故答案为：﹣1.
【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题.
10.（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=. 【分析】设=（x，y）.由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可.
【解答】解：设=（x，y）.
∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），
∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），
∴，化为λ2=5.
解得.
故答案为：.
【点评】本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题.
11.（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为
；渐近线方程为 y=±2x .
【分析】利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论.
【解答】解：与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），
∴m=，
即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即，
对应的渐近线方程为y=±2x，
故答案为：，y=±2x.
【点评】本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础.
12.（5分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n= 8 时，{an}的前n项和最大.
【分析】可得等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论.
【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，
∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，
∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，
∴等差数列{an}的前8项和最大，
故答案为：8.
【点评】本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题.
13.（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相
邻，则不同的摆法有 36 种.
【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案.
【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，
又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，
故满足条件的摆法有48﹣12=36种.
故答案为：36.
【点评】本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C.
14.（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为π .
【分析】由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f（）
可得函数的半周期，则周期可求.
【解答】解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，
则x=离最近对称轴距离为.
又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），
由于f（x）在区间[，]上具有单调性，
则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π.
故答案为：π.
【点评】本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问
题的能力，是中档题.
三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
15.（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=.
（1）求sin∠BAD；
（2）求BD，AC的长.
【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.
【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，
∴sin∠ADC====，
则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=.
（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，
在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，
即AC=7.
【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大.
16.（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；
场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场1 22 12 客场1 18 8
主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4 23 8 客场4 18 15 主场5 24 20 客场5 25 12 （1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）.
【分析】（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，
（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可.
（3）求出平均数和EX，比较即可.
【解答】解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场
所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=，
（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率，客场命中率超过0.6的概率，
故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=；
（3）=（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4
EX=
【点评】本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题.
17.（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P ﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.
（1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH 的长.
【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；
（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos|，求出角α；设H（u，v，w），再设，用λ表示H的坐标，再由n=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长.
【解答】（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，
∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，
∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，
∴AB∥FG；
（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，
如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），
B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），
E（0，2，0），F（0，1，1），，
设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则
即，
令z=1，则y=﹣1，∴=（0，﹣1，1），
设直线BC与平面ABF所成的角为α，则
sinα=|cos＜，＞|=||=，
∴直线BC与平面ABF所成的角为，
设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，
即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵是平面ABF的法向量，
∴=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），∴PH==2.
【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题.
18.（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]
（1）求证：f（x）≤0；
（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值.
【分析】（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0.
（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值.
【解答】解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得
f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，
此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，
所以f（x）在区间∈[0，]上单调递减，
从而f（x）≤f（0）=0.
（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”
令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，
当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，
当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，
所以g（x）在区间[0，]上单调递减，
从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，
当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，
g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：
x （0，x0） x0 （x0，）
g′（x）+ ﹣
g（x）↑↓
因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，
所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，
当且仅当
综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，
当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，
所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1 【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题.
20.（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），记T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}表示Tk﹣1（P）和a1+a2+…+ak两个数中最大的数，
（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；
（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；
（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）.
【分析】（Ⅰ）利用T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），可求T1（P），T2（P）的值；
（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小；
（Ⅲ）根据新定义，可得结论.
【解答】解：（Ⅰ）T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}.
当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，
∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）；
当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，
∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）；
∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；
（Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小；T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52.
【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键.
19.（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，
（1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.
【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；
（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x2+y2=2相切.
【解答】解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为.
∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2.
因此a=2，c=.
故椭圆C的离心率e=；
（2）直线AB与圆x2+y2=2相切.
证明如下：
设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0.
∵OA⊥OB，
∴，即tx0+2y0=0，解得.
当x0=t时，，代入椭圆C的方程，得.
故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=.
此时直线AB与圆x2+y2=2相切.
当x0≠t时，直线AB的方程为，
即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0.
圆心O到直线AB的距离d=.
又，t=.
故=.
此时直线AB与圆x2+y2=2相切.
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题.。