初中数学 导学案：特殊角的三角函数

特殊角的三角函数
学习目标：
1.能通过推理得30°、45°、60°角的三角函数值，能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.
2.会计算含有30°、45°、60°角的三角函数的值.
3.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展同学们的推理能力和计算能力. 学习重点：
会经过推理得到30°、45°、60角的三角函数值，能根据30°、45°、60° 角的三角函数值，说出相应锐角的大小.
学习难点：通过特殊角的三角函数值，了解三角函数的增减性. 学习过程 一、情景创设
学习了锐角的三角函数，你能分别说出正切、正弦、余弦的定义吗？ 二、探索活动
活动一.观察与思考：你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？
活动二.根据以上探索完成下列表格60°
45°
1
1
2
60
1 2
3
三、典例分析
例1：求下列各式的值.
（1）2sin30°-cos45° （2）sin60°·cos60° （3）tan30°+cos30°
练习：计算.
(1)tan45°－sin30°·cos60° （2）sin 2
60°＋cos 2
60° (3) 0
20
230
tan 45cos
例2.求满足下列条件的锐角α: (1)2sin α－=0 (2)tan α－1=0 练习： 1．若sin α=
2
2
,则锐角α=________.若2cos α=1,则锐角α=_________. 2．若sin α=
2
1
,则锐角α=_________.若sin α=23,则锐角α=_________.
3．若∠A 是锐角，且tanA=
3
3
,则cosA=_________. 4．求满足下列条件的锐角α:
(1)cos α-2
3
=0 (2)-tan α+=0
(3)cos α-2=0 (4)tan （α+10°）=
四、随堂练习
1．根据30°、45°、60°角的三角函数值填空：当锐角α变大时，sin α的值变_____，cos α的值变_______，tan α的值变_______.
2.在Rt △ABC 中，∠C=90°,若sinA=2
1
,则BC ∶AC ∶AB 等于（ ）
∶2∶5 ∶∶ C. 1∶∶ 2 ∶2∶ 3.在△ABC 中，若tanA=1，sinB=
2
2
，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．一般锐角三角形 4．若∠A=41°，则cosA 的大致范围是（ ）
A ．0＜cosA ＜1 B.
2
1
＜cosA ＜22
C.
2
2
＜cosA ＜23 D. 23＜cosA ＜1
5.计算下列各式的值.
(1)2sin30°+3cos60°-4tan45°
(2)cos30°sin45°+sin30°cos45°
(3)0
0045tan 260tan 1
60sin -- (4)cos30°+sin45°
(5)0
060sin 60cos 45tan -·tan30° (6)2cos45°+32-
6.在锐角△ABC 中,若sinA=
2
3
,∠B=75°,求cosC 的值.
7.已知：如图，在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD
B
D
⊥AB,垂足为D,BC=2,BD=.分别求出△ABC 、△ACD 、△BCD 中各锐角.
8.已知:如图,AC 是△ABD 的高,BC=15㎝,∠BAC=30°, ∠DAC=45°. 求AD.
9.已知α为锐角,当
α
tan 12
-无意义时,求tan(α+15°)-tan(α-15°)的值.
五.拓展与延伸
1.等腰三角形的一腰长为6㎝,底边长为6㎝,请你判断这个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形?
2.已知△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AD=2,AC=2,AB=4,求∠BAC 的度数.
3.已知:∠A 为锐角,并且cosA=5
4
,求sinA,tanA 的值.
4.要求tan30°的值,可构造如图所示的直角三角形进行计算:作Rt △ABC, 使∠
C=90°,斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC=,∠ABC=30°,tan30°=
BC AC =333
1
=.在此图的基础上通过添加适当的辅助线,可求出tan15°的值,请你写出添加辅助线的方法,并求出tan15°的值.
作业
知识点一 30°、60°、45°的三角函数值 1．sin30︒的值等于（ ）
A ．
B.
2
2
C.
32
2．（2010·湖北荆门）计算sin 45°的结果等于（ ）.
A ．
B ．1
C ．
2
2
D ．
2
1 3．计算4sin60°-3tan30°的值为（ ）. A ． B ．
2 C ．
3 D ．0
4．点M (－sin60°，cos60°)关于x 轴对称的点的坐标是（ ）. A ．(
31
22
，) B ．(－
3122
-，) C ．(－3
2，) D ．(－，-
3
2
) 5．如图是引拉线固定电线杆的示意图．已知：CD ⊥AB ，CD 33=m ，∠CAD=∠DBC=60°，则拉线AC 的长是______m.
知识点二 由三角函数值求锐角的度数
第5题图
6．（2010·湖南怀化）在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=
2
1
，则∠A= ． 7．在Rt △ABC 中，∠C=900，sinA=2
1
，则cosB 的值为（ ）.
A ．1
B ．
33 C ．2
1
D ． 8．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB= 3
2 ，则△ABC 的形状
是（ ）.
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．不能确定 9.在Rt△ABC 中，∠C =90°，sinA=
2
1
，则BC ∶AC ∶AB 等于( ) ∶2∶5 ∶∶
∶∶2
∶2∶
10.李红同学遇到了这样一道题：tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是( )
° ° ° ° 11.在△ABC 中，若tanA=1，sinB=
2
2
，你认为最确切的判断是 A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形 12. 如果sin ２α＋sin ２30°=１那么锐角α的度数是（ ）
A ．15° ° ° °
13．锐角A 满足2sin(A-15) 0＝则∠A ＝ ． 14．计算：100245sin 251-+⋅-+-=
15．（2010·江西）计算：sin30º·cos30º－tan30º＝ （结果保留根号）
16.已知090α<<，且关于的方程22tan 30x x α--=的两根平方和为10，求的大小．
技能点 特殊三角函数值的计算 17．计算：
（1）0
00
0030cos 45cos 60
tan 60sin 45sin +-
（2） 020*******tan 4
3
60sin 45cos 45tan 30sin +--+。